李 晨，和曉萍，周衛(wèi)紅

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

基于壓縮感知的圖像水印算法研究

李 晨，和曉萍，周衛(wèi)紅

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

提出一種基于壓縮感知和非采樣Contourlet變換的數(shù)字圖像水印算法.首先使用NSCT變換對(duì)載體圖像進(jìn)行稀疏分解，對(duì)低頻系數(shù)矩陣進(jìn)行Arnold置亂；然后采用高斯觀測(cè)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行壓縮感知測(cè)量，在感知域(壓縮信號(hào))中進(jìn)行水印嵌入；最后使用OMP算法恢復(fù)重組的低頻矩陣信號(hào)，使用NSCT逆變換重構(gòu)圖像.算法中，測(cè)量矩陣同時(shí)充當(dāng)了密鑰的作用，增強(qiáng)了算法的安全性，此外Arnold變換也增強(qiáng)了水印的不可見(jiàn)性和安全性.仿真實(shí)驗(yàn)證明，所提算法對(duì)加噪、濾波、旋轉(zhuǎn)具有較高的魯棒性.

數(shù)字水??；壓縮感知；NSCT變換；OMP算法

數(shù)字水印技術(shù)依據(jù)水印信息的嵌入位置可以分為2類(lèi)，一類(lèi)是以LSB(最低有效位)算法[1-2]和回聲掩蔽算法[3]作為代表的時(shí)空域水印算法，該類(lèi)算法具有操作簡(jiǎn)單且運(yùn)算速度較快的優(yōu)點(diǎn)，但嵌入量較小，魯棒性較差，易受到攻擊；另一類(lèi)算法是以DFT(離散傅立里葉變換)、DCT(離散余弦變換)以及DWT(離散小波變換)[4]等算法作為代表的變換域水印算法.這類(lèi)算法通常是通過(guò)改變信號(hào)的變換域系數(shù)作為水印嵌入的前提，其優(yōu)點(diǎn)是抗攻擊的能力比較強(qiáng)，即使水印的信息量較大，嵌入后，仍具有不可見(jiàn)性.

壓縮感知是近年來(lái)新興的一種信號(hào)獲取技術(shù)，也被稱為壓縮傳感或壓縮采樣，是一種利用信號(hào)稀疏性進(jìn)行信號(hào)重建的技術(shù).通過(guò)在信號(hào)采樣時(shí)壓縮降低其信息量，從而降低了采樣率[5].將壓縮感知應(yīng)用到數(shù)字水印當(dāng)中，具有較大的優(yōu)越性[6-12].首先，基于壓縮感知的數(shù)字水印算法可使水印提取準(zhǔn)確，增大魯棒性，使其適應(yīng)多重攻擊，對(duì)于維護(hù)圖像版權(quán)具有重要意義.其次，壓縮感知處理后，圖像中的水印具有2個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①壓縮感知的加密性，由于測(cè)量矩陣具有多樣性和壓縮比具有可調(diào)節(jié)性的特點(diǎn)，能夠有效地提高整個(gè)加密過(guò)程的安全性，如果侵入方并不知道密鑰(測(cè)量矩陣)，那么水印幾乎是不可提取的，這樣能夠有效防止對(duì)水印的惡意篡改和提取，保護(hù)原作者的版權(quán)；②由于壓縮采樣的原因，對(duì)于同樣的水印在進(jìn)行壓縮后，其有效信息量要明顯比原來(lái)的信息量少，若嵌入圖像中的水印信息量減少，那么在水印嵌入后，對(duì)于原圖像的視覺(jué)效果影響就能減小.

1 壓縮感知理論的基本原理及數(shù)學(xué)模型

以奈奎斯特采樣定理為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)信號(hào)采樣采樣方法不僅存在著硬件成本高、采集效率低等缺點(diǎn)，而且對(duì)于數(shù)據(jù)的壓縮及傳輸都造成了很大程度的資源浪費(fèi).2004年，Tao等提出了一種新型信息提取理論，即壓縮感知理論(compressed sensing，CS).壓縮感知理論可以避開(kāi)高速采樣，降低采樣速率和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的成本，克服傳統(tǒng)信號(hào)處理中的限制和浪費(fèi)，在信號(hào)恢復(fù)過(guò)程中，采用信號(hào)觀測(cè)矩陣，由一個(gè)非線性優(yōu)化的問(wèn)題進(jìn)行恢復(fù).

假設(shè)某一信號(hào)x，且x∈RN,某一組正交基為ψi，其中i=1,2，…，N，將信號(hào)x在正交基下展開(kāi)：

(1)

其中αi=〈x,ψi〉,以矩陣的形式可以表示為：

x=Ψα.

(2)

y=Φx.

(3)

其中y(y∈RM)是信號(hào)x中的M個(gè)線性觀測(cè)，將(2)式代入(3)式，通過(guò)優(yōu)化算法進(jìn)行信號(hào)重建，就可以從y中恢復(fù)信號(hào)x，過(guò)程如圖1所示.

