付木亮，張 勇，張光云，盧振坤

（1.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河南南陽473000；2.西南石油大學(xué)外國(guó)語學(xué)院，四川成都610500；

3.廣西民族大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣西南寧530006）

新三維非線性混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

付木亮1，張 勇1，張光云2，盧振坤3

（1.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河南南陽473000；2.西南石油大學(xué)外國(guó)語學(xué)院，四川成都610500；

3.廣西民族大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣西南寧530006）

基于動(dòng)力系統(tǒng)的理論和方法，采用理論分析和Matlab仿真相結(jié)合的方式，在已有文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，研究了一個(gè)新三維混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，包括混沌系統(tǒng)的散度和吸引子的存在性、平衡點(diǎn)及其數(shù)目、全局吸引域、對(duì)稱性和正向不變集等.該研究結(jié)果是已有文獻(xiàn)的推廣，Matlab模擬驗(yàn)證了計(jì)算理論的正確性.

混沌系統(tǒng)；混沌吸引子；不變集；數(shù)值仿真

混沌的理論起源于1900年龐加萊對(duì)于三體問題的研究，發(fā)現(xiàn)它的運(yùn)動(dòng)軌跡是非周期的，也不趨于固定點(diǎn).1963年，Lorenz發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)混沌吸引子，從此，混沌在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)工程、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、圖像處理等領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用［1－5］；1999年，Chen等人發(fā)現(xiàn)了1個(gè)新的Chen混沌吸引子，Chen混沌吸引子與Lorenz混沌吸引子在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上是不等價(jià)的；2002年，Chen與Lü等人發(fā)現(xiàn)了Lü混沌吸引子，Lü混沌吸引子是連接Lorenz混沌吸引子與Chen混沌吸引子之間的紐帶；此后，Qi等人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有5平衡點(diǎn)的新混沌系統(tǒng).從此，新的混沌系統(tǒng)不斷得到發(fā)現(xiàn)，并且這些新混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為也得到了一系列的分析和應(yīng)用［6］.

混沌系統(tǒng)的吸引集是研究混沌系統(tǒng)定性理論的一個(gè)重要方面［4］.早在1987年，Leonov首次研究了Lorenz混沌吸引子的有界性基于動(dòng)力系統(tǒng)的理論和方法［7］；2007年，Qin和Chen等人研究了Chen混沌吸引子的有界性；2010年，文獻(xiàn)［8］研究了Lü混沌吸引子的有界性.基于以上研究工作的啟發(fā)和方法，本文研究了一個(gè)新三維混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，并且給出計(jì)算機(jī)仿真.

1 數(shù)學(xué)模型及其主要結(jié)果

文獻(xiàn)［9］提出的一個(gè)新三維混沌系統(tǒng)的方程為：

這里a，b，c，d為系統(tǒng)（1）正參數(shù).當(dāng)a＝5，b＝16，c＝1時(shí)，系統(tǒng)（1）軌線相圖見圖1.

對(duì)于一個(gè)新的混沌系統(tǒng)，它的一些基本的非線性動(dòng)力學(xué)行為是令人關(guān)注的.

1.1 對(duì)稱性和不變性

系統(tǒng)（1）具有自然的對(duì)稱性，即在坐標(biāo)變換（x，y，z）→（－x，－y，z）下，系統(tǒng)（1）保持不變.z軸為系統(tǒng)（1）的不變集，并且從z軸上任何點(diǎn)出發(fā)的軌線當(dāng)t→＋∞時(shí)都趨于原點(diǎn).

