孫淑琴，孟慶云，方秀成，林 君，王應(yīng)吉，田寶鳳，楊 楠

（吉林大學(xué) 儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，長春130061）

0 引 言

核磁共振測水方法是利用地層中豐度最高的氫原子核的順磁性產(chǎn)生的核磁共振（Magnetic resonance sounding，MRS）信號，通過改變激發(fā)電流的大小完成對不同深度地下水的測量［1－2］。對采集的信號經(jīng)過濾波處理之后，即可反演解釋得到地下含水層深度、厚度、含水量大小、含水層平均孔隙度等信息［3－4］。

國內(nèi)外專家學(xué)者提出了多種方法來抑制噪聲，主要有：儀器采集數(shù)據(jù)的疊加方法［5－6］，缺點在于疊加次數(shù)多，系統(tǒng)的工作效率低；探測線圈采用八字形線圈［7－8］方式，與圓形探測線圈相比，探測深度降低一半；采用同步檢波和FIR 低通濾波技術(shù)［9－10］的方法會引起有用信號的失真；此外還有滑動平均濾波法、區(qū)塊對消法，正弦對消法、陷波濾波器法［11－18］。這幾種方法主要針對電磁噪聲的濾除，由于噪聲的無規(guī)律性，以上濾波方法均存在一定的局限性。

上述濾波方法主要針對MRS信號中振幅提取的效果進(jìn)行分析和處理，然而未對MRS 信號中頻率、平均衰減時間、相位等其他幾個特征參數(shù)提取情況進(jìn)行分析和總結(jié)。本文研究了自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)方法，自適應(yīng)濾波方式主要是針對固定頻率噪聲的濾波處理，小波模極大值重構(gòu)方法主要是針對白噪聲的濾波處理［19－22］。將兩者結(jié)合起來能夠突破傳統(tǒng)傅里葉變換在時域沒有任何分辨率的限制，具有良好的時域分析特性，能夠從強(qiáng)干擾的信號中提取有用成分，彌補(bǔ)了其他方法在非平穩(wěn)信號處理上的不足。將本文方法與自適應(yīng)濾波方法和小波模極大值重構(gòu)方法進(jìn)行了對比，可知用本文方法所得到的信噪比更高，信號曲線與噪聲曲線能夠得到明顯的分開，且信號和噪聲的曲線都變得更光滑，對水文地質(zhì)參數(shù)的解釋更準(zhǔn)確。

1 核磁共振測試信號及數(shù)據(jù)處理

1.1 數(shù)據(jù)處理流程

利用JLMRS儀器所采集的信號中通?；煊袕?fù)雜的噪聲成分，表達(dá)式如下：

式中：第一項為MRS信號表達(dá)式；第二項為工頻諧波噪聲表達(dá)式，由多個單頻的諧波分量疊加而成，其中每個單頻率諧波的參數(shù)都是獨立的；第三項為隨機(jī)噪聲，εreal（t）中包含平穩(wěn)的隨機(jī)噪聲和非平穩(wěn)的隨機(jī)噪聲。

儀器測試信號的數(shù)據(jù)處理過程如圖1所示。測試信號經(jīng)過正交分解、噪聲濾除、提取信號的初始振幅E0，平均衰減時間T＊2，接收頻率f 和初始相位φ0 后，經(jīng)過反演計算即可得到地下含水量及含水層孔隙度等信息。MRS 數(shù)據(jù)參數(shù)為E0、T＊2、φ0，相應(yīng)的水文地質(zhì)參數(shù)為單位體積含水量（有效孔隙度）、空隙大小（滲透性）和含水層導(dǎo)電性（電阻率）。MRS信號的幾個特征參數(shù)對于含水地層的解釋均有直接關(guān)系。