1.1 信號(hào)的稀疏性表示

壓縮感知理論中所指的可壓縮信號(hào)是指在某個(gè)變換域下近似稀疏.在(1)式中，若α只有除S個(gè)最大值外其余元素都是0，或者說(shuō)α經(jīng)過(guò)指數(shù)級(jí)衰減排序后趨近于0，那么該向量在嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)是稀疏的，稱之為S-稀疏.在滿足重構(gòu)條件的情況下，通過(guò)統(tǒng)計(jì)理論和組合優(yōu)化理論可知，若將S-稀疏信號(hào)精確恢復(fù)，則僅需要S+1次的觀測(cè).對(duì)于隨機(jī)高斯和隨機(jī)±1的Rademacher觀測(cè)矩陣，O(Slog(N/S))的采樣就能將N維信號(hào)的S個(gè)最大值以較高的概率穩(wěn)定重建[8].因此若在字典矩陣下表示的信號(hào)能夠表現(xiàn)出稀疏性，那么，我們?cè)谥貥?gòu)信號(hào)時(shí)，就可以只用到少量的觀測(cè)數(shù)目，即使重構(gòu)信號(hào)的要求比較精確.所以說(shuō)，稀疏表示系統(tǒng)的設(shè)計(jì)歸結(jié)為稀疏字典Ψ的設(shè)計(jì).目前常用的字典有框架字典、正交基字典、級(jí)聯(lián)字典和自適應(yīng)字典.

1.2 觀測(cè)矩陣構(gòu)造

觀測(cè)矩陣的構(gòu)造是壓縮感知的關(guān)鍵所在.首先，將(2)式代入(3)式，可得到：

y=ΦΨα=ACSα.

(4)

其中，ACS稱為CS的信息算子，且ACS=ΦΨ，在這種情況下，只要證明矩陣ACS中有系數(shù)向量可以滿足(4)式的成立，即滿足RIP條件，對(duì)于某個(gè)ε，有

(5)

其中，v是指與原始信號(hào)具有同樣稀疏度的向量，RIP條件同樣要求矩陣的不相關(guān)性，這樣我們就可以重建原信號(hào).在設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣時(shí)，必須要考慮以下3個(gè)方面：①是觀測(cè)波形是否有利于信息算子具有良好的品質(zhì)；②是要滿足矩陣或者字典具有不相關(guān)性；③是測(cè)量波形是否滿足計(jì)算時(shí)間快，數(shù)據(jù)量?jī)?chǔ)存低等優(yōu)勢(shì).本文在運(yùn)用壓縮矩陣?yán)碚搶?duì)圖像進(jìn)行處理時(shí)，采用高斯隨機(jī)矩陣進(jìn)行觀測(cè).

1.3 信號(hào)恢復(fù)的算法

1.4 NSCT變換

NSCT是一種非采樣Contourlet變換，是由Do和Vetterli于2005年提出的.它能夠解決Contourlet變換所缺乏的平移不變性.首先，NSCT變換采用非采樣塔式濾波器 (nonsubsampled pyramid filter bank，NSPFB)對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行多尺度分解，其次，NSCT變換使用非采樣方向?yàn)V波器(nonsubsampled directional filter bank，NSDFB)對(duì)圖像分解后產(chǎn)生的高頻子帶進(jìn)行方向性分解.NSCT 變換的核心部分就是非采樣方向?yàn)V波器，它的基本原理是將信號(hào)通過(guò)方向?yàn)V波器時(shí)，分別對(duì)其進(jìn)行上下采樣，也就是說(shuō)在分解信號(hào)時(shí)，先對(duì)其進(jìn)行上采樣，隨后進(jìn)行信號(hào)的分解和過(guò)濾，這樣析出的信號(hào)可以直接進(jìn)入下一層濾波器，這樣做的優(yōu)點(diǎn)在于可以省去中間濾波器的采樣信號(hào)，節(jié)省信號(hào)的存儲(chǔ)空間，并且原圖像和每層分解后的子帶圖像信號(hào)能夠基本保持一致[10].

1.5 數(shù)字水印的性能評(píng)價(jià)及攻擊分析

水印的不可見(jiàn)性一般采用PSNR(峰值信噪比)進(jìn)行衡量，峰值信噪比值越高，說(shuō)明水印不可見(jiàn)性越好.如果A表示原始圖像，B代表嵌入水印的圖像，峰值信噪比計(jì)算公式為:

(6)

(7)

2 水印的提取與嵌入算法描述

2.1 水印的嵌入過(guò)程

1) 將原圖像A使用NSCT變換分解，實(shí)現(xiàn)稀疏分解，得到低頻系數(shù)矩陣x；

2) 讀取水印圖像w并降維，對(duì)低頻系數(shù)矩陣進(jìn)行m次Arnold變換，得到置亂矩陣x′；

3) 用高斯隨機(jī)數(shù)生成觀測(cè)矩陣B與置亂矩陣x′相乘，生成觀測(cè)域壓縮信號(hào)Y；

4) 將水印圖像乘以嵌入強(qiáng)度α加入到觀測(cè)域信號(hào)Y，得到帶水印信息的信號(hào)A′,壓縮公式如下：

A′=Y+αw.