圖1 系統(tǒng)（1）軌線的相圖

1.2 耗散性和吸引子的存在性對(duì)系統(tǒng)（1），有：

則系統(tǒng)（1）的散度為

1.3 平衡點(diǎn)

對(duì)于混沌系統(tǒng)（1），當(dāng)b＞c時(shí)，系統(tǒng)（1）只有3個(gè)平衡點(diǎn)，分別為：

1.4 全局吸引性

定理1 對(duì)任意的a＞0，b＞0，c＞0，λ＞0，系統(tǒng)的軌線（1）存在指數(shù)估計(jì)式

有

為系統(tǒng)（1）的一個(gè)全局指數(shù)吸引集.其中：

證明 定義廣義正定、徑向無界的李雅普函數(shù)為

當(dāng)V （X （t））＞L0，V （X （t0））＞L0，沿著系統(tǒng)（1）求導(dǎo)

對(duì)上述不等式兩邊積分，當(dāng)V （X （t））＞L0，V （X （t0））＞L0，有

令t→＋∞，對(duì)上述不等式兩邊取上極限

集合

為系統(tǒng)（1）的一個(gè)全局指數(shù)吸引集，有

注 當(dāng)λ＝1時(shí)，即為文獻(xiàn)［10］中的結(jié)果.

定理2 對(duì)任意的a＞0，b＞0，c＞0，系統(tǒng)（1）存在指數(shù)估計(jì)式

集合

為系統(tǒng)（1）的一個(gè)全局指數(shù)吸引集.其中：

證明 定義V1（X）＝y(tǒng)2＋z2，當(dāng)V1（X （t））＞M，V1（X （t0））＞M，沿著系統(tǒng)（1）求導(dǎo)得

對(duì)上述不等式兩邊積分，當(dāng)V1（X（t））＞M，V1（X （t0））＞M，有

令t→＋∞，對(duì)上述不等式兩邊取上極限

2 數(shù)值模擬

取參數(shù)a＝5，b＝16，c＝1，這時(shí)由定理θ＝min （a，c，1）＝1，β＝min （c，1）＝1，系統(tǒng)的2個(gè)全局指數(shù)吸引集為：

特別的，取λ＝1，這時(shí)有

系統(tǒng)（1）的正半軌線界估計(jì)如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)（1）正半軌線最終界估計(jì)圖

3 結(jié)論

本文基于動(dòng)力系統(tǒng)的基本理論和方法，采用理論分析和Matlab仿真相結(jié)合的方式，在已有文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，研究了一個(gè)新三維混沌系統(tǒng)的一些復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，包括新混沌系統(tǒng)的耗散性和吸引子的存在性、系統(tǒng)的對(duì)稱性、混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其個(gè)數(shù)、混沌系統(tǒng)的全局吸引域、系統(tǒng)的不變集等，對(duì)于該混沌系統(tǒng)吸引域的研究推廣了文獻(xiàn)中的已有結(jié)果，同時(shí)給出了相應(yīng)的Matlab仿真，Matlab仿真驗(yàn)證了本文計(jì)算理論的可行性和正確性.

［1］ 汪威，朱曉剛，李俊杰，等.Feigenbaum吸引子的動(dòng)力性質(zhì)［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，46（4）：48-51.

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Dynamical analysis of a new nonlinear 3Dchaotic system

FU Mu-liang1，ZHANG Yong1，ZHANG Guang－yun2，LU Zhen-kun3
（1.Department of Basic Teaching，Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473000，China；2.School of Foreign Languages，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China；3.Institute of Information Science and Engineering，Guangxi University for Nationalities，Nanning 530006，China）

Based on the theory and the method of dynamical systems，this paper further investigates complex dynamical behaviors of a new chaotic system including the chaotic attractor of the system，the divergence of the system，the equilibria of the system，the number of equilibrium point of the system，global attractive set，symmetry and invarian sets by theoretical analysis and Matlab simulation combined method.The results of this paper generalize the existing results available in the literature.Matlab simulation verifies the correctness of the theoretical calculation.

chaotic system；chaotic attractor；invariant set；matlab simulations

O 29；O 242.1 ［學(xué)科代碼］ 110·61

A

（責(zé)任編輯：石紹慶）

1000-1832（2015）03-0068-04

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.015

2014-02-08

廣西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014GXNSFBB118005）.

付木亮（1978—），男，講師，主要從事數(shù)學(xué)理論研究.