郭慶，胡良紅，徐翠鋒

（桂林電子科技大學電子工程與自動化學院，廣西桂林541004）

非線性系統(tǒng)沖激響應快速檢測方法的研究

郭慶，胡良紅，徐翠鋒

（桂林電子科技大學電子工程與自動化學院，廣西桂林541004）

針對室內聲學非線性系統(tǒng)室內沖激響應快速檢測的問題，提出了一種基于連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號綜合檢測的方法。通過簡要介紹非線性系統(tǒng)Volterra模型后，著重闡述了作為激勵信號的連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號和實現(xiàn)非線性系統(tǒng)沖激響應快速檢測的基本原理和相關技術。最后，通過一個應用實例驗證了該方法的可行性和快速性。

非線性系統(tǒng)；沖激響應；連續(xù)指數(shù)掃頻信號；快速檢測

0 引言

在傳統(tǒng)的室內聲學沖激響應測量中，一般采用周期性脈沖[1]和最大長度序列[1-2]兩種檢測方法。然而，周期性脈沖測量不但測試時間長、信噪比差，而且由于激勵能量低而不能輸出非線性失真；而最大長度序列測量雖然改善了其信噪比，然而，其要求系統(tǒng)必須有良好的線性。因此，傳統(tǒng)的方法無法分離非線性系統(tǒng)的線性與非線性響應，基于以上的問題，本文提出了一種基于非線性系統(tǒng)的Volterra數(shù)學模型，采用連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號作為激勵信號，利用Hilbert-Huang變換技術和相關的逆濾波器技術實現(xiàn)快速簡捷的解決方法。

1 非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型

室內聲學系統(tǒng)一般可認為信號先經(jīng)過一個非線性系統(tǒng)，然后再在一個線性系統(tǒng)中傳輸，其原理框圖如圖1所示。

對于一個無記憶的非線性系統(tǒng)的特征可由N階Volterra核函數(shù)[3]KN（t）表示，非線性的系統(tǒng)響應如式（1）所示：

Farina[4-5]指出該模型下的非線性系統(tǒng)的全局響應可以由一個高斯白噪聲n（t）加上一系列的沖激響應hi（t）（hi（t）=ki（t）?h（t））和相應不同功率的輸入信號做卷積的結果組成。該模型下的全局響應如式（2）所示：

在實際應用中，這樣的系統(tǒng)不失一般性。然而，實踐中測量這種系統(tǒng)的各階沖激響應函數(shù)hi（t）往往又是非常耗時、困難和復雜的。下面將介紹一種通過采用特定的激勵信號測量和相關的技術處理，快速獲取系統(tǒng)各階沖激響應分布的方法。

2 系統(tǒng)信號源的選擇和沖激響應實現(xiàn)的相關技術

2.1 激勵信號的選擇

在測量方法中，既希望測量較寬的頻帶，又希望測量時間盡可能短，并且還希望在測量的頻率范圍內得到更為精確的結果。在傳統(tǒng)的測量中，主要選擇線性正弦掃頻信號和離散指數(shù)掃頻信號兩種信號作為激勵信號。線性正弦掃頻信號作為激勵信號，其頻率呈線性連續(xù)變化，在22 Hz～22 kHz的頻率范圍下測試，測試時間大概需要15 s；為縮短測量時間，S.Temme等[6]提出了離散指數(shù)掃頻信號，該信號頻率點以指數(shù)比率增長，該信號是以犧牲測量精度為代價，換取更短的測量時間，但是，在精度為1/24倍頻程下測試，測量時間也需要十多秒。

圖1 非線性系統(tǒng)基本原理框圖

為了解決以上兩種信號在時間和精度上的問題，本文采用連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號作為激勵信號。該激勵信號的形式如式（3）所示：

其中，A為信號的幅度，θ（t）為信號的瞬時相位，T為信號掃頻的總時間，w1和w2分別為信號的起始頻率和終止頻率。

該激勵信號隨著時間的變化，其頻率呈指數(shù)連續(xù)增長，在1 s內從起始頻率20 Hz到終止頻率20 kHz的測量結果如圖2所示。

圖2 連續(xù)指數(shù)掃頻信號特點

由圖2（a）可知，該激勵信號能在較短時間內連續(xù)測試頻率點，因此，得到的測量頻率更精確。結合圖2（b）和（c）可知，激勵信號隨著頻率的增加，能量降低。如圖2（c）所示，激勵信號的頻譜是一個粉紅譜，下文將介紹根據(jù)這樣的一個頻譜進行的幅度調制。另外，該激勵信號還有一個重要的特點，如下式（4）所示。

