浙江省嘉興市秀州中學(xué) 屠新躍 (郵編：314033)

三個(gè)變量 四種層次

浙江省嘉興市秀州中學(xué) 屠新躍 (郵編：314033)

問題 設(shè)集合M={(a,b)|a≤-1，且b≤m}，其中m∈R．若對任意的(a,b)∈M，均有a·2b-b-3a≥0，求實(shí)數(shù)m的最大值．

1 主元思想

就是把問題理解為一個(gè)變量的函數(shù)值在其定義域上恒大于或等于零，關(guān)鍵是求出這個(gè)函數(shù)的最小值，一般可以先研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性．那么，以哪個(gè)變量作為主變量，應(yīng)當(dāng)是首先要確定的問題．

1.1 以a為主變量

設(shè)函數(shù)f(a)=(2b-3)·a-b，則f(a)的圖象就是直線或其一部分．而要使a≤-1時(shí)，恒有f(a)≥0，則a的系數(shù)只能滿足2b-3≤0．否則，若2b-3>0，則f(a)是(-, -1]上的增函數(shù)，則有一次函數(shù)f(a)→ -，不合題意，舍去．

因此2b-3≤0，則f(a)最小值是f(-1)=-2b+3-b≥0，即2b+b≤3．又b≤m，考慮函數(shù)y(b)=2b+b是在R上遞增，則y(b)≤y(m)=2m+m，且恰有y(1)=3，則m≤1.

所以，m的最大值就是1．

1.2 以b為主變量

設(shè)函數(shù)g(b)=a·2b-b-3a，由于a·2b(a≤-1)和-b都是R上的減函數(shù)，所以g(b)在(-,m]上遞減，則g(b)的最小值是g(m)=a·2m-m-3a≥0，a(2m-3)≥m，若2m-3≥0，右邊=m≥log23>0，而a≤-1，左邊≤0，則a(2m-3)≥m不可能成立，則2m-3<0，那么有-(2m-3)≥m，m+2m≤3，同理有m≤1，則m的最大值是1．

2 分離變量

問題的本質(zhì)就是求變量b的最大值，這樣三個(gè)變量就變成了兩個(gè)變量，那就可以嘗試將這兩個(gè)變量a,b分離．也就是通過變形，能使得不等式的兩邊各含有一個(gè)變量，再求某一邊的最值來解決問題．

由已知得(2b-3)·a≥b，再對2b-3的符號進(jìn)行討論，達(dá)到變量a,b分離．

當(dāng)2b-3=0，右邊=b=log23>左邊=0，舍去；

題中的不等式a·2b-b-3a≥0，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)取值的大小關(guān)系問題，借助這兩個(gè)函數(shù)的圖形，通過觀察比較，就可以直觀地在畫出的圖形中，尋找它們的高、低(大、小)關(guān)系．

這里，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為相對簡單的兩個(gè)函數(shù)形式，以便于在同一個(gè)坐標(biāo)系下分別畫出它們的圖象．

4 必要條件

對題設(shè)中給定范圍的變量a，取一些特殊值來代入，可求得另一個(gè)變量b的范圍A，它必定是要求的變量b的結(jié)論B的必要條件，也就是必須有B?A．這樣，就可以有力地縮小b的取值范圍，使問題得到優(yōu)化，然后可以對結(jié)論作大膽的猜想，在這個(gè)基礎(chǔ)上，再去證明猜想就是問題的充分條件．

根據(jù)題意，“a=-1，b=m”，是“a·2b-b-3a≥0”恒成立的一個(gè)必要條件，代入得

-2m-m+3≥0，2m+m≤3，同理有m≤1，就可以猜想m的最大值是1；而當(dāng)b=1代入a·2b-b-3a≥0，得2a-1-3a≥0，則a≤-1，這就證明了它的充分性．

所以，m的最大值是1．盡管這樣的解法有其一定的偶然性，但不失為一種很好的思維方式，至少可以使未知變量的范圍得到有效的控制．

2015-01-05)