王莉娜，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

正交各向異性磁電彈性圓板的哈密頓體系方法

王莉娜，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

基于哈密頓體系求解方法，針對具有軸對稱性的正交各向異性磁電彈性圓板的彎曲問題進(jìn)行求解．解決問題的基本思路為：首先將該問題的基本方程導(dǎo)入哈密頓體系，得到哈密頓方程；然后研究哈密頓方程的零本征值對應(yīng)的本征解；最后得到原問題的解析解．與該問題的其它求解方法相比較，哈密頓體系方法具有明顯的優(yōu)越性．

正交各向異性；哈密頓體系方法；本征解；磁電彈性圓板

隨著各種各樣智能材料的不斷涌現(xiàn)，人們對壓電材料和壓磁材料的研究更為深入，尤其是將壓電和壓磁材料有機(jī)結(jié)合起來的復(fù)合材料更是引起了廣大學(xué)者的極大關(guān)注．早在1972年，Van Suchtelen就指出，壓電和壓磁材料的結(jié)合會導(dǎo)致新的材料特性即磁電耦合效應(yīng)的出現(xiàn)[1]，隨后，于1974年，Van Run和Van Den Boomgaar等學(xué)者對BaTiO3-CoFe2O4壓電、壓磁復(fù)合材料進(jìn)行了測定，得到該材料具有非凡磁電耦合效應(yīng)的結(jié)論[2]．之后，這種具有獨(dú)特非凡的磁電耦合效的智能材料在工程中得到了廣泛應(yīng)用．在彈性力學(xué)中，求磁電彈性圓板的解析解是一個經(jīng)典問題．文獻(xiàn)[3]給出了橫觀各向同性層合圓板軸對稱彎曲問題的解析解，文獻(xiàn)[4]得到了彈性薄板混合邊界問題的解析解，文獻(xiàn)[5]用邊界積分法分析了薄圓板，文獻(xiàn)[6-8]也用不同方法求得解析解．就作者所知，目前尚未有文獻(xiàn)采用哈密頓體系方法對正交各向異性磁電彈性圓板的彎曲問題進(jìn)行解析求解．本文將采用文獻(xiàn)[9]提出的哈密頓體系方法，對正交各向異性磁電彈性圓板進(jìn)行解析求解．具體思路為：首先將該問題的基本方程導(dǎo)入哈密頓體系，通過分離變量得到哈密頓方程；然后將原問題轉(zhuǎn)變?yōu)楣茴D空間算子矩陣的本征問題，研究哈密頓方程的零本征值對應(yīng)的本征解，再對本征解的各階約當(dāng)型分析求解，這樣理性地推導(dǎo)下去；最后得到問題的解析解．哈密頓體系方法是一種普通、理性的方法，采用該方法求解具有明顯的優(yōu)越性．

1 正交各向異性磁電彈性圓板彎曲問題的基本方程

選取柱坐標(biāo)（r,θ,z），其中r表示圓板的徑向坐標(biāo)，θ表示圓板的角度坐標(biāo)，z表示圓板的對稱軸，坐標(biāo)原點(diǎn)在材料的對稱軸中點(diǎn)處．材料厚度設(shè)為2h，直徑設(shè)為2a．下面將給出正交各向異性磁電彈性圓板彎曲問題的基本方程．

應(yīng)力平衡方程和電學(xué)、磁學(xué)方程為：

磁電彈性圓板的本構(gòu)方程為：

其中，cij為彈性剛度系數(shù)，eij為壓電常數(shù)，qij為壓磁常數(shù)，βii為介電常數(shù)，dii為磁電常數(shù)，μii為磁性常數(shù)；Ei, Hi分別為電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度；u, w為位移，Dr, Dz為電位移，Br, Bz為磁感應(yīng)強(qiáng)度；φ, φ分別為電勢和磁勢；σij為應(yīng)力，εij為應(yīng)變．

由于本文研究的磁電彈性圓板具有軸對稱性，故環(huán)向位移為零，且與環(huán)向有關(guān)的剪切力以及電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度也為零．因此在本構(gòu)方程和以后的計(jì)算中都不再考慮．

為簡單起見，假設(shè)物體表面不受體力，也沒有自由電荷與磁場作用．這樣拉格朗日系統(tǒng)下的拉格朗日函數(shù)可以表示為：L（ u, w,φ, φ）=U（u,w,φ,φ），勢能可由以下積分表示：

2 導(dǎo)入哈密頓體系

在對問題進(jìn)行求解之前，首先通過勒讓德變換給出該問題的哈密頓體系描述．令原變量q=｛u, w,φ, φ｝Τ，引入對偶變量p=｛p1, p2,p3,p4｝Τ，對偶變量可由以下方法獲得：

