雷軼菊

（新鄉(xiāng)學院 數(shù)學與信息科學系，河南 新鄉(xiāng) 453003）

Double設(shè)計在對稱化L2-偏差下兩個下界的比較

雷軼菊

（新鄉(xiāng)學院 數(shù)學與信息科學系，河南 新鄉(xiāng) 453003）

從列平衡的角度出發(fā)，將設(shè)計的中心化L2-偏差、對稱化L2-偏差、可卷L2-偏差分別用二次型和均衡模式表示，可分別得到兩個下界， 它們都適合用來評價正交設(shè)計的均勻性。以double設(shè)計的對稱化L2-偏差為例，證明了這兩種方法算出的下界是相等的。

Double設(shè)計；對稱化L2-偏差；下界

在構(gòu)造2-水平部分因子設(shè)計，特別是那些分辨度為IV的設(shè)計中，doubling是一種簡單卻很有用的方法。假定，則稱是的double。若是一個處理個數(shù)為n，具有1和-1兩個水平的k個因子的設(shè)計， 定義每一行為一個水平組合，那么定義了一個設(shè)計，其處理大小和因子個數(shù)都是的兩倍。最初，R. L. Plackett和J. P. Burman用doubling方法構(gòu)造了正交主效應(yīng)設(shè)計。CHEN H. G.和CHENG C. S.［2］用doubling方法將一個分辨度為IV的2-水平正規(guī)部分因子設(shè)計構(gòu)造成分辨度仍為IV的double設(shè)計。XU H. Q.和CHENG C. S.［3］討論了double設(shè)計中補設(shè)計的一般理論問題。在文獻［2-3］中討論構(gòu)造最大的二水平部分因子設(shè)計時，doubling方法起了重要的作用。

有關(guān)double設(shè)計方面的研究，涉及的都是因子設(shè)計方面的一些成果。筆者和覃紅［4］從均勻性的角度對double設(shè)計的性質(zhì)作了討論，分別在列平衡和行平衡下給出了double設(shè)計在對稱化L2-偏差下的兩個下界，并指出這兩個下界分別對衡量哪種設(shè)計的均勻性是有效的。FANG K. T.等［5-6］從列平衡出發(fā)，分別用兩種計算方法得到了兩個下界，且都適合用來評價正交設(shè)計的均勻性。既然這兩種方法考慮的都是列平衡，那么由這兩種方法得到的下界有何關(guān)系呢？到目前為止，這方面的研究還未見報道。在本文中，筆者以double設(shè)計的對稱化L2-偏差為例，證明了用兩種方［1］法算出的下界是相等的。

1 預備知識

， （1）

經(jīng)過簡單代數(shù)計算，由（2）式可得

2 Double設(shè)計在對稱化L2-偏差下的兩個下界的比較

定理2中的下界是基于列平衡的考慮算出的，和定理1中的下界一樣，都適合用于評價正交設(shè)計的均勻性。下面，證明這兩個下界實際上是相等的。

證明：只需證明

綜上所述，有（9）式左邊=（9）式右邊，即（8）式成立。

［1］ PLACKETT R L, BURMAN J P. The Design of Optimum Multi-factorial Experiments［J］. Biometrika, 1946, 33: 305-325.

［2］ CHEN H G, CHENG C S. Doubling and Projection: A Method of Constructing Two-level Designs of Resolution IV［J］. Ann Statist, 2006, 34: 546-558.

［3］ XU H Q, CHENG C S. A Complementary Design Theory for Doubling［J］. Ann Statist, 2008, 36: 445-457.

［4］ 雷軼菊，覃紅. Double設(shè)計在對稱化L2-偏差下的均勻性［J］.華中師范大學學報（自然科學版），2010，44，369-372.

［5］ FANG, K T, MUKERJEE R. A Connection Between Uniformity and Aberration in Regular Fractions of Two-level Factorials［J］. Biometrika, 2000, 87: 193-198.

［6］ FANG K T, LU X, WINKER P. Lower Bounds for Centered and Wraparound L2-discrepancies and Construction of Uniform Designs by Threshold Accepting［J］. J Complexity, 2003, 19: 692-711.

［7］ HICKEMELL F J. A Generalized Discrepancy and Quadrature Error Bound［J］. Mathematics of Computation, 1998, 67: 299-322.

【責任編輯 王云鵬】

Comparison of Two Lower Bounds for the Symmetric L2-discrepancy of Double Designs

LEI Yiju
（College of Mathematics and Information Science, Xinxiang University, Xinxiang 453003, China）

In view of the column balance, the centralized L2-discrepancy, symmetrized L2-discrepancy and rollable L2-discrepancy of a design could be respectively represented with quadric form and balance pattern； then two lower bounds could be respectively obtained. They were suitable for evaluating uniformity of the orthogonal designs. This paper proved in the case of the symmetric L2-discrepancy of double designs the lower bounds by two kinds of calculation methods are equal.

double design； symmetrized L2-discrepancy； lower bound

O212.6

A

2095-7726（2015）03-0001-03

2015-01-06

雷軼菊（1976-），女，湖北荊州人，講師，碩士，研究方向：試驗設(shè)計。