陳晶

“估測(cè)作為算術(shù)估計(jì)的主要組成部分之一，被視為個(gè)體數(shù)量能力早期獲得的重要渠道，構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)知的一個(gè)重要領(lǐng)域。目前它已成為國(guó)際基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革中十分重視的內(nèi)容。許多國(guó)家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中都不同程度地規(guī)定了估測(cè)的教學(xué)要求?！盵1]我國(guó)正式將估測(cè)納入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》之中，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)估測(cè)的內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整。但在實(shí)際教學(xué)過程中，常常出現(xiàn)對(duì)估測(cè)的誤解和片面解讀：有些教師常常誤以為估測(cè)就是隨意猜測(cè)，還有的教師只是把估測(cè)教學(xué)僅僅執(zhí)行為猜測(cè)和測(cè)量驗(yàn)證等，對(duì)估測(cè)的誤讀和片面理解使得估測(cè)教學(xué)的效益大打折扣。如何理解估測(cè)教學(xué)的意義，培養(yǎng)學(xué)生的估測(cè)能力呢？筆者以《長(zhǎng)方形和正方形的面積》為例談?wù)劰罍y(cè)的教學(xué)實(shí)踐與思考。

一、 理解意義，把握價(jià)值

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在（1～3年級(jí)）學(xué)段目標(biāo)里提出“獲得初步的測(cè)量（包括估測(cè)）、識(shí)圖、作圖等技能”，在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)指出“能估計(jì)一些物體的長(zhǎng)度，并進(jìn)行測(cè)量”，“結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)面積的含義，能用自選單位估計(jì)和測(cè)量圖形的面積”，“探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形的面積公式，能估計(jì)給定的長(zhǎng)方形、正方形的面積”。在（4-6年級(jí)）學(xué)段目標(biāo)里提出“發(fā)展測(cè)量（包括估測(cè)）、識(shí)圖、作圖等技能”，在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)里指出“能用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積”。在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的學(xué)段目標(biāo)里未直接提及相關(guān)的估測(cè)要求，在（1-3年級(jí)）內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)里面指出：“能估測(cè)一些物體的長(zhǎng)度，并進(jìn)行測(cè)量”，以及“探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形的面積公式，會(huì)估計(jì)給定簡(jiǎn)單圖形的面積”。在（4-6年級(jí)）內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)里面提出了與《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》相同的要求。從上述變化可以看出，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》適當(dāng)降低了估測(cè)的要求，不再把估測(cè)作為一項(xiàng)技能。從對(duì)面積估測(cè)的教學(xué)內(nèi)容來看，這里的估測(cè)不僅僅有不借助于工具的物理測(cè)量，也包括借助簡(jiǎn)單的工具（方格紙）測(cè)量不規(guī)則圖形的面積。所以，估測(cè)教學(xué)不僅僅包括讓學(xué)生學(xué)會(huì)不借助工具進(jìn)行測(cè)量，也包括學(xué)會(huì)借助于工具獲得相關(guān)圖形面積的近似值。

二、 豐富表象，積累經(jīng)驗(yàn)

估測(cè)也是一種測(cè)量，這里的測(cè)量工具是單位表象、生活中的參照物，在教學(xué)過程中，既要豐富學(xué)生對(duì)于單位表象的認(rèn)識(shí)，熟悉生活中常見的物體表面的面積，也要加深學(xué)生對(duì)于面積測(cè)量意義的理解，積累面積測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)。

