趙 麗，齊興斌，李雪梅，田 濤

（1.山西大學(xué) 計算機工程系，山西 太原 030013；2.北京航空航天大學(xué) 計算機學(xué)院，北京 100191；3.北京師范大學(xué) 教育信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100875）

基于絕對矩塊截斷編碼融合Clifford代數(shù)的圖像壓縮

趙 麗1，2，齊興斌1，李雪梅1，田 濤3

（1.山西大學(xué) 計算機工程系，山西 太原 030013；2.北京航空航天大學(xué) 計算機學(xué)院，北京 100191；3.北京師范大學(xué) 教育信息技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100875）

針對現(xiàn)有的圖像壓縮方法很難兼顧壓縮效率和壓縮后圖像質(zhì)量的問題，提出了一種基于絕對矩塊截斷編碼和Clifford代數(shù)的融合方法。首先，將原始圖像分為若干大小相等且互不重疊的局部小塊；然后，利用絕對矩塊截斷編碼保留每個子塊的第一和第二矩；最后，利用Clifford代數(shù)將圖像矩陣表示為最大完全平方和，并利用解碼器重構(gòu)圖像。壓縮實驗結(jié)果表明，該方法的峰值信噪比可接近100 dB，結(jié)構(gòu)相似度接近1，相比其他幾種較新的方法，該方法取得了更好的壓縮圖像質(zhì)量，并且降低了壓縮耗時。

圖像壓縮；絕對矩塊截斷編碼；Clifford代數(shù)；峰值信噪比；加權(quán)峰值信噪比

圖像壓縮技術(shù)通常利用較小位數(shù)表示圖像，并且保證分解圖像的視覺質(zhì)量不產(chǎn)生明顯下降。該技術(shù)大致可分為兩類：有損壓縮和無損壓縮[1]，無損壓縮中重構(gòu)圖像與原始圖像之間每個像素上都沒有差異，有損壓縮中重構(gòu)圖像包含相對于原始圖像的退化[2]。無損壓縮技術(shù)中壓縮圖像的質(zhì)量好，但是壓縮率低，有損壓縮技術(shù)可提供較高壓縮率，但圖像質(zhì)量較低[3]。因此，提出一種可靠的方法既能保證壓縮率又能提高圖像的質(zhì)量顯得至關(guān)重要。

針對圖像壓縮問題，學(xué)者們提出了許多方法，例如，文獻[4]提出了基于相鄰系數(shù)、父系數(shù)與子系數(shù)之間統(tǒng)計相依關(guān)系的小波系數(shù)合理樹結(jié)構(gòu)，獲得了更高的圖像壓縮質(zhì)量。針對目前JPEG2000中最優(yōu)截斷嵌入式塊編碼器硬件實現(xiàn)效率低且占用大量資源問題，文獻[5]提出了一種適于CCD相機圖像壓縮的位面編碼器，與傳統(tǒng)方法相比，平均PSNR提高了0.91 dB。文獻[6]提出了一種塊截斷編碼（Block Trunca?tion Coding，BTC）壓縮算法，可壓縮單色圖像數(shù)據(jù)，實現(xiàn)了2bit/pixel的低計算復(fù)雜度，通過執(zhí)行每個非重疊像素塊的矩保留量化，從而在降低存儲空間的基礎(chǔ)上保證圖像質(zhì)量。文獻[7]提出了絕對矩塊截斷編碼（Absolute Moment Block Trun?cation Coding，AMBTC），該算法保留了較高的均值，統(tǒng)計開銷是每個塊需要保持均值和標準差，以非重疊塊的較低均值作為量化輸出，更加有效地解決了圖像質(zhì)量問題，然而，壓縮過程中的耗時問題仍然沒有得到很好的解決。受文獻[6-7]啟發(fā)，為了進一步改善圖像壓縮后的圖像質(zhì)量與壓縮率，本文提出一種基于AMBTC和Clifford代數(shù)壓縮方法，實驗結(jié)果表明，本文方法獲得了比BTC和AMBTC更好的圖像質(zhì)量。

1 塊截斷編碼

塊截斷編碼是一種流行的壓縮數(shù)字圖像的有損矩保留量化方法，它保留每個塊的第一和第二矩[8]，算法步驟如下：

第一步，大小為M×N的原始圖像劃分成大小為m×m（令 m=4）的非重疊塊（C），每個塊分開處理。令f(xi),xi∈C為像素的原始強度。其中，C表示那個塊中圖像平面的像素坐標集，而且令m2=k。

