王益艷，肖 丹，鐘 超，胥 菲，田惠珍

(四川文理學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，四川 達(dá)州 635000)

基于結(jié)構(gòu)張量擴(kuò)散的改進(jìn)PDE濾波算法

王益艷，肖 丹，鐘 超，胥 菲，田惠珍

(四川文理學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，四川 達(dá)州 635000)

從擴(kuò)散的角度分析了圖像處理中傳統(tǒng)熱擴(kuò)散和PM模型的不足，提出了一種各向異性的改進(jìn)PDE濾波算法.該算法利用圖像的結(jié)構(gòu)張量信息和局部特征，自適應(yīng)選取擴(kuò)散系數(shù)，在圖像平坦區(qū)域，具有各向同性擴(kuò)散；而在圖像邊緣處，則只沿著切向擴(kuò)散.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法具有良好的濾波性能，在濾波的同時(shí)可有效保護(hù)邊緣細(xì)節(jié)，對(duì)灰度圖像特別是醫(yī)學(xué)圖像，相對(duì)于傳統(tǒng)方法，該算法可以獲得更好的主觀視覺效果和客觀性能評(píng)價(jià)指標(biāo).

圖像濾波；偏微分方程；各向異性；擴(kuò)散系數(shù)；結(jié)構(gòu)張量

圖像在獲取和傳輸過程中，往往受到各種噪聲的影響而使圖像質(zhì)量退化.為了方便圖像的后續(xù)處理(如邊緣檢測、圖像分割、圖像識(shí)別等)[1]，圖像濾波成了圖像預(yù)處理的關(guān)鍵環(huán)節(jié).傳統(tǒng)的濾波方法包括均值濾波、高斯平滑濾波等[2]，均值濾波是以像素鄰域內(nèi)的平均值替代當(dāng)前像素點(diǎn)的值，而高斯平滑濾波考慮了像素間距離的相似性，以高斯函數(shù)為模版，對(duì)圖像進(jìn)行加權(quán)平均處理.然而，這2種方法都是線性的，在去除噪聲的同時(shí)，會(huì)導(dǎo)致圖像的邊緣模糊.近年來，基于偏微分方程(PDE)的圖像處理成為人們研究的熱點(diǎn)課題，包括圖像濾波、放大、修復(fù)和分割等[3-5]，其良好的處理效果已引起國內(nèi)外學(xué)者的持續(xù)關(guān)注.熱擴(kuò)散和PM模型就是其中的典型代表[6-7].從擴(kuò)散的角度分析，熱擴(kuò)散模型在梯度方向和邊緣方向具有同等擴(kuò)散，即各向同性的.因此，該模型在平滑噪聲的同時(shí)，會(huì)模糊圖像的細(xì)節(jié)[8].PM模型根據(jù)圖像的梯度信息，設(shè)計(jì)合適的擴(kuò)散系數(shù)，具有各向異性擴(kuò)散性能.但PM模型在圖像平坦區(qū)域容易產(chǎn)生“塊”效應(yīng)[9]，且無法濾除邊界上的噪聲.

基于此，本文提出一種各向異性的改進(jìn)PDE濾波算法.該算法利用圖像的結(jié)構(gòu)張量信息和局部特征，構(gòu)造了一種自適應(yīng)擴(kuò)散函數(shù).在圖像平坦區(qū)域，梯度和切線2個(gè)方向具有同等擴(kuò)散，而在圖像邊緣處，則只沿著切線方向擴(kuò)散.同時(shí)，還引入數(shù)據(jù)保真項(xiàng)，在濾波過程中可更好地保護(hù)圖像細(xì)節(jié).仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型具有良好的濾波性能，與傳統(tǒng)濾波方法相比，對(duì)灰度圖像特別是醫(yī)學(xué)圖像，在同等測試條件下，該方法對(duì)應(yīng)的峰值信噪比(PSNR)值更高，均方根誤差(RMSE)更小，同時(shí)比傳統(tǒng)PDE擴(kuò)散模型收斂所需的迭代次數(shù)也更少.