1.多維度認(rèn)識(shí)面積單位

常用的估測(cè)策略之一是“單位迭代”，即“估計(jì)者在估計(jì)時(shí)，使用某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位（如厘米），反復(fù)將標(biāo)準(zhǔn)單位與估計(jì)物相對(duì)照，記住上次標(biāo)準(zhǔn)單位結(jié)束的位置，開始下一次對(duì)照，計(jì)算單位的數(shù)目，從而得出估計(jì)結(jié)果”[2]。能夠使用“單位迭代”策略的基本前提之一就是形成比較穩(wěn)定的單位表象，教學(xué)過程中，需要通過不同層次的活動(dòng)讓學(xué)生豐富對(duì)面積單位的體驗(yàn)。如在認(rèn)識(shí)平方厘米的過程中，可以安排一系列的活動(dòng)：做一做，自己嘗試做1平方厘米的小正方形；看一看，讓學(xué)生看看1平方厘米正方形的大?。幌胍幌?，閉著眼睛想一想1平方厘米的大小；找一找，從生活中找到接近1平方厘米的物體的面等。學(xué)生對(duì)于面積單位的體驗(yàn)越豐富，形成的表象就越穩(wěn)定，在估測(cè)的過程中，主動(dòng)運(yùn)用“單位迭代”策略估測(cè)物體表面面積的能力就越強(qiáng)。

2.豐富物體表面面積的認(rèn)識(shí)

選擇合適的參照物來估測(cè)物體表面的面積也是常用的估測(cè)方法之一，所以，除了讓學(xué)生形成基本面積單位比較穩(wěn)定的表象外，還要形成對(duì)于生活中常見物體表面面積的理解與記憶。在教學(xué)過程中，一方面利用面積單位對(duì)實(shí)際的物體進(jìn)行測(cè)量，在測(cè)量中形成對(duì)生活中相應(yīng)物體表面面積的認(rèn)識(shí)，另一方面在完成“在（ ）里填合適的單位”時(shí)（如圖1），不僅讓學(xué)生填合適的單位，還要找到具體的面或者與之面積相近的面，讓學(xué)生理解其實(shí)際面積。還可以讓學(xué)生根據(jù)具體描述的面積，找一找生活中與之相近的物體的表面。通過這樣的活動(dòng)，豐富學(xué)生對(duì)于生活中常見物體表面面積的認(rèn)識(shí)，為后面學(xué)會(huì)找到合適的參照物進(jìn)行估測(cè)打下基礎(chǔ)。

3.拓展度量方法

學(xué)生在剛開始認(rèn)識(shí)面積單位時(shí)，對(duì)于實(shí)際物體表面的面積都是運(yùn)用面積單位進(jìn)行量化，在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中，還要讓學(xué)生運(yùn)用實(shí)際生活中已知物體的面去度量未知物體的面。在教學(xué)過程中可以設(shè)計(jì)類似的問題情境：明明媽媽的手機(jī)面的面積大約是40平方厘米，你能夠想辦法量出練習(xí)本封面的面積嗎？通過解決這種問題拓展面積度量方法。

對(duì)于較為規(guī)則的圖形面積的度量，除了讓學(xué)生理解可以運(yùn)用面積單位進(jìn)行直接測(cè)量外，還要基于圖形邊的長(zhǎng)度與面積單位之間的關(guān)系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)間接測(cè)量，理解間接測(cè)量的方便性。在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形面積的過程中，讓學(xué)生不僅僅知道長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，更要理解：長(zhǎng)在面積度量過程中表示的是什么？寬在面積度量過程中表示的是什么？把握直接測(cè)量與間接測(cè)量之間的聯(lián)系。

三、 靈活運(yùn)用，提升策略

基于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)估測(cè)的理解，估測(cè)既是一種不用工具的測(cè)量，也包括運(yùn)用測(cè)量工具獲得一個(gè)近似值。教學(xué)過程中，一方面要結(jié)合具體的問題讓學(xué)生豐富估測(cè)方法，另一方面也要讓學(xué)生學(xué)會(huì)描述估測(cè)的結(jié)果，不斷提高估測(cè)能力。

1.工具測(cè)量，合理描述測(cè)量結(jié)果

估測(cè)首先是一種測(cè)量，在讓學(xué)生估測(cè)的最初階段，要基于面積單位以及圖形面積的本源意義，讓學(xué)生利用合適的工具對(duì)于一些物體表面的面積進(jìn)行測(cè)量，學(xué)會(huì)描述測(cè)量結(jié)果的近似值。