由上式可知，激勵信號某時刻頻率的N倍，等于該激勵信號頻率延時Δt對應的頻率，即Δt表示了N次諧波出現(xiàn)的時刻與基波之間的時間間隔。此時間間隔只與激勵信號的起始頻率、終止頻率、掃頻總時間和N有關。因此，由式（5）可以確定某時刻頻率的N次諧波出現(xiàn)的時刻。

2.2 沖激響應實現(xiàn)的基本原理

為了能夠實現(xiàn)快速檢測系統(tǒng)各階沖激響應，需要構造一個逆濾波器x′（t），它應滿足與激勵信號相卷積后，其結果為狄拉克函數(shù)δ（t）。再結合第1節(jié)非線性系統(tǒng)的描述，在連續(xù)指數(shù)正弦掃頻激勵下，非線性系統(tǒng)的沖激響應函數(shù)形式如式（6）所示：

其中，hi（t）表示第i階的沖激響應，Δti表示第i階的沖激響應與第1階沖激響應（即線性響應）之間的時間間隔，即上節(jié)介紹中的Δt。由式（6）可知，由于連續(xù)指數(shù)掃頻信號和特定的逆濾波器的引入，一個復雜的非線性系統(tǒng)的線性沖激響應和各階非線性沖激響應以Δti的時間間隔被分開。另外，從某種意義上來說這一特定的逆濾波器也是后續(xù)系統(tǒng)另一種形式上的激勵信號，下一節(jié)將介紹這一特定的逆濾波器。

2.3 沖激響應實現(xiàn)的相關技術——逆濾波器的實現(xiàn)

由上節(jié)可知，逆濾波器的創(chuàng)建基于非線性失真響應和激勵信號。另外，考慮實際測量中，信號總是因果的，因此，還要求逆濾波器應是一個因果的、穩(wěn)定的信號。根據(jù)參考文獻[7]中對創(chuàng)建逆濾波器的各種技術的分析，采用最簡單的最小二乘法技術求解逆濾波器。建立最小二乘法方程如式（7）所示：

其中，[R]矩陣為托普利茲矩陣，{g}為逆濾波器方程向量，{k}為系統(tǒng)響應函數(shù)方程向量。

另外，由于測量系統(tǒng)采用連續(xù)指數(shù)掃頻信號作為激勵信號，根據(jù)上節(jié)介紹的逆濾波器和激勵信號的關系，再結合上文介紹的連續(xù)指數(shù)掃頻信號隨著頻率的增加，能量不斷降低的情況，為補償其在低頻和高頻時能量的不一致，需要對逆濾波器進行幅度調制。采用Hilbert-Huang變換技術對激勵信號的頻譜幅值進行分析研究，根據(jù)其幅度包絡的特點在時域上對逆濾波器進行包絡調制。下面對連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號的頻譜進行分析。

對非線性、非平穩(wěn)的連續(xù)指數(shù)掃頻激勵信號進行Hilbert-Huang變換，設激勵信號x（t）時域上的解析信號Zx（t）和頻譜Zx（f）分別為：

其中，H[x（t）]是x（t）的希爾伯特變換，ax（t）和θx（t）分別為激勵信號的瞬時幅值和瞬時相位，Ax（f）為激勵信號頻譜的幅值。

設激勵信號的時域幅值ax（t）=1，由2.1節(jié)介紹的激勵信號的瞬時相位，對其進行兩次求導，再結合參考文獻[8]中公式：

可得激勵信號的頻譜幅值為：i

其中，fi為激勵信號的瞬時頻率，連續(xù)正弦掃頻信號頻域的幅度沿頻率分布的情況如圖3所示。

圖3 譜

結合圖3和式（11）可知，激勵信號的頻譜幅值是一個粉紅譜，Ax（f）正比于，頻率越低，激勵信號幅值越大。從能量的角度來看，激勵信號的能量從低頻向高頻不斷衰減，與2.1節(jié)中圖2（c）介紹的激勵信號的頻譜幅值變化相一致。