(8)

5) 將含水印信息的信號(hào)A′使用OMP算法計(jì)算重構(gòu)，得到帶水印信息的稀疏信號(hào)A″;

6) 對(duì)稀疏信號(hào)A″進(jìn)行T-m次Arnold變換(T為Arnold變換周期數(shù))，隨后使用NSCT逆變換得到含水印信息的圖像C.

2.2 水印提取過(guò)程

水印的提取過(guò)程步驟如下：

1) 讀取載體圖像A和含水印圖像C,同時(shí)對(duì)2圖像進(jìn)行NSCT分解，分別提取分解后的低頻系數(shù)矩陣x和y；

2) 對(duì)矩陣x，y進(jìn)行m次的Arnold變換，同時(shí)用觀測(cè)矩陣B進(jìn)行感知壓縮，生成觀測(cè)域信號(hào)x′,y′；

3) 由觀測(cè)域信號(hào)x′,y′提取水印信息，如式(9).

w′=(y′-x′)/α.

(9)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文所用仿真平臺(tái)為Matlab 2010b,載體圖像為512×512像素大小的Lena圖像，水印圖像為64×64像素大小的云南民族大學(xué)的標(biāo)志二值圖像，嵌入強(qiáng)度設(shè)為0.2，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示.

為了更好的說(shuō)明本文算法的傳輸保密性以及攻擊魯棒性，對(duì)新算法使用未觀測(cè)提取、高斯隨機(jī)矩陣觀測(cè)提取、噪聲、濾波、旋轉(zhuǎn)以及JPEG壓縮進(jìn)行攻擊實(shí)驗(yàn).其中高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣提取實(shí)驗(yàn)使用新生成的高斯觀測(cè)矩陣對(duì)含水印圖像進(jìn)行觀測(cè)壓縮，隨后進(jìn)行水印提取，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示：

表1 本文算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果

文獻(xiàn)[11]提出了一種基于NSCT和SVD相結(jié)合的數(shù)字水印嵌入算法，將本文算法與文獻(xiàn)[11]算法做噪聲、濾波、旋轉(zhuǎn)以及JPEG壓縮攻擊實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如表2所示.

表2 對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果

從表1、2可以看出，本文算法在噪聲、濾波、旋轉(zhuǎn)以及JPEG攻擊方面，魯棒性要略差于文獻(xiàn)[11]所提算法.這是由于本文算法在水印嵌入還原載體圖像時(shí)所用的OMP算法對(duì)NSCT低頻子帶系數(shù)恢復(fù)并不是完全數(shù)據(jù)恢復(fù)，而是一種近似恢復(fù)，而低頻子帶圖像主要集中了待還原載體圖像的細(xì)節(jié)信息，低頻子帶信息還原時(shí)的不精確性導(dǎo)致了含水印圖像還原后與未含水印載體圖像之間差異的增大，從而影響了后續(xù)水印提取的精確性.但由于本文算法使用了高斯隨機(jī)矩陣構(gòu)建觀測(cè)壓縮矩陣，由壓縮矩陣對(duì)載體圖像進(jìn)行觀測(cè)壓縮，這使得水印信息在嵌入載體圖像后傳輸方面較文獻(xiàn)[11]所用的算法具有更好的安全性，可有效防止未授權(quán)單位對(duì)水印信息的提取.

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，本文所提出的基于壓縮感知與NSCT變換相結(jié)合的數(shù)字水印算法，由于使用了隨機(jī)高斯矩陣對(duì)低頻子帶的觀測(cè)壓縮，從而對(duì)載體圖像進(jìn)行更進(jìn)一步的加密防護(hù)，使水印嵌入后具有更好的保密性，可有效防止未授權(quán)單位對(duì)水印的惡意提取，同時(shí)對(duì)噪聲、濾波、旋轉(zhuǎn)以及JPEG壓縮攻擊具有較好的魯棒性.

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(責(zé)任編輯 莊紅林)

Research on an image watermarking algorithm based on compressed sensing

LI Chen,HE Xiao-ping,ZHOU Wei-hong

(School of Mathematics and Computer Science,Yunnan Minzu University,Kunming 650504,China)

This paper proposes a new algorithm based on Non-sampling Contourlet Transform(NSCT)and Compressed Sensing(CS)to improve the watermarking’s attack robustness.First,it uses NSCT to transform the image and scramble the low-frequency coefficients by Arnold scrambling,then it uses the compressed sensing for the low-frequency matrix of scrambling the watermark embedded in the compressed signal;it finally recovers the reorganization of the low-frequency matrix signal by OMP algorithm, and uses NSCT inverse transformation to reconstruct it.Experimental results show that the new algorithm has a high robustness in noise,filtering and rotation.

digital watermarking;compressed sensing;NSCT;OMP

2014-06-23.

國(guó)家民委科研項(xiàng)目(12YNZ008)；云南省教育廳科學(xué)研究基金(2012Y315).

李晨(1988-)，女，碩士.主要研究方向：數(shù)字圖像處理與模式識(shí)別.

周衛(wèi)紅(1969-)，男，博士研究生，副教授，碩士生導(dǎo)師.主要研究方向：圖像處理與模式識(shí)別.

TP309.7

A

1672-8513(2015)01-0048-04