胡淑芳

[摘 要] 如何實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué)？本文從合理設(shè)置概念教學(xué)方向性出發(fā)，從讓學(xué)生認(rèn)識(shí)概念邏輯性、區(qū)分概念層次性、理解概念抽象性、領(lǐng)悟概念擴(kuò)展性等方面進(jìn)行深度概念教學(xué)，深化概念教學(xué)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和內(nèi)涵.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；概念；新課程；抽象性；邏輯性；層次性；擴(kuò)展性

新課程對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理念是：積極探索、主動(dòng)建構(gòu). 這一理念在新課程積極推廣之初獲得了教師的普遍支持和實(shí)施，隨著教學(xué)改革熱情的漸漸趨于平淡，以及應(yīng)試的依舊存在，筆者發(fā)現(xiàn)不少教師漸漸對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的探索式實(shí)施越來(lái)越不關(guān)注，或僅僅只在公開(kāi)課進(jìn)行課程理念教學(xué)示范，而在常態(tài)課階段，教師以傳統(tǒng)的概念講解—典例分析—大量訓(xùn)練—變式鞏固來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué). 這種方式短期內(nèi)獲得了一定的效果，因此依舊備受教師的青睞. 江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師李庾南在談及新課程數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)說(shuō)：很多教師不是在教數(shù)學(xué)概念，而是在教如何模仿做題. 概念沒(méi)教懂，只似懂非懂地教學(xué)生解題，這樣的概念教學(xué)方式是誤人子弟. 教概念，要教會(huì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念為什么這么定義，教會(huì)學(xué)生這些概念如何從實(shí)際情境中抽象而來(lái)，教會(huì)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知的過(guò)程等. 筆者認(rèn)為，李老師的一席話極大地指明了我們現(xiàn)階段數(shù)學(xué)概念教學(xué)的短板和不足，并沒(méi)有給學(xué)生指明概念學(xué)習(xí)的道路，而是用不斷重復(fù)訓(xùn)練的手段在磨滅概念學(xué)習(xí)過(guò)程中的創(chuàng)造力，因此，本文將結(jié)合案例和筆者自身的一些實(shí)踐，系統(tǒng)而嚴(yán)密地談?wù)劯拍罱虒W(xué)中必須倚仗、改變的一些關(guān)鍵要素，讓學(xué)生在清晰獲得概念的過(guò)程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)力.

概念邏輯性的認(rèn)識(shí)

教數(shù)學(xué)概念一般都會(huì)教兩個(gè)方面，即概念的內(nèi)涵與外延. 眾所周知，內(nèi)涵指的是數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，它著重強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念抽象的理解；外延指的是數(shù)學(xué)概念所包括的所有對(duì)象，指出了我們所要研究的對(duì)象的總和. 筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生無(wú)法清晰地將概念的內(nèi)涵和外延弄清楚，例如，一次公開(kāi)課上，筆者聽(tīng)到某老師在談到有理數(shù)和實(shí)數(shù)這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，教師問(wèn)■，■，-2是否是有理數(shù)？是實(shí)數(shù)嗎？學(xué)生甲無(wú)法正確區(qū)分有理數(shù)和實(shí)數(shù)，教師則大聲呵斥學(xué)生：怎么連這兩者都無(wú)法區(qū)分？然后又面對(duì)其他學(xué)生問(wèn)同樣的問(wèn)題，結(jié)果依舊出現(xiàn)不少學(xué)生無(wú)法正確區(qū)分. 此時(shí)，該教師匆匆忙忙將上述三個(gè)數(shù)字分類后直接結(jié)束了相關(guān)課程. 筆者驚訝的是：若少數(shù)學(xué)生沒(méi)有區(qū)分清楚，那是正常的教學(xué)現(xiàn)象，教師可以通過(guò)回顧、復(fù)習(xí)幫助學(xué)生回憶，但假如不少學(xué)生都無(wú)法正確區(qū)分有理數(shù)和實(shí)數(shù)這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，筆者認(rèn)為該教師在概念教學(xué)的邏輯性上存在著較大的問(wèn)題，僅靠一味地做相關(guān)數(shù)學(xué)題目無(wú)法解決這種教學(xué)現(xiàn)象. 而且，會(huì)在后期類似的教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)類似錯(cuò)誤. 因此，筆者認(rèn)為，要講清概念的邏輯性，應(yīng)該尊崇從大到小的原則（即從大概念到小概念，一般稱之為種概念到屬概念），將后續(xù)附加條件、特征（稱之為屬差）進(jìn)行滲透，這樣，在概念邏輯性上的認(rèn)識(shí)才是比較完整和有框架的. 如講解四邊形概念時(shí)，先介紹種概念平行四邊形，給出屬差①：若鄰邊相等是什么？得到屬概念①菱形；給出屬差②：若有一個(gè)內(nèi)角是直角？得到屬概念②矩形；給出屬差③：鄰邊相等且有一個(gè)角是直角是什么圖形？得到屬概念③正方形.