圖1 MRS信號數(shù)據(jù)處理流程圖Fig.1 Flowchart of MRS signal data processing

1.2 自適應(yīng)濾波算法原理

當(dāng)原始信號中包含頻率為ω的工頻諧波干擾時，利用自適應(yīng)濾波器可以消除這種特定頻率成分的干擾，自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)圖［23］如圖2 所示。圖中核磁共振信號與干擾信號疊加，經(jīng)采樣后給dj端，參考輸入是與單頻干擾相關(guān)的正弦信號，采樣送到d1j、d2j端，d2j是由參考信號經(jīng)過90°相移得來，由兩個參考信號得到ω1j、ω2j兩個權(quán)值，即自由度，使得組合后正弦波振幅、相角與原始輸入干擾分量的振幅、相角相同，從而使輸出的ej中的ω 被抵消掉，達(dá)到濾波的目的。

圖2 自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure chart of adaptive trap

1.3 二進(jìn)小波變換

設(shè)信 號f（t）是 平 方 可 積 的，即f（t）∈L2（R），則這一信號的二進(jìn)小波變換定義為［24］：

式中：j∈z；τ為平移參數(shù)；ψ（t）為母小波。

假設(shè)χ（t）為尺度函數(shù)，應(yīng)用式（2）可知χ（t）、ψ（t）滿足以下尺度方程：

式中：α為低通濾波器：β為高通濾波器。

如果對式（2）的τ 進(jìn)行離散化，并假設(shè)χ（t）∈L2（R）、ψ（t）∈L2（R），二進(jìn)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)為：

經(jīng)過濾波器級聯(lián)結(jié)構(gòu)求出各尺度上的小波系數(shù)。令αj（k）和βj（k）分別是在濾波器α（k）和β（k）每兩個系數(shù)之間添加2j－1個零后所得到的濾波器，記。二進(jìn)小波變換的快速分解算法為：

快速重構(gòu)算法為：

1.4 小波模極大值重構(gòu)消噪的原理

將含有噪聲的信號進(jìn)行多尺度小波分解，求取相應(yīng)的模極大值，然后根據(jù)信號和噪聲在不同尺度因子下的不同傳播特性來區(qū)分信號和噪聲，這就是小波模極大值重構(gòu)消噪的理論依據(jù)。

通過Lipschitz指數(shù)α 可以度量信號在某個時間區(qū)間或某一時刻的正規(guī)性，即刻畫信號的奇異性。奇異性也可以通過跟蹤小波變換在細(xì)尺度下的模極大值來檢測。而且Lipschitz指數(shù)和二進(jìn)小波變換模極大值之間存在以下關(guān)系：如果信號的Lipschitz指數(shù)α＞0，該信號的二進(jìn)小波變換模極大值將隨著尺度的增大而增大，這樣模極大值點是由需要的信號所產(chǎn)生；反之，α ＜0，該信號的二進(jìn)小波變換模極大值將隨著尺度的增大而減小，這樣的模極大值由噪聲產(chǎn)生。

根據(jù)以上原理可知，隨著尺度因子的不斷變大，噪聲小波系數(shù)的模極大值點的幅度值將明顯變小。經(jīng)過幾次二進(jìn)小波變換之后，由噪聲產(chǎn)生的模極大值點的幅度值已經(jīng)變得非常小，甚至很多由噪聲產(chǎn)生的模極大值點的值都變?yōu)榱悖@樣剩下的模極大值點主要是由信號產(chǎn)生的。一般情況下，尺度越大，信號產(chǎn)生的小波系數(shù)模極大值點的比例就越大，大分解尺度上的模極大值點主要是由信號產(chǎn)生的。所以就可以利用大尺度上的小波系數(shù)模極大值點逐步確定由信號產(chǎn)生的小尺度上的小波系數(shù)模極大值點，最后根據(jù)剩余的模極大值點重構(gòu)信號，這樣就能夠?qū)⒃肼曄魅酢?/p>