1 2種經(jīng)典PDE模型

1.1 熱擴(kuò)散模型

擴(kuò)散起源于物理學(xué)，將介質(zhì)從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域轉(zhuǎn)化的過程稱為擴(kuò)散.對(duì)二維圖像而言，標(biāo)準(zhǔn)的熱擴(kuò)散方程[6]可表示為：

(1)

(2)

上式中，ux和uy分別表示u在x和y方向上的偏導(dǎo)數(shù).通過坐標(biāo)變換，可將(1)式改寫為下面的形式：

(3)

其中uηη和uξξ分別表示u在η和ξ方向上的二階導(dǎo)數(shù)，表達(dá)式如下：

(4)

(5)

由(3)式可以看出，熱擴(kuò)散模型在梯度方向η和切線方向ξ具有各向同性擴(kuò)散.因此，該模型在平滑噪聲的同時(shí)，會(huì)模糊圖像的細(xì)節(jié)[8].

1.2PM擴(kuò)散模型

為克服熱擴(kuò)散方程的缺點(diǎn)，Perona和Malik提出了非線性擴(kuò)散方程(以下簡稱PM擴(kuò)散方程)[7]：

(6)

(7)

其中x≥0，閾值參數(shù)τ的取值可以人工給定，也可按照Canny直方圖估計(jì)方法[10]求得.

通過坐標(biāo)變換，可將(6)式改寫為以下形式：

(8)

2 本文方法

根據(jù)上節(jié)可知，熱擴(kuò)散模型在梯度方向和切線方向具有相同的擴(kuò)散，而PM模型雖然在2個(gè)方向上都有不同擴(kuò)散，但由于其解的不適定性，使得不同的參數(shù)設(shè)置可能會(huì)導(dǎo)致方程產(chǎn)生完全不同的結(jié)果.基于此，本文提出改進(jìn)的各向異性PDE擴(kuò)散模型：

(9)

其中，k1和k2分別表示沿梯度和切線2個(gè)方向的擴(kuò)散系數(shù)，k1,k2∈[0,1].為方便起見，令k1+k2=1，且k1=κ，則(9)式可改寫為

(10)

(11)

其函數(shù)變化曲線如圖2.

式(11)中擴(kuò)散系數(shù)κ的自變量選取直接影響到最終的濾波效果.結(jié)構(gòu)張量[12-13]常用來估計(jì)圖像結(jié)構(gòu)方向場和分析圖像局部幾何結(jié)構(gòu).為此，本文提出如下基于結(jié)構(gòu)張量的各向異性擴(kuò)散系數(shù).

對(duì)于給定的圖像u(x,y)，其局部結(jié)構(gòu)信息不僅表現(xiàn)為圖像的梯度.利用如下定義的海森矩陣(Hessian matrix)，可以獲取更豐富的局部結(jié)構(gòu)信息[14]：

(13)

(14)

它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為μ1和μ2，可表示為：

(15)

角度θ是最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量與水平方向之間的夾角：

(16)

在圖像的平坦區(qū)域，結(jié)構(gòu)張量的擴(kuò)散速度較慢，具有較弱的方向一致性，I1≈I2≈0；在圖像邊緣區(qū)域，局部能量較大，方向一致性較好，I1?I2≈0.因此，本文構(gòu)造擴(kuò)散系數(shù)κ為：

(17)

同時(shí)，為了更好地保持圖像的細(xì)節(jié)，引入數(shù)據(jù)保真項(xiàng)，則(10)式變?yōu)椋?/p>

(18)

上式中，uηη和uξξ分別表示u在梯度η和切線ξ方向上的二階導(dǎo)數(shù)，其表達(dá)式如前面(4)式和(5)式；u0為觀測圖像，u為原始真實(shí)圖像；λ為拉格朗日乘子，對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)和數(shù)據(jù)保真項(xiàng)起到平衡作用.

由上述分析可知，與2種經(jīng)典的PDE擴(kuò)散模型相比，本文方法不但在梯度和切線2個(gè)方向上都具有不同的擴(kuò)散，并且充分考慮了圖像局部結(jié)構(gòu)特征，可自適應(yīng)選取擴(kuò)散系數(shù)，對(duì)于灰度漸變區(qū)該方法能更好地進(jìn)行平滑，可有效避免“塊”效應(yīng).

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

(19)

(20)

(21)

(22)

綜上分析，本文算法具體步驟如算法1所示.

