劉 娟，張子振，孫禮俊

(1．蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系，安徽蚌埠 233030；2．安徽財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

食餌具有階段結(jié)構(gòu)的時滯捕食系統(tǒng)的Hopf分支

劉 娟1，張子振2，孫禮俊1

(1．蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系，安徽蚌埠 233030；2．安徽財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

研究了一類食餌具有階段結(jié)構(gòu)和HollingII類功能性反應(yīng)的時滯捕食系統(tǒng)．通過分析相關(guān)的特征方程，以捕食者的消化時滯為參數(shù)，討論了系統(tǒng)正平衡點的局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性．進一步，利用規(guī)范型理論和中心流形定理，給出了確定Hopf分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的計算公式．最后利用仿真實例證明了理論分析結(jié)果的正確性．

階段結(jié)構(gòu)；時滯；Hopf分支；周期解

自然界中的許多生物個體在成長中都會經(jīng)歷幼年和成年兩個階段，所以具有階段結(jié)構(gòu)的種群模型更加具有實際意義．對具有階段結(jié)構(gòu)的種群模型的研究成果有很多[1-3]．文獻[4]對一類食餌具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)（1）進行了研究，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性和持久性的條件：

其中，x1( t)，x2( t)，y( t)分別表示未成年食餌和成年食餌及捕食者在時刻t的種群密度；a，a1，a2，b，b1，m，r，r1，r2均為正常數(shù)，具體生態(tài)含義可以參考文[4]；τ為捕食者消化時滯．

眾所周知，動力系統(tǒng)的性質(zhì)除了穩(wěn)定性和持久性以外，還有其它重要性質(zhì)，如系統(tǒng)的全局吸引性[5]、Hopf分支[6]以及周期解[7]等，尤其是周期解的性質(zhì)，近年來受到了眾多研究學(xué)者的關(guān)注，而文獻[4]只是研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和持久性，并沒有分析系統(tǒng)Hopf分支的存在性，以及Hopf分支的方向和分支周期解的穩(wěn)定性．基于此，本文在文獻[4]的基礎(chǔ)上，并考慮到捕食者的種內(nèi)競爭，將對如下模型的Hopf分支的存在性與Hopf分支的周期解進行研究：

其中，c為捕食者的種內(nèi)競爭系數(shù)，其它所有參數(shù)的含義均與系統(tǒng)（1）相同．

1 系統(tǒng)局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

2 Hopf分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性

3 仿真實例

本節(jié)利用上述計算方法得到一些數(shù)據(jù)，再由Matlab軟件繪制出系統(tǒng)的相圖，以此驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性．將系統(tǒng)（2）的系數(shù)取特定的常數(shù)，可以得到系統(tǒng)（2）的一個實例系統(tǒng)（16）：

根據(jù)定理1可得理論上結(jié)論：當τ∈[0,4.7641)時，系統(tǒng)（16）的正平衡點E*(0.285 2, 0.101 0,1.250 0)是漸近穩(wěn)定的；當τ＞4.764 1時，系統(tǒng)（16）的正平衡點E*是不穩(wěn)定的．令初值為“0.45,0.12,2.25”，取τ=4.050 0，畫出系統(tǒng)的波形圖和相圖，如圖1所示，由圖1可知正平衡點E*是漸近穩(wěn)定的；取τ=4.950 0，畫出系統(tǒng)的波形圖和相圖，如圖2所示，由圖2可知正平衡點E*是不穩(wěn)定的．

圖1 系統(tǒng)的波形圖和相圖 (τ=4.050 0)

圖2 系統(tǒng)的波形圖和相圖 (τ=4.950 0)

另外通過計算得，μ2=7.2570＞0，β2=-1.770 7＜0，T2=1.830 5＞0．所以，由定理2可知，系統(tǒng)（16）在正平衡點E*(0.285 2,0.101 0,1.250 0)處的Hopf分支方向是超臨界的，分支周期解是穩(wěn)定的．

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Hopf Bifurcation of a Time-lag Predator-prey System With Stage-structure for Prey

LIU Juan1, ZHANG Zizhen2, SUN Lijun1
(1. Department of Mathematics and Physics, Bengbu College, Bengbu, China 233030; 2. School of Management Science and Engineering, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu, China 233030)

This paper probes into a time-lag predator-prey system with stage-structure and Holling II functional response. The local stability and the existence of Hopf bifurcation are demonstrated by analysing the relevant characteristic equation and regarding the digestion-lag of predators as the parameter. Furthermore, the computational formula which determines the orientation of Hopf bifurcation and the stability of its periodic solution by utilizing the normal form method and center manifold theorem is provided. Finally, the validity of theoretical analysis result tends to be testified by means of simulation examples.

Stage-structure; Time-lag; Hopf Bifurcation; Periodic Solution

O175.12

A

1674-3563(2015)02-0028-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2014-05-05

安徽省教育廳自然科學(xué)研究項目(KJ2013B137)；安徽省教育廳自然科學(xué)研究項目(KJ2012B009)

劉娟(1976- )，女，江蘇泗洪人，講師，碩士，研究方向：生物數(shù)學(xué)