1.5 小波模極大值重構(gòu)消噪過程

根據(jù)小波模極大值重構(gòu)消噪原理，消噪算法過程如下：

（1）對含有噪聲的信號進(jìn)行二進(jìn)小波變換，小波分解尺度的總個數(shù)選擇應(yīng)該適中，一般小波分解尺度數(shù)為4或5，大于此值有用信號可能會丟失，小于此值不能保證產(chǎn)生的小波系數(shù)模極大值點的優(yōu)勢程度。最后，求出小波系數(shù)的模極大值點及相對應(yīng)的模極大值。

（2）設(shè)定小波系數(shù)的閾值為T，最大尺度上的小波系數(shù)模極大值如果大于閾值T，則保留相對應(yīng)的小波模極大值點，否則剔除相對應(yīng)的小波模極大值點，從而使最大尺度上小波系數(shù)的小波模極大值點更新。根據(jù)核磁共振實際處理，假設(shè)閾值T ＝0.1max，其中max 表示小波模極大值中的最大值。

（3）假設(shè)最大尺度為j。利用第（2）步中的小波模極大值點的位置構(gòu)造U（xjn），xjn為尺度j 上的第n個小波模極大值點，之后在U（xjn）內(nèi)找到尺度j－1上的小波系數(shù)模極大值點，使尺度j－1上位于U（xjn）內(nèi)的模極大值點保留，其余的小波模極大值點進(jìn)行清除，尺度j－1上的小波模極大值點就進(jìn)行了更新。假設(shè)j＝j(luò)－1，當(dāng)尺度數(shù)為2時，停止循環(huán)第（3）步。

（4）尺度j＝1或j＝2位置上相對應(yīng)的極大值點進(jìn)行保留，其他位置的極大值點置為零。

（5）應(yīng)用各個尺度上余下的小波模極大值點進(jìn)行小波系數(shù)的重構(gòu)，最后利用重構(gòu)的小波系數(shù)重構(gòu)信號。

2 仿真模型的建立

在地下水探測技術(shù)中，核磁共振儀器采用4倍頻采樣的數(shù)字正交技術(shù)來獲得包絡(luò)信號。模擬這樣的一個理想信號并加入干擾噪聲來驗證本文研究方法的效果，將處理后的信號與原始信號作對比，以信噪比（信號強(qiáng)度與噪聲強(qiáng)度的比值）高低為評價指標(biāo)，驗證本文方法的可行性效果。

定義信號的信噪比如下：

式中：Sx、Sy分別為含噪信號的x 分量和y 分量；Nx、Ny分別為噪聲的x 分量和y 分量。

2.1 理想信號仿真

核磁共振信號中的噪聲主要是白噪聲和工頻噪聲，工頻噪聲頻率一般為50Hz的整數(shù)倍，為了模擬野外的實際信號，在理想信號中疊加白噪聲和工頻噪聲。建立仿真模型，信號初始振幅E0設(shè)為400nV，初始相位φ0 設(shè)為165°，弛豫時間T＊2設(shè)為150ms，頻率f 設(shè)為2325Hz的理想衰減正弦波信號，其包絡(luò)信號和頻譜圖如圖3所示。

圖3 理想包絡(luò)信號和頻譜圖Fig.3 Ideal signal envelope and spectrum diagram

2.2 信號加入白噪聲

首先在包絡(luò)信號上加入高斯白噪聲，其幅值為150nV。此時信號的信噪比為1.43，見圖4。

圖4 白噪聲包絡(luò)信號和頻譜圖Fig.4 Signal envelope and spectrum diagram of white noise

圖5 去噪前后模極大值點對比Fig.5 Contrast before and after of modulus maxima

對加入白噪聲的MRS信號與經(jīng)小波模極大值重構(gòu)處理后的MRS信號進(jìn)行模極大值點的對比如圖5所示。由圖可知：原始數(shù)據(jù)中噪聲大部分集中于第1層和第2層，經(jīng)小波模極大值重構(gòu)處理后保存下來的系數(shù)較少。隨著分解尺度的增加噪聲部分越來越少，有用信號成為主要部分，所以保留下來的系數(shù)也越來越多。小波模極大值重構(gòu)算法的主要優(yōu)點是根據(jù)小波變換系數(shù)模極大值的跨尺度傳播規(guī)律，可以明確區(qū)分每一分解層次上代表噪聲和信號的小波變換系數(shù)，既不會去掉微弱的有用信號，也不會保留強(qiáng)度較大的噪聲［25］。