式中：m1表示一階矩，即

第三步，塊矩陣（B）可由如下描述的那個塊每個像素的C0和C1計算。

式中：th視作m1，可由式（3）定義。

第四步，必須發(fā)出每個塊的塊矩陣（B）、均值（xˉ）和σ，這里σ表示塊的標準差。

第五步，為了重構(gòu)圖像，將值a給由0標記的像素，將值b給由1標記的像素，a和b滿足

求解式（5）

對于每個塊，m1，σ，k和k'已知，由此可計算值a和b。其中，k'是塊矩陣中0的數(shù)目；k-k'是塊矩陣中1的數(shù)目；0的數(shù)目k'由值a代替；1的數(shù)目k-k'由b代替。

2 本文方法提出

為了克服上述方法中的各種困難，本文提出利用Clifford代數(shù)融合AMBTC方法，Clifford代數(shù)[9]將一個正整數(shù)表示為正整數(shù)最大完全平方和，然后依次對整數(shù)的剩余部分重復(fù)同樣的過程。

第一步，將像素大小為M×N的圖像劃分為若干大小為m×m的非重疊塊子圖像（正常為4×4像素），然后分開處理每個塊。

說明假設(shè)值為：

{209，168，98，96，105，202，146，92，103，107，190，115，95，95，109}

所以，第1列的期望值為102，第2列的期望值為32，第3列的期望值為12，第4列的期望值為12，第5列的期望值為02。

因此，最終向量元素的和vs=102+32+12+12+02=111，=120.625+0.267（120.625-111）=123.194 9。從各種實驗結(jié)果巧妙選擇α值使C-均值[11]與原始均值偏差較小，給出了更好的PSNR。

第三步，計算量化等級，并分類為兩個范圍，較高的C-均值為那些灰度等級大于或等于x~的集C0的C-均值，而剩余的C1用于產(chǎn)生較低C-均值。其中，C=C0?C1，C0?C1=?。

較高C-均值由xH表示，較低C-均值由xL表示，計算如下

第四步，令cth為閾值，如果像素值 f(xi)小于量化閾值cth，則像素值量化為0；否則量化為1，二進制塊稱為B，用于表示每個像素的這些量化值。

第五步，塊矩陣（B），必須給出每個像素的xH和xL。

第六步，解碼器中，在位平面用xH代替1，用xL代替0來重構(gòu)每個圖像塊。

本文方法需要16位編碼位平面，這與BTC相同，但本文方法的編碼器所需計算少于BTC，一個塊所需的位總數(shù)為32，位速率為2 bit/pixel。

3 圖像質(zhì)量度量

本文方法的評價指標有峰值信噪比（PSNR）、加權(quán)峰值信噪比（Weighted Peak Signal To Noise Ratio，WPSNR）和結(jié)構(gòu)相似度（Structural similarity，SSIM）。

3.1 峰值信噪比

PSNR[12]是信號的最大可能功率和原始圖像與處理的圖像之間逐點差之間的比率，定義為

式中：L是像素值的動態(tài)范圍；M和N是灰度圖像的維度；x(i,j)和y(i,j)表示原始圖像和處理的圖像。如果參考圖像和處理的圖像彼此非常接近，則MSE將變小，PSNR將變大，否則PSNR值將變小，PSNR值范圍可能從接近0到高達100 dB，如果參考圖像和重構(gòu)的圖像彼此幾乎相等，則PSNR將為100 dB，否則它將小于100 dB。

3.2 加權(quán)峰值信噪比

WPSNR[13]是一種不同于PSNR的量化指標，使用稱作噪聲可見函數(shù)（Noise Visibility Function，NVF），NVF的值范圍從接近0到高達1，WPSNR定義為

式中：σ2xmax是集中于像素坐標(i,j)的窗口中已知圖像的最大局部方差；D∈[50,100]是決定參數(shù)，如果參考圖像和重構(gòu)的圖像彼此相等，則WPSNR將為100 dB，否則它將小于100 dB。

3.3 結(jié)構(gòu)相似度

SSIM[14]是另一種指標，用于確定參考圖像和重構(gòu)圖像之間的相似度，SSIM指標測量圖像質(zhì)量，以初始未壓縮圖像作為參考，SSIM指標計算如下

式中：

4 實驗

實驗使用6個大小為512×512的測試圖像用于各種壓縮技術(shù)的對比研究，分別為Lena，Peppers，Boat，Tank，Bridge和House。

4.1 參數(shù)分析

實驗在Lena圖像上分析了字塊大小對本文方法壓縮結(jié)果的影響，分別將圖像分為4×4，4×5，5×5，5×6，6×6，計算其PSNR，WPSNR和SSIM，如圖1所示，由于SSIM的值小于1，再而PSNR，WPSNR的值遠大于SSIM，故圖中給出的是放大100倍后的SSIM。