算法1 基于結(jié)構(gòu)張量擴(kuò)散的各向異性PDE濾波算法:

首先初始化u0，對(duì)(22)式進(jìn)行n次迭代，具體過程如下：

(b)再由(19)～(21)式計(jì)算(12)式中的J；

(c)由J可計(jì)算(13)和(14)中的I1，I2；

(d)將I1，I2代入(17)式計(jì)算擴(kuò)散系數(shù)κ;

3.2 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，我們進(jìn)行了大量仿真實(shí)驗(yàn)，并以均方根誤差(RMSE)和峰值信噪比(PSNR)作為濾波性能的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo).其表達(dá)式分別為：

(23)

(24)

式中，x是大小為M×N像素的原始圖像，y是濾波后的圖像.PSNR值越大，RMSE值越小，圖像濾波效果越好.

對(duì)灰度圖像“house”和醫(yī)學(xué)圖像“Cone beam CT”加入一定程度的高斯噪聲，分別采用傳統(tǒng)均值濾波、高斯平滑濾波、熱擴(kuò)散模型、PM擴(kuò)散模型和本文方法對(duì)其進(jìn)行處理，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3、4所示.表1給出了不同測試條件下，各種方法對(duì)應(yīng)的RMSE值和PSNR值比較結(jié)果，圖5給出了不同測試條件下，后3種擴(kuò)散模型對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)比較結(jié)果.

從圖3～4看出，傳統(tǒng)均值濾波、高斯平滑濾波和熱擴(kuò)散模型在濾波的同時(shí)模糊了部分圖像細(xì)節(jié)，PM模型雖然濾波性能相對(duì)有所提高，但在平坦區(qū)域仍存在一定程度的“塊”效應(yīng).本文方法既能有效平滑平坦區(qū)域的噪聲，而且與前幾種模型相比，也能較好保護(hù)圖像的邊緣細(xì)節(jié).另一方面，本文方法對(duì)應(yīng)的客觀性能評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)于其他幾種傳統(tǒng)方法(見表1)，從圖5看出，本文所需的迭代次數(shù)也明顯少于熱擴(kuò)散模型和PM模型.這進(jìn)一步說明了本文方法的優(yōu)越性.

表1 各種濾波方法在不同測試條件下對(duì)應(yīng) 的RMSE值和PSNR值(dB)比較

圖5為不同測試條件下，3種PDE擴(kuò)散模型對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)比較.

4 結(jié)語

本文在分析傳統(tǒng)經(jīng)典擴(kuò)散模型不足的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)PDE濾波算法.該方法利用圖像結(jié)構(gòu)張量信息和局部特征，構(gòu)建了一種自適應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖像不同區(qū)域的各向異性濾波.最后通過仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文方法的有效性和優(yōu)越性.關(guān)于模型參數(shù)的選取及該模型在彩色圖像中的應(yīng)用將是今后研究的重點(diǎn).

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(責(zé)任編輯 莊紅林)

An improved PDE filtering algorithm based on the structure tensor diffusion

WANG Yi-yan,XIAO Dan,ZHONG Chao,XU Fei,TIAN Hui-zhen

(School of Physics and Mechanical and Electronic Engineering,Sichuan University of Arts and Science,Dazhou 635000,China)

The drawbacks of heat diffusion and PM model are analyzed from the view of diffusion. Then an improved anisotropic filtering algorithm based PDE is proposed. The proposed algorithm can select diffusion coefficients adaptively according to the structure tensor information and local features of the image; in the flat region of the image, diffusion will be executed with equal spread both along the gradient and tangential, while on the edge of the image, diffusion will be executed only along the tangential. The experimental results demonstrate that the proposed algorithm has good filtering performance, which can preserve edge details effectively during denoising. Meanwhile, for both gray image and medical image, the proposed algorithm is superior to the conventional methods in the aspect of objective performance evaluation and subjective visual effect.

image filtering;partial differential equations;anisotropy;diffusion coefficient;structure tensor

2014-06-26.

四川省教育廳一般科研項(xiàng)目(13ZB0098);四川文理學(xué)院大學(xué)生科研項(xiàng)目(X2013Z006).

王益艷(1982-)，男，碩士，講師.主要研究方向：圖像處理與模式識(shí)別.

TP391.9

A

1672-8513(2015)01-0057-05