自適應(yīng)濾波主要針對固定頻率噪聲的濾除，小波模極大值重構(gòu)主要針對白噪聲的濾除，為了反映基于自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)濾波方法的優(yōu)越性，下面給出了幾種濾波方式的對比。經(jīng)過不同濾波方式所得到的包絡(luò)信號和頻譜圖如圖6所示。圖6（b）和（c）所得到的曲線變得比較光滑，信號與噪聲明顯地被分開。在3種濾波方法中，經(jīng)自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)所得到的信噪比最高，所以經(jīng)此種濾波方式所得到的信號是最可信的。

圖6 處理之后的包絡(luò)信號和頻譜圖Fig.6 Envelope signal and the spectrum diagram after filtering

對加入白噪聲的信號進(jìn)行濾波，比較濾波前后情況，白噪聲在整個頻域范圍內(nèi)均勻分布，無固定頻率值。比較結(jié)果如表1所示。

由表1可以看出：經(jīng)過自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)處理的數(shù)據(jù)與另外兩種方法對比，所得到的特征參數(shù)最接近于理想信號且信噪比最高，信噪比可達(dá)到2.61。經(jīng)過自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)處理后的MRS特征參數(shù)的擬合誤差E0%達(dá)到0.82%，達(dá)到6.3%，φ0%達(dá)到1.75%，頻譜幅度衰減率達(dá)到0.12%，滿足實際應(yīng)用的要求［14－15］。MRS數(shù)據(jù)處理之后，所得到的特征參數(shù)越接近于理想信號說明處理的結(jié)果越準(zhǔn)確，反演解釋結(jié)果的可信度越高。同時由圖6可得，經(jīng)自適應(yīng)濾波和小波模極大值重構(gòu)方法所得到的信號曲線和噪聲曲線變得比較光滑且信號與噪聲明顯分開，獲得了可信的包絡(luò)信號。

2.3 信號加入工頻噪聲

理想信號中加入工頻諧波干擾，其中頻率f1＝2350Hz，幅值為80nV。信噪比為2.88，如圖7所示。

對加入工頻噪聲的MRS 信號進(jìn)行處理前、后模極大值點的對比如圖8所示。與加入白噪聲的對比結(jié)果類似，隨著分解尺度的增加噪聲部分越來越少，有用信號成為主要部分，所以保留下來的系數(shù)也越來越多。

為了反映基于自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)濾波方法的優(yōu)越性，下面給出了幾種經(jīng)過不同濾波方式得到的包絡(luò)信號和頻譜圖，如圖9所示。由圖可以看出：經(jīng)自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)濾波后所得到的信號曲線最光滑，且噪聲壓制得最低，信號與噪聲分開的效果最好。

對加入噪聲的信號進(jìn)行濾波，比較濾波前、后情況。核磁共振含噪信號經(jīng)過不同濾波方法得到特征參數(shù)的擬合誤差與信噪比的大小以及頻譜幅度衰減率的比較結(jié)果見表2。

表1 數(shù)據(jù)經(jīng)不同濾波方式后的對比（加入白噪聲）Table 1 Contrast data with different filtering way（white noise）

圖7 工頻噪聲包絡(luò)信號和頻譜圖Fig.7 Signal envelope and spectrum diagram of industrial frequency noise