（1）自選工具測(cè)量，初步把握結(jié)果。在學(xué)生認(rèn)識(shí)了面積單位后，可以讓學(xué)生運(yùn)用面積單位去測(cè)量物體表面的面積（如圖2），讓學(xué)生體會(huì)到運(yùn)用1平方米測(cè)量的過程中，如果比1平方米多一些可以忽略不計(jì)，如果比較接近1平方米則需要看成1平方米。通過這樣的簡(jiǎn)單操作，讓學(xué)生初步獲得對(duì)于度量結(jié)果處理的經(jīng)驗(yàn)。

在教學(xué)過程中，還可以讓學(xué)生運(yùn)用已知物體表面的面積去測(cè)量生活中常見物體表面的面積。如知道了文具盒蓋的面積，可以運(yùn)用文具盒蓋的面去度量桌面，看看桌面大約有幾個(gè)文具盒蓋的面積，然后算出結(jié)果。通過這樣的估測(cè)過程，豐富學(xué)生對(duì)于估測(cè)意義的理解，也培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)于結(jié)果的處理能力。

（2）方格測(cè)量，形成不同的描述方法。學(xué)生初步獲得了描述測(cè)量結(jié)果的近似值的經(jīng)驗(yàn)后，還要讓學(xué)生運(yùn)用面積單位去測(cè)量不規(guī)則圖形的面積，獲得運(yùn)用不同方法描述結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)。在教學(xué)圖3問題的過程中，對(duì)于結(jié)果的處理，可以根據(jù)前面的估測(cè)經(jīng)驗(yàn)，把所有的接近整格的都看成整格的，確定最后的結(jié)果；也可以進(jìn)一步觀察圖形所占的格子，有些不足整格的比半格多一些，有些不足整格的比半格小一些，可以把所有的不足整格都看成半格來估計(jì)它的面積；還可以找到所有的整格，確定圖形面積的下限，再找到所有不足整格的數(shù)量，算出整格數(shù)量和不足整格數(shù)量的總和，確定圖形面積的上限，運(yùn)用上下限確定圖形面積的范圍。通過不規(guī)則圖形面積的估測(cè)，進(jìn)一步豐富學(xué)生對(duì)于結(jié)果的處理方法，讓學(xué)生在實(shí)際的估測(cè)過程中能夠根據(jù)不同的要求選擇不同的估測(cè)方法。

2.直覺猜測(cè)與測(cè)量驗(yàn)證相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的“量感”

學(xué)生對(duì)于不用工具的估測(cè)，首先是一種直覺猜測(cè)，在學(xué)生進(jìn)行直覺猜測(cè)后，還需要通過面積單位進(jìn)行測(cè)量，讓學(xué)生調(diào)整原有頭腦里的認(rèn)識(shí)，通過這樣不斷反復(fù)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的“量感”。如讓學(xué)生猜一猜平時(shí)課桌面的面積，學(xué)生在猜測(cè)的過程中，基于對(duì)面積單位及數(shù)的感覺的認(rèn)識(shí)，形成了對(duì)于桌面面積單位數(shù)量的初步認(rèn)識(shí)，最后通過測(cè)量結(jié)果與猜測(cè)結(jié)果的比較，讓學(xué)生調(diào)整頭腦里原有的猜測(cè)結(jié)果，在頭腦里形成對(duì)于桌面面積的新認(rèn)識(shí)。