圖1 子塊大小對壓縮結(jié)果的影響

從圖1可以看出，隨著字塊大小的變化，3個指標先呈上升趨勢，再呈下降趨勢，總能在某處取得峰值，從圖中可以看出，當(dāng)字塊大小在5×5時，可取得各個指標的最佳值，因此，后續(xù)實驗均設(shè)置字塊大為5×5。此外，可以看出，隨著字塊大小的變化，各個指標的變化并不是很明顯，一定程度上體現(xiàn)了本文方法的穩(wěn)定性。

4.2 實驗結(jié)果

為了更好地評估本文方法，將其指標PSNR，WPSNR和SSIM與其他幾種方法進行比較，每個子塊大小設(shè)置為5×5，針對各個比較方法進行實驗，實驗結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出，相比其他方法啊，本文方法在大部分情況下PSNR、WPSNR和SSIM值更大，PSNR值比AMBTC方法平均高出3 dB，WPSNR值比AMBTC方法平均高出4，SSIM值比AMBTC方法平均高出0.01，表明本文方法的壓縮效果較好，從實驗中觀察到，本文方法壓縮一張圖像所用時間僅為0.032 1 s，而AMBTC和BTC方法的耗時均在0.2 s以上，表明Clifford代數(shù)將一個正整數(shù)表示為正整數(shù)最大完全平方和，有效地降低了壓縮耗時。

圖2～圖7為原始圖像和使用BTC、AMBTC、本文方法得到的壓縮圖像。

從圖2～圖7可以看出，相比原始圖像，BTC方法壓縮后的結(jié)果略顯模糊，AMBTC方法壓縮后的圖像比原始圖像稍暗，但整體效果較好，本文方法壓縮后的圖像與原始圖像較為接近，取得了最好的壓縮效果，再次驗證了本文方法的優(yōu)越性。

表1 各方法的PSNR，WPSNR和SSIM比較

圖2 Lena上的壓縮結(jié)果

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于AMBTC和Clifford代數(shù)的圖像壓縮方法，將圖像進行分塊，并利用每個塊的兩個量化等級。實驗數(shù)據(jù)庫使用大小為512×512的灰度圖像，參數(shù)度量用于比較和評估圖像質(zhì)量。實驗結(jié)果表明，本文方法在PSNR和WPSNR方面改善了重構(gòu)圖像，通過靈活地選擇α值，重構(gòu)圖像的PSNR明顯優(yōu)化，相比BTC和AMBTC兩種方法，本文方法取得了更好的重構(gòu)圖像。

圖3 Peppers上的壓縮結(jié)果

圖4 Boat上的壓縮結(jié)果

圖5 Tank上的壓縮結(jié)果

圖6 Bridge上的壓縮結(jié)果

圖7 House上的壓縮結(jié)果

未來會將本文方法運用于其他圖像的壓縮，結(jié)合其他新穎技術(shù)，進行大量實驗，在保證質(zhì)量的同時，進一步提高壓縮率。

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齊興斌（1976—），碩士，講師，主研圖像處理、機器學(xué)習(xí)；

李雪梅（1962—），女，教授，主研圖像處理、人工智能等；

田 濤（1980—），碩士，工程師，主研圖像處理、機器學(xué)習(xí)等。

Research of Image Compression Based on Fusion of AMBTC and Clifford Algebra

ZHAO Li1，2，QI Xingbin1，LI Xuemei1，TIAN Tao3
（1.School of Computer，Shanxi University，Taiyuan 030013，China；2.School of Computing，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China；3.Collaborative&Innovation Center for Education Information Technology，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

For the issue that it is hard to juggle compression efficiency and the quality of compressed image when using traditional compressed methods，a fusion method based on absolute moment block truncation coding and Clifford algebra is proposed.Firstly，original images are divided into a number of non-overlapping local small pieces with equal size.Then，absolute moment block truncation coding is used to retain the first and second moment of each sub-block.Finally，Clifford algebra is used to represent image matrix to be the largest completely squares sum，and decoder is used to reconstruct image.Experimental results show that peak signal noise ratio and structural similarity of proposed method can achieve 100dB and 1 respectively，it has better compression quality of image and less time-consuming than several other advanced methods.

image compression；absolute moment block truncation coding；Clifford algebra；peak signal noise ratio；weighted peak signal to noise ratio

TP391 文獻標志碼：A DOI：10.16280/j.videoe.2015.06.004

【本文獻信息】趙麗，齊興斌，李雪梅，等.基于絕對矩塊截斷編碼融合Clifford代數(shù)的圖像壓縮[J].電視技術(shù)，2015，39（6）.

國家自然科學(xué)基金項目（61202163）；山西省自然科學(xué)基金項目（2013011017-2）

趙 麗（1980—），女，碩士，講師，主研圖像處理、中文信息處理；

時 雯

2014-06-26