圖8 去噪前后模極大值點對比Fig.8 Contrast before and after of modulus maxima

由表2可以看出，經(jīng)過基于自適應(yīng)的小波模極大值重構(gòu)處理的數(shù)據(jù)與另外兩種方法相對比，所得到的特征參數(shù)最接近于理想信號，且信噪比最高。MRS特征參數(shù)（振幅E0，弛豫時間，相位φ0）的擬合誤差控制在了3%以內(nèi)，且頻譜幅度衰減率達(dá)到0.68%。由加入白噪聲所處理的結(jié)果分析可知，MRS數(shù)據(jù)處理之后，所得到的特征參數(shù)接近于理想信號所對應(yīng)的特征參數(shù)，說明處理的結(jié)果準(zhǔn)確，反演解釋結(jié)果的可信度高。

圖9 處理之后的包絡(luò)信號和頻譜圖Fig.9 Envelope signal and the spectrum diagram after filtering

表2 數(shù)據(jù)經(jīng)不同濾波方式后的對比（加入工頻噪聲）Table 2 Contrast data with different filtering way（power noise）

結(jié)合處理后的信號曲線圖與表2可知：經(jīng)自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)處理之后所得到的信號曲線的平滑度最好，可以很好地將噪聲與信號分離開來，信噪比達(dá)到最高且最可信。

3 實測數(shù)據(jù)處理

2005年4月，核磁組在內(nèi)蒙古烏拉特地區(qū)進(jìn)行了野外實驗，對野外采集數(shù)據(jù)應(yīng)用不同的濾波方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。首先對每個測點的單個脈沖矩進(jìn)行濾波處理，再利用處理后的數(shù)據(jù)得出反演結(jié)果。

（1）測點WLTQ100。當(dāng)?shù)氐睦獱栴l率為2353Hz，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，然后提取MRS信號的特征參數(shù)E0、T＊2、φ0、f。由表1可知MRS信號的特征參數(shù)所對應(yīng)的水文地質(zhì)參數(shù)。圖10為MRS信號的不同特征參數(shù)所對應(yīng)的曲線。由圖可得出，經(jīng)自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)濾波后所得到的曲線的平滑度和穩(wěn)定性最好。

圖10 不同濾波方式下的MRS信號特征參數(shù)曲線Fig.10 MRS signal characteristic parameter curves after different filter methods

圖11為經(jīng)過不同濾波方式反演所得到的含水量柱狀圖。測點 WLTQ100 距離打井點XF277很近，為2.03km，認(rèn)為兩者的水文地質(zhì)情況是相似的。XF277的水文地質(zhì)情況如圖12所示。由圖可知：XF277打井深度為1.575～50m，含水層厚度為48.425m。飽和含水層從5m 開始，5～6 m 為粗砂，6～17.9 m 為中砂，17.9～34.9m 為粗砂，34.9～50m 為細(xì)砂。由圖11、圖12及與含水層的巖性關(guān)系分析可得，經(jīng)自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)反演所得到的含水量柱狀圖與鉆探結(jié)果基本相符，更接近于實際情況。

圖11 不同濾波后反演所得到的含水量柱狀圖Fig.11 MRS inversion results with the different methods

圖12 XF277水文地質(zhì)情況Fig.12 XF277hydrological geology

（2）測點WLTQ94。當(dāng)?shù)氐睦獱栴l率為2354Hz，與WLTQ100處理過程相同。圖13為MRS信號相應(yīng)的特征參數(shù)對應(yīng)的曲線。從圖13中可知：經(jīng)自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)濾波后所得到的特征曲線的平滑度提高的程度最大，穩(wěn)定性最好。

圖13 不同濾波方式下的MRS信號特征參數(shù)曲線Fig.13 MRS signal characteristic parameter curves after different filter methods

圖14 為經(jīng)過不同濾波方式反演所得到的含水量柱狀圖。測點WLTQ94 距離打井點HL11很近，為3.17km，同樣兩者的水文地質(zhì)情況是相似的。HL11的水文地質(zhì)情況如圖15 所示。由圖可知：HL11打井深度為1.5～42m，含水層厚度為40.5m，出水層從1.5m 開始，1.5～5m 為粗砂，5～21.7 m 為中砂，21.7～42 m 為粗砂。經(jīng)圖14、圖15及T＊2與含水層的巖性關(guān)系的分析得出，經(jīng)自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)反演得到的含水量柱狀圖更接近于鉆井的實際情況。