3.有效“單位迭代”，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念

“單位迭代”是學(xué)生常用的估測(cè)策略，學(xué)生在估測(cè)學(xué)習(xí)的初始階段，要通過富有啟發(fā)性的情境，讓學(xué)生主動(dòng)嘗試進(jìn)行“單位迭代”。如教學(xué)圖4問題的過程中，受圖形形狀的啟發(fā)，學(xué)生會(huì)想到在腦子里擺一擺面積單位進(jìn)行“單位迭代”，最后估測(cè)出每個(gè)圖形的面積。學(xué)生在單位迭代的過程中，一方面主動(dòng)提取了原有的面積單位，另一方面把原有的面積單位在頭腦里根據(jù)度量的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行主動(dòng)拼擺。通過這樣的“單位迭代”估測(cè)過程，有效培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

4.利用參照物估測(cè)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

在一個(gè)圖形中面積單位的數(shù)量較多時(shí)，“單位迭代”策略就不太容易估測(cè)出圖形的面積，需要調(diào)整估測(cè)的思路，找一個(gè)合適的參照物來估測(cè)。在教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生描述一個(gè)較小物體表面的面積，然后估測(cè)一個(gè)與其相關(guān)的面積，在這樣的情境中學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用選擇參照物的方法，提升估測(cè)水平。如知道了教室門面的面積后，再讓學(xué)生去想一想墻面的面積大約是多少，有了對(duì)門面面積的了解，學(xué)生在估測(cè)過程中自然會(huì)選擇門面這個(gè)參照物去估測(cè)墻面的面積，可以將墻面按門面的大小進(jìn)行劃分，也可以在大腦里想象出在墻面上移動(dòng)門面，通過這種找參照物估測(cè)的方法，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

5.利用公式估測(cè)，加深對(duì)公式意義的理解

學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算方法后，對(duì)于一些長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算可以讓學(xué)生依據(jù)公式，估測(cè)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，然后算出圖形的面積，降低學(xué)生估測(cè)的難度。在教學(xué)圖5問題的過程中，學(xué)生交流并回憶其中的估測(cè)方法，通過不同方法之間的比較，理解估測(cè)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，最終用公式算出面積是較為簡(jiǎn)單的策略。

對(duì)于實(shí)際生活中一些常見物品如桌面、籃球場(chǎng)等面積的估測(cè)，可以進(jìn)一步借助于“身體上的尺”估測(cè)出長(zhǎng)和寬，最后再算出其中的面積，豐富估測(cè)的方法。

6.復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單圖形，加強(qiáng)圖形之間的聯(lián)系

生活中的圖形不一定都是標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)方形或正方形，這些圖形的估測(cè)相對(duì)比較復(fù)雜，對(duì)于這樣的圖形，可以引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析圖形的形狀，將其中的一些圖形看成已經(jīng)學(xué)過的長(zhǎng)方形或正方形進(jìn)行估測(cè)，也可以將一些圖形進(jìn)行合理的分解與重組，最終拼成長(zhǎng)方形或正方形。例如，椅子表面是梯形的，學(xué)生還未曾學(xué)過梯形的面積，可以將椅子的面看成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，然后估測(cè)其面積。一些更復(fù)雜的圖形（如圖6），可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的切割與拼組，最終轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形來估測(cè)其面積。通過圖形的轉(zhuǎn)化，加強(qiáng)圖形面之間的轉(zhuǎn)化能力，提升估測(cè)的水平。

估測(cè)是一種測(cè)量，這種測(cè)量由于受工具的限制，我們只能獲得一個(gè)近似數(shù)，需要我們選擇合適方法去描述結(jié)果。估測(cè)更是一種解決問題的策略，這種策略體現(xiàn)在對(duì)于不同的圖形，我們要能夠根據(jù)圖形的特征靈活選擇合適的策略進(jìn)行估測(cè)，在后續(xù)學(xué)習(xí)過程中，還需要根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步提升估測(cè)的水平。這樣的估測(cè)教學(xué)，才能促進(jìn)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不斷積累、思維水平不斷提升，達(dá)到估測(cè)教學(xué)的目的。

參考文獻(xiàn)

[1][2] 司繼偉，孟麗麗，徐繼紅.測(cè)量估計(jì)研究：回顧與展望[J].心理科學(xué)，2007（6）.

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】