陳秀梅(濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 濰坊 261061)

Engel定理的一個(gè)推廣

陳秀梅
(濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 濰坊 261061)

摘 要：本文在更一般的條件下給出了判定李代數(shù)冪零的充分條件，從而推廣了李代數(shù)中的Engel定理。

關(guān)鍵詞：有限維李代數(shù); 冪零; ad冪零

1 預(yù)備知識(shí)

Engel定理是李代數(shù)中一個(gè)重要的結(jié)論，本文對(duì)它進(jìn)行了推廣，需要用到下面的結(jié)論。

引理1[1]設(shè)L是一般線性李代數(shù)gl（V）的子代數(shù)，V是有限維的，若L由冪零自同態(tài)組成，且V≠0，則存在非零的v∈V，使L·v=0。

Engel定理[1]若有限維李代數(shù)L的所有元素都是ad冪零的，則L是冪零的。

2 正文

下面我們給出Engel定理的推廣

定義1[1]設(shè)L是一個(gè)李代數(shù)，x∈L，K是L的理想，如果adx|K是K上的冪零自同態(tài)，則稱x在理想K上ad冪零。

為了敘述的方便，我們給出幾個(gè)符號(hào): 若K是L的理想，令K0=K，K1=[K0,L]，Ki+1=[Ki,L]，i=1,2,…。

定理1設(shè)L是有限維李代數(shù)，dinL=n，K是L的理想，若Ki≠0(i=0,1…,n-1)，且L的所有元素都在K上ad冪零，則L也是冪零的。

證明: 對(duì)dinL=n進(jìn)行歸納。

當(dāng)n=1時(shí)，由于K≠0，從而L=K，因而由Engel定理知L是冪零的。

假設(shè)當(dāng)dimL＜n時(shí)結(jié)論成立，則對(duì)dimL=n時(shí)，由條件，，且都為K上的冪零自同態(tài)，K≠0，故由引理知，存在非零的x∈K，使[L,x]=0，因而為L(zhǎng)的中心)，且是L的理想。因此,且設(shè)

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作者簡(jiǎn)介：陳秀梅(1980-),女，山東諸城人，講師，研究方向:代數(shù)半群，矩陣論。