根據(jù)激勵信號頻譜幅值隨頻率變化的特點，在時域上對逆濾波器進行幅度調制，求得的逆濾波器時域波形圖和頻譜如圖4所示。

圖4 逆濾波器特點

3 應用實例

為了驗證上述方法的有效性和快速性，將其用于揚聲器系統(tǒng)的沖激響應測量。揚聲器系統(tǒng)測試基本框圖如圖5所示。

圖5 揚聲器系統(tǒng)基本框圖

計算機產(chǎn)生激勵信號經(jīng)功放后加載到具有非線性特性的揚聲器，揚聲器產(chǎn)生的聲場隨后經(jīng)過空間線性傳播由傳送器接收，接收到的信號經(jīng)陰極輸出器輸入計算機，計算機讀取其數(shù)據(jù)，然后進行分析、處理。

采用起始頻率為20 Hz、終止頻率為20 kHz、掃頻時間為1 s的連續(xù)指數(shù)掃頻信號作為激勵信號對揚聲器系統(tǒng)進行測試，將系統(tǒng)響應結果與上述的逆濾波器進行卷積后，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，得到的揚聲器系統(tǒng)的各階沖激響應測量結果如圖6所示。

圖6 揚聲器系統(tǒng)各階沖激響應圖

圖7（a）是連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號激勵法下的沖激響應測量結果圖，圖7（b）和（c）分別為最大長度序列法和周期性脈沖法在室內揚聲器系統(tǒng)下測量的沖激響應結果圖[9]。結合圖6、圖7和參考文獻[9]可知，連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號激勵法的最大特點是能夠實現(xiàn)對非線性系統(tǒng)各階沖激響應的快速檢測，而最大長度序列法和周期性脈沖法無法將非線性系統(tǒng)中的線性與非線性響應部分分離開來。

圖7 不同測量方法獲得的沖激響應圖

由上述可知，圖6中從右邊開始最高幅值的是1階沖激響應即線性響應，依次向左分別為2階、3階、4階等更高階的沖激響應。它們以Δti的時間間隔依次被分隔開來，其中Δti可由上述推導的式（5）所求得，實現(xiàn)了對非線性系統(tǒng)各階沖激響應的快速檢測。

此外，從圖6測量結果中可看出，系統(tǒng)響應的噪聲在首尾處較大，這是由于激勵信號在首尾處由于信號幅度的突變而產(chǎn)生高頻能量造成的，為改善系統(tǒng)在首尾處產(chǎn)生的噪聲，可以對激勵信號進行加窗處理。

4 結論

本文從理論上對室內聲學非線性系統(tǒng)和作為激勵信號的連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號、逆濾波器的特性進行了分析研究，通過運用上述方法對具有非線性特性的揚聲器系統(tǒng)進行實際測試，揚聲器系統(tǒng)的線性沖激響應和各階非線性沖激響應被快速地測量出來，實現(xiàn)了對非線性系統(tǒng)各階沖激響應的快速檢測。

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A fast method to detect impulse response of nonlinear system

Guo Qing，Hu Lianghong，Xu Cuifeng
（School of Electronic Engineering and Automation，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，China）

A fast method for detection of impulse response of nonlinear system in the anechoic based on continuous exponential sine sweep signal is presented in this paper.Firstly，nonlinear system model in Volterra series is briefly described.Secondly，the continuous sine sweep signal and the basic principles and related technologies for rapid detection of impulse response of nonlinear systems are emphasized.Finally，the feasibility and rapidity of this method is proved by the test of system.

nonlinear system；impulse response；continuous exponential sine sweep signal；rapid detection

TP271+.6

：A

：1674-7720（2015）07-0079-04

2014-12-10）

郭慶（1962-），男，本科，教授，主要研究方向：嵌入式測控系統(tǒng)、微弱信號檢測、虛擬儀器技術。

胡良紅（1988-），女，碩士研究生，主要研究方向：信號處理。

徐翠鋒（1977-），通訊作者，女，研究生，講師，主要研究方向：嵌入式測控系統(tǒng)、信號處理，E-mail：xcf4100@guet.edu.cn。