概念教學(xué)只有抓住屬差和種概念，才能將邏輯性的滲透做到清晰、有條不紊，這樣存儲(chǔ)于學(xué)生腦海中的知識(shí)才不會(huì)是凌亂、無(wú)框架的，可以使相關(guān)概念的儲(chǔ)藏條理化、系統(tǒng)化、網(wǎng)格化，也不會(huì)出現(xiàn)類似上述教師關(guān)于數(shù)學(xué)概念有理數(shù)和實(shí)數(shù)教授不清的狀況.

理解概念抽象性

我們知道，數(shù)學(xué)概念之所以簡(jiǎn)捷，是緣自其強(qiáng)烈的抽象性，它把生活中各種具備具體形態(tài)的物體、性質(zhì)經(jīng)過(guò)提煉、抽象，用形式化的語(yǔ)言表述，從而形成了具備共性、本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念. 比如，從圓的面積公式找到了其與半徑之間的關(guān)系式、正方形面積與其邊長(zhǎng)之間的關(guān)系式等，這些抽象出來(lái)的關(guān)系式所闡述的就是學(xué)生后來(lái)了解的函數(shù)關(guān)系式，其本質(zhì)就是研究一個(gè)變量經(jīng)過(guò)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到另一個(gè)變量的過(guò)程. 筆者認(rèn)為，函數(shù)概念正是中學(xué)數(shù)學(xué)中理解概念抽象性最重要、最核心的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)家萊布尼茲用了多年，在此之前很多數(shù)學(xué)家都沒(méi)有能夠清晰地弄清楚函數(shù)概念，因此，要學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)掌握函數(shù)概念的抽象本質(zhì)有一定的困難. 依據(jù)學(xué)生特有的心理特征，為了扎實(shí)地理解函數(shù)概念的抽象性，可以借助一些感性的實(shí)物模型、教具等，將抽象性的特點(diǎn)以具體形態(tài)展示出來(lái). 筆者認(rèn)為，函數(shù)概念的變化其實(shí)可以看成一種原材料的加工機(jī)，比如將自變量x寓意成石塊原料，經(jīng)過(guò)加工機(jī)得到不同的函數(shù)值（可以看成石板、粉塵、石頭雕像等），這些不同的加工孕育出了不同的函數(shù)，這樣的形象解釋有助于心理結(jié)構(gòu)比較感性的中學(xué)生進(jìn)行理解，也有助于他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí).

領(lǐng)悟概念擴(kuò)展性

數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延是相輔相成的，而且存在著相互壓縮的依賴關(guān)系，即概念的外延多則內(nèi)涵相對(duì)少，概念的外延少則內(nèi)涵相對(duì)多. 比如，三角形是一個(gè)大概念（種概念），其屬性相對(duì)較少；等腰三角形是個(gè)較小的屬概念，其屬性相對(duì)而言就多了；正三角形是再小的屬概念，其要求三條邊相等、三個(gè)角相等，這些共同屬性就更多了. 從這一概念的擴(kuò)展我們知道，概念教學(xué)需要抓住其擴(kuò)展性來(lái)研究. 例如，我們?cè)谘芯繑?shù)出現(xiàn)的過(guò)程時(shí)，利用概念外延不斷擴(kuò)大的過(guò)程進(jìn)行概念的逐一呈現(xiàn)（見(jiàn)圖1）.

再比如，對(duì)于圖形認(rèn)識(shí)中出現(xiàn)的四邊形概念，這是一個(gè)概念外延收縮的過(guò)程（如圖2）. 上述兩個(gè)案例向教師指出了在教學(xué)中某些概念的教學(xué)必須尊崇一定的概念收縮或擴(kuò)散原則，利用圖形化的結(jié)構(gòu)圖梳理知識(shí)的系統(tǒng)化、嚴(yán)密化，能讓概念之間的種、屬位置關(guān)系利用內(nèi)涵特征進(jìn)行合理地區(qū)分與辨別，這種合理的擴(kuò)展性領(lǐng)悟大大加深了學(xué)生對(duì)于某一知識(shí)體系概念的理解、加深和記憶. 筆者認(rèn)為，教師將此類種屬概念明確的知識(shí)體系放在一種典型的樹(shù)狀圖教學(xué)，對(duì)于學(xué)生真正理解這些概念、牢記這些概念，進(jìn)而將這些概念內(nèi)化在自身知識(shí)體系中，對(duì)于概念的合理擴(kuò)展等大有幫助.

總之，新課程盡管從理論上加深了數(shù)學(xué)概念要提高效率的指導(dǎo)性方向，但在具體教學(xué)中或多或少被應(yīng)試所影響，筆者認(rèn)為，解題很重要，但不能替代概念教學(xué)的合理性，因此以本文所闡述的三方面拙見(jiàn)，讓教師在概念教學(xué)關(guān)鍵之處進(jìn)行一些細(xì)致地實(shí)施，讓學(xué)生在茫茫題海中適當(dāng)解脫出來(lái)，真正領(lǐng)會(huì)形式化概念的本質(zhì).endprint