由（1）式、（2）式和（7）式得：

3 問題的零本征解及其約當(dāng)型

上面采用哈密頓體系方法給出了具有軸對稱的正交各向異性磁電彈性圓板彎曲問題對應(yīng)的方程．現(xiàn)在要在此基礎(chǔ)上對該方程進(jìn)行求解，采用的主要方法是分離變量法：令ν=ΨZ（ z ），其中Z（ z）是有關(guān)z的函數(shù)，Ψ是與z無關(guān)的2n維向量．將ν=ΨZ（ z）代入（9）式，得到：

這里λ是本征值，而Ψ是本征向量．

因?yàn)榇嬖谧杂蛇吔?，原問題必然存在零本征解，而且零本征向量會存在階數(shù)不同的約當(dāng)型，不同形式的約當(dāng)型解被賦予不同的物理意義．

3.1 零本征值本征解

當(dāng)λ=0時(shí)，尋求其本征解，此時(shí)（10）式可變?yōu)椋?/p>

求解上式，可得到零本征值的本征解：

對應(yīng)的物理意義分別為：沿軸向的剛體平移、電勢的整體移動、磁勢的整體移動．

3.2 各階約當(dāng)型本征解

對于零本征解，有方程：

如果（13）式存在既符合問題的邊界條件，同時(shí)也滿足（14）式的本征解，那么就稱其為零本征解的第n+1階約當(dāng)型解．這里要說明的是，第n階約當(dāng)型解都不是原問題的解，但是可以利用它們得到原問題的解．具體來說，原問題的解可以表示為：

1）一階約當(dāng)型解

利用方程（13）得到一階約當(dāng)型的控制方程為：

對該方程進(jìn)行求解，得到：

結(jié)合（14）式與（16）式，得到原問題的一階約當(dāng)型解為：

對應(yīng)的物理意義分別為：均勻拉伸、均勻電場、均勻磁場．

2）二階約當(dāng)型解

二階約當(dāng)型解的控制方程為：

考慮到方程（18）的解不滿足原問題的邊界條件，其對應(yīng)的約當(dāng)型解鏈到此中斷．

綜上得到零本征值問題的所有本征解，也就是對偶方程的所有基本解向量，而它們覆蓋了所有的圣維南解．

4 哈密頓體系方法的優(yōu)越性

文獻(xiàn)[6]提供了一種解析求解磁電彈性圓環(huán)板純彎曲問題的方法，在該文獻(xiàn)中講到在勢函數(shù)中，令D1j=0（j=1,2,3,4），可以平行推導(dǎo)出圓板r0=0的解析解．下面運(yùn)用該方法直接給出圓板的解析解．邊界條件為：

對應(yīng)應(yīng)力場的應(yīng)力、電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為：

由（20）表達(dá)式看出，應(yīng)力表達(dá)式與彈性力學(xué)中的表達(dá)式一樣，純彎曲問題不會引起電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化，但是電勢和磁勢卻發(fā)生了變化，因此只要求解下面式（21）方程組求出C3j，再代入式（22）中即可得出位移、電勢和磁勢的顯示表達(dá)式．

下面利用哈密頓體系方法求解文獻(xiàn)[6]的問題．

其中η11,η12,η13為待定系數(shù)，由邊界條件式（19）決定．

由（2）式及應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系可得：

代入具體參數(shù)可以發(fā)現(xiàn)哈密頓體系方法和文獻(xiàn)[6]給出的湊合法是吻合的，這兩種方法最重要的區(qū)別是：哈密頓體系方法是通過給出材料所要研究問題的基本方程，導(dǎo)入哈密頓體系，再通過解哈密頓方程等的理性推導(dǎo)求得解析解；傳統(tǒng)的湊合法則采用的是一種試探式方法，先假設(shè)出一個解，然后代入要解決的問題中，判斷是否滿足邊界條件從而求得解析解．由此可以看出，哈密頓體系方法的優(yōu)勢在于它提供的是一種普通、理性的方法，并且可以滿足邊界條件．

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Hamiltonian System Method of Orthotropic Magneto Electric-elastic Circular Plate

WANG Lina, HE Wenming
(College of Mathematics and Information science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035 )

Based on the Hamiltonian-system’s solving method, this paper mainly solves the problems of axial-symmetry perpendicular-anisotropy of magnetic-elastic circular-plate’s solution. The basic train of thought to solve this problem is as follows. First, the basic equations of the problem have to be guideded into the Hamiltonian-system to get the Hamiltonian-equation. Then, the Hamiltonian-equation’s zero eigen value is studied as well as its corresponding eigen solution vector. Finally, the analytic solution of the original problem is obtained. It is obvious that Hamiltonian-system method possesses the superiority compared with other solutions of solving meothods.

Orthogonal Anisotropy; Hamiltonian-system Method; Eigen Solution; Magnetoelectric-elastic Circular-plate

O24

A

1674-3563(2015)02-0019-09

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2014-09-09

國家自然科學(xué)基金(11171257)

王莉娜(1989- )，女，山西陽泉人，碩士研究生，研究方向：計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)控制