李恒林

一、巧用“兩邊夾”確定物體的曲線運(yùn)動(dòng)情況

曲線運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度可以確定物體加速度與速度、軌跡之間的關(guān)系，也可以從動(dòng)力學(xué)的角度確定合外力F與速度、軌跡之間的關(guān)系.

物體做曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡不外乎以下三種情況：物體的加速度a與其速度υ之間的夾角為銳角、直角或鈍角.所謂“兩邊夾”就是加速度（或合外力）與速度把軌跡夾在中間，即：物體做曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡總在a與υ兩方向的夾角中，且和υ的方向相切，向加速度一側(cè)彎曲.如圖1所示中的三種情況.

例1 一質(zhì)點(diǎn)在某恒力F作用下做曲線運(yùn)動(dòng)，圖2中的曲線AB是該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的一段，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)時(shí)的速率分別為υA、υB.

（1）用作圖法找出該恒力方向的可能范圍.

（2）該恒力的方向能否在過A點(diǎn)或B點(diǎn)的切線上？

（3）該質(zhì)點(diǎn)從4點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中其速度大小如何變化？

（4）若速率有變化，且υA=υB，則速率最大或最小時(shí)在什么位置？

解析（1）過A、B兩點(diǎn)分別作曲線的切線①和③、法線②和④，如圖3所示，從4點(diǎn)看，恒力F應(yīng)在①線的右側(cè)；從B點(diǎn)看F應(yīng)在③線的左側(cè)；因恒力的方向是不變的，故應(yīng)同時(shí)滿足上述兩條件.若平移③線過A點(diǎn)，則①、③兩線之間箭頭所指的區(qū)域即為F在A點(diǎn)的方向可能的范圍.

（2）若F在①線上，則它與υA在同一直線上，由于F為恒力，故質(zhì)點(diǎn)不可能再做曲線運(yùn)動(dòng)，這說明F不可能在①線上.若F在③線上，則在A點(diǎn)時(shí)υA在垂直于F的方向上有分量，而到B點(diǎn)時(shí)垂直于③線的運(yùn)動(dòng)分量沒有了，這與該方向上沒有F分量相矛盾，故F不可能在③線上.

（3）由于F在A點(diǎn)時(shí)與υA夾角大于90。，而在B點(diǎn)時(shí)與υB夾角小于90。，故質(zhì)點(diǎn)的速率應(yīng)該是先減小后增大.

（4）由于已經(jīng)判定速率為先減小后增大，且υA=υB，則運(yùn)動(dòng)過程中速率有最小值，且發(fā)生在F與υ垂直的位置.

二、效果法——運(yùn)動(dòng)的合成與分解的法寶

力的分解如果不考慮該力產(chǎn)生的效果，對(duì)求解往往影響不大，但運(yùn)動(dòng)的分解如果不考慮實(shí)際效果，就有可能得出錯(cuò)誤的結(jié)論.反之，若根據(jù)運(yùn)動(dòng)效果進(jìn)行分解，會(huì)有意想不到的收獲.下面以一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)中常見的題型——“繩連物”模型為例進(jìn)行說明，

例2如圖4所示，用繩牽引小船靠岸，收繩的速度為υ1，在繩子與水平方向夾角為α的時(shí)刻，船的速度υ有多大？

解析先用“微元法”解答.小船在

極短時(shí)間At內(nèi)從A點(diǎn)移到C位移為△s，如圖5所示，由于△t很小，因此繩子轉(zhuǎn)過的角度△β很小，由數(shù)學(xué)知識(shí)可認(rèn)為△s2⊥OA，△s2⊥OC，所以有△s=△s1+△s2，△s2為物體垂直繩方向的位移，△s.為沿繩方向的位移.再由速度的定義，當(dāng)△t很小時(shí)，υ=△s/△t=△s1/△t+△s2/△t，所以υ=υ1+υ2，即船的速度分解為沿繩方向的速度υ1和垂直于繩方向的速度υ2.

用“效果法”解答.船的速度υ的方向就是合速度的方向，這個(gè)速度產(chǎn)生了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)效果：（1）假如繩與水平方向夾角α不變，只是在拉繩，小船將沿繩收縮方向以υ1速度運(yùn)動(dòng)，（2）假如繩長AO不變，只是α在變，小船將以O(shè)為圓心、OA長為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)，速度υ2垂直于OA而α、OA均改變時(shí)，即小船向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，υ1、υ2就可以看成是它的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，矢量圖如圖6所示，從圖中易知υ = υ1/cos α

比較兩種方法可知，效果法簡便易行，又可幫助同學(xué)們理解網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)知識(shí)，同時(shí)也讓學(xué)生懂得不能將繩的速度進(jìn)行正交分解.

三、妙用平拋運(yùn)動(dòng)中的“二級(jí)結(jié)論”

解決平拋及類平拋運(yùn)動(dòng)問題，重在把握水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性、等時(shí)性、等效性，充分利用矢量三角形、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)解答.特別提醒：①強(qiáng)調(diào)落點(diǎn)的問題必須抓住兩個(gè)分位移之間的關(guān)系.②強(qiáng)調(diào)末速度的“大小”或“方向”（特別是“方向”）的問題必須抓住兩個(gè)分速度之間的關(guān)系.

另外，記住以下三個(gè)“二級(jí)結(jié)論”（也可稱作定理）會(huì)讓我們?cè)诮窈蠼鉀Q平拋及類平拋運(yùn)動(dòng)問題中收到意想不到的效果.

結(jié)論一：做平拋（或類平拋）運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻任一位置處，設(shè)其末速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為β，則tanθ=2tanβ.