圖14 不同濾波后反演所得到的的含水量柱狀圖Fig.14 MRS inversion results with the different methods

圖15 HL11水文地質(zhì)情況Fig.15 HL11hydrological geology

4 結(jié) 論

（1）MRS特征參數(shù)（振幅E0，弛豫時間相位φ0）的擬合誤差控制在了3%以內(nèi)。由處理的結(jié)果分析可知，MRS數(shù)據(jù)處理之后，所得到的特征參數(shù)接近于理想信號所對應(yīng)的特征參數(shù)，說明處理的結(jié)果準(zhǔn)確，反演解釋結(jié)果的可信度高。

（2）實測數(shù)據(jù)處理表明，在地下水含量未知的條件下對于不同強(qiáng)度的噪聲干擾基于自適應(yīng)和小波模極大值重構(gòu)算法獲得了較好的去噪效果。

（3）通過理想信號加入兩種噪聲，經(jīng)過不同濾波方法的比較，得出了不同噪聲情況下的消噪策略，實測信號也驗證了上述策略的適用性，為野外試驗的數(shù)據(jù)處理提供了指導(dǎo)，縮短了尋找最佳方法所用時間，提高了效率，對以后消噪方法的研究給出了參考。

［1］Legchenko A，Baltassat J M，Bobachev A，et al.Magnetic resonance sounding applied to aquifer characterization［J］.Ground Water，2004，42（3）：363－373.

［2］Legchenko A，Baltassat，J M，Beauce A，et al.Nuclear magnetic resonance as a geophysical tool for hydrogeologists［J］.Journal of Applied Geophysics，2002，50（1）：21－46.

［3］Müller－Petke M，Hiller T，Herrmann R，et al.Reliability and limitations of surface NMR assessed by comparison to borehole NMR［J］.Near Surface Geophysics，2011，9（2）：123－134.

［4］Vouillamoz J M，Legchenko A，Nandagiri L.Characterizing aquifers when using magnetic resonance sounding in a heterogeneous geomagnetic field［J］.Near Surface Geophysics，2011，9（2）：135－144.

［5］Juan Plata，F(xiàn)elix Rubio.MRS experiments in a noisy area of a detrital aquifer in the south of Spain［J］.Journal of Applied Geophysics，2002，50（1）：83－94.

［6］Jiang C D，Lin J，Duan Q M，et al.Statistical stacking and adaptive notch filter to remove high－level electromagnetic noise from MRS measurements［J］.Near Surface Geophysics，2011，9（5）：459－468.

［7］Konstantinos Chalikakis，Mette Ryom Nielsen，Anatoly Legchenko.MRS applicability for a study of glacial sedimentary aquifers in Central Jutland，Denmark［J］.Journal of Applied Geophysics，2008，66（3）：176－187.

［8］Trushkin D V，Shushakov O A，Legchenko A V.The potential of a noise－reducing antenna for surface NMR groundwater surveys in the earth＇s magnetic field［J］.Geophysical Prospecting，1994，42（8）：855－862.

［9］Anatoly Legchenko，Pierre Valla.A review of the basic principles for proton magnetic resonance sounding measurements［J］.Journal of Applied Geophysics，2002，50（1）：3－19.

［10］Legchenko A，Valla P.Processing of surface proton magnetic resonance signals using non－linear fitting［J］.Journal of Applied Geophysics，1998，39（2）：77－83.

［11］Legchenko A，Valla P.Removal of power－line harmonics from proton magnetic resonance measurements［J］.Journal of Applied Geophysics，2003，53（2）：103－120.

［12］Legchenko A.MRS measurements and inversion in presence of EM noise［J］.Boletín Geológico y Minero，2007，118（3）：489－508.