結(jié)論二：做平拋（或類平拋）運(yùn)動(dòng)的物體任意時(shí)刻瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，如圖7中A點(diǎn)和B點(diǎn).

結(jié)論三：平拋運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過時(shí)間t后，位移s與水平方向的夾角為β，則此時(shí)的速度與初速度的關(guān)系為υ=

例3如圖8所示，與水平面的夾角為θ的直角三角形木塊固定在地面上，有一質(zhì)點(diǎn)以初速度υ。從三角形木塊的頂點(diǎn)上水平拋出.試求質(zhì)點(diǎn)距斜面的最遠(yuǎn)距離.

解析 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)

做平拋運(yùn)動(dòng)的末速度方向平行于斜面時(shí)，質(zhì)點(diǎn)距斜面的距離最遠(yuǎn).此時(shí)末速度方向與初速度方向成θ角，如圖9所示.

A為末速度的反向延長線與水平位移的交點(diǎn)，AB即為所求的最遠(yuǎn)距離.根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有

由平拋運(yùn)動(dòng)的“二級(jí)結(jié)論”可知：OA=

據(jù)圖中幾何關(guān)系可得：AB =AOsin θ

得：AB=

即為質(zhì)點(diǎn)距斜面的最遠(yuǎn)距離.

例4一質(zhì)量為m的小物體從傾角為30。的斜面頂點(diǎn)A水平拋出，落在斜面上碗內(nèi)壁上做圓周運(yùn)動(dòng)的小球，其軌道平面為水平面，網(wǎng)心在軌道網(wǎng)平面上，而不是在球心.

②向心力不是與重力、彈力、摩擦力等并列的“性質(zhì)力”，而是據(jù)效果命名的“效果力”，故在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力時(shí)，切不可在性質(zhì)力上再添加一個(gè)向心力.

③坐標(biāo)系的建立：應(yīng)用牛頓第二定律解答圓周運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，常用正交分解法，其坐標(biāo)原點(diǎn)是做圓周運(yùn)動(dòng)的物體（視為質(zhì)點(diǎn)）所在的位置，相互垂直的兩個(gè)坐標(biāo)軸中，其中一個(gè)坐標(biāo)軸的方向一定沿半徑指向圓心.

六、現(xiàn)代科技和社會(huì)熱點(diǎn)問題——STS問題

這類試題往往利用物理新模型將教材中難度不大、要求不高，但屬重點(diǎn)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)及與其相關(guān)的例題、習(xí)題加以有效拼接，演變成各種立意新穎、設(shè)計(jì)科學(xué)的題目，從更高層次上考查學(xué)生對(duì)所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和遷移能力、綜合能力、創(chuàng)新能力.這類題具有“高起點(diǎn)、低落點(diǎn)”的特點(diǎn)，起點(diǎn)高是指科技成果新，題型新穎、獨(dú)特，為題海所無法包容；落點(diǎn)低是指完成這些題目所需的基礎(chǔ)知識(shí)不超綱.

例6 從空間同一點(diǎn)O，同時(shí)向各個(gè)方向以相同的速率拋出許多小球，不計(jì)空氣阻力，試證明在這些球都未落地之前，它們?cè)谌我粫r(shí)刻的位置可構(gòu)成一個(gè)球面.

解析 假設(shè)在O點(diǎn)另有一個(gè)小球A，當(dāng)所有小球被拋出的那一瞬間，讓O點(diǎn)處的這個(gè)假設(shè)小球做自由落體運(yùn)動(dòng).

因?yàn)樽鰭侒w運(yùn)動(dòng)的所有小球與假設(shè)做自由落體運(yùn)動(dòng)的小球A的加速度都相等（都等于重力加速度），所以，做拋體運(yùn)動(dòng)的各小球相對(duì)于A球都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其位移（注意：是相對(duì)于做自由落體運(yùn)動(dòng)的小球A的位移）的大小都是.s= vot（v0為各小球拋出時(shí)的初速率，t為小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間），也就是說，在同一時(shí)刻，各小球與A的距離都相等，因各小球在同一時(shí)刻在空中的位置可構(gòu)成一個(gè)球面，這個(gè)球面的半徑為R= vot.可見，不同時(shí)刻，這些小球的位置構(gòu)成不同球面，當(dāng)然，這些球面的球心就是假設(shè)做自由落體運(yùn)動(dòng)的小球A.

這可解釋節(jié)日的夜晚燃放的煙花在空中為什么是球形的.

例7 早在19世紀(jì)，匈牙利物理學(xué)家厄缶就明確指出：“沿水平地面向東運(yùn)動(dòng)的物體，其重量，即：列車的視重或列車對(duì)水平軌道的壓力一定要減輕.”后來，人們常把這類物理現(xiàn)象稱之為“厄缶效應(yīng)”，

我們?cè)O(shè)想，在地球赤道附近的地平線上，有一列車質(zhì)量是m，正在以速度v沿水平軌道向東勻速行駛.已知地球的半徑R及地球自轉(zhuǎn)周期T.今天我們像厄缶一樣，如果僅僅考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，火車隨地球做線速度為

的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，火車對(duì)軌道的壓力為FN；在此基礎(chǔ)上，又考慮到這列火車相對(duì)地面附加了一個(gè)線速度更快的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并設(shè)此時(shí)火車對(duì)軌道的壓力為F'N，那么，單純地由于該火車向東行駛而引起火車對(duì)軌道壓力減輕的數(shù)量FN一F'N為（

）

解析把火車看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在向東繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由地球?qū)疖嚨囊引和地面對(duì)火車支持力的合力提供，根據(jù)牛頓第二定律得