［13］Walsh D O.Multi－channel surface NMR instrumentation and software for 1D／2Dgroundwater investigations［J］.Journal of Applied Geophysics，2008，66（3）：140－150.

［14］田寶鳳，段清明.核磁共振信號工頻諧波的自適應(yīng)濾除方法［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：信息科學(xué)版，2009，27（3）：223－228.Tian Bao－feng，Duan Qing－ming.Removal method of industrial frequency harmonics in nuclear magnetic resonance signal based on adaptive filter［J］.Journal of Jilin University（Information Science Edition），2009，27（3）：223－228.

［15］田寶鳳，林君，段清明，等.基于參考線圈和變步長自適應(yīng)的磁共振信號噪聲壓制方法［J］.地球物理學(xué)報，2012，55（7）：2462－2472.Tian Bao－feng，Lin Jun，Duan Qing－ming，et al.Variable step adaptive noise cancellation algorithm for magnetic resonance sounding signal with a reference coil［J］.Chinese Journal of Geophysics，2012，55（7）：2462－2472.

［16］曾亮，李振宇，王鵬.小波分析在提高核磁共振找水信號信噪比中的應(yīng)用探討［J］.CT 理論與應(yīng)用研究，2007，15（2）：1－5.Zeng Liang，Li Zhen－yu，Wang Peng.Improveing S／N ratio of MRS signal of detecting ground water with wavelet analysis［J］.CT Theory and Applications，2007，15（2）：1－5.

［17］Strehl S，Rommel I，Hertrich M，et al.New strategies for filtering and fitting of MRS signals［C］∥Proc Proceedings 3rd International MRS Workshop，Madrid，Spain，2006：65－68.

［18］Strehl S.Development of strategies for improved filtering and fitting of SNMR－Signals［D］.Berlin：Department of Applied Geophysics Diplomarbeit，Institute of Applied Geosciences，Technical University of Berlin，2006.

［19］Abdullah Al Jumah.Denoising of an image using discrete stationary wavelet transform and various thresholding techniques［J］.Journal of Signal and Information Processing，2013，4（1）：33－41.

［20］Nair S S，Joseph K P.Wavelet based electroretinographic signal analysis for diagnosis［J］.Biomedical Signal Processing and Control，2014（9）：37－44.

［21］張金榜，孫藝笑，王潤典，等.改進(jìn)的閾值函數(shù)去噪算法［J］.電子科技，2014，27（2）：17－20.Zhang Jin－bang，Sun Yi－xiao，Wang Run－dian，et al.An improved threshold denoising algorithm［J］.Electronic Science and Technology，2014，27（2）：17－20.

［22］李文剛，張振勇，王艷波，等.小波分析在礦井高密度電法數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用［J］.中國煤炭地質(zhì)，2011，23（6）：52－55.Li Wen－gang，Zhang Zhen－yong，Wang Yan－bo，et al.Application of wavelet analysis in coalmine highdensity electric prospecting data processing［J］.Coal Ceology of China，2011，23（6）：52－55.

［23］Sun S，Yang N，Lin J，et al.Adaptive analysis of filter methods for magnetic resonance sounding［C］∥In Digital Manufacturing and Automation（ICDMA），IEEE，2013：106－111.

［24］秦毅，王家序，毛永芳.基于軟閾值和小波模極大值重構(gòu)的信號降噪［J］.振動測試與診斷，2011，31（5）：543－547.Qin Yi，Wang Jia－xu，Mao Yong－fang.Based on soft threshold and wavelet modulus maxima reconstruction signal noise reduction［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆Diagnosi，2011，31（5）：543－547.

［25］何永紅，文鴻雁，靳鵬偉.基于小波模極大值改進(jìn)算法的變形模型研究［J］.測繪科學(xué)，2007，32（4）：18－20.He Yong－h(huán)ong，Wen Hong－yan，Jin Peng－wei.Deformation of the improved algorithm based on wavelet modulus maxima model research［J］.Science of Surveying and Mapping，2007，32（4）：18－20.