余 竹, 夏 禾, 殷永高， 孫敦華

1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044; 2. 安徽省交通控股集團(tuán)有限公司，合肥 230088)

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基于小波變換與Lipschitz指數(shù)的橋梁損傷識(shí)別研究

余 竹1,2, 夏 禾1, 殷永高2， 孫敦華2

1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044; 2. 安徽省交通控股集團(tuán)有限公司，合肥 230088)

針對(duì)連續(xù)小波變換與Lipschitz指數(shù)在識(shí)別信號(hào)奇異性上的優(yōu)越性，以裂縫模擬橋梁損傷，提出基于小波變換與Lipschitz指數(shù)的損傷識(shí)別方法。對(duì)損傷結(jié)構(gòu)位移模態(tài)進(jìn)行小波變換，用小波系數(shù)灰度圖及模極大值軌跡圖進(jìn)行損傷定位，并用Lipschitz指數(shù)評(píng)價(jià)損傷程度。理論推導(dǎo)裂縫梁的Lipschitz指數(shù)范圍，并數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證該方法識(shí)別結(jié)構(gòu)裂縫損傷的有效性?？疾霦uler梁及Timoshenko梁、不同程度損傷、多位置損傷、稀疏測(cè)點(diǎn)布置及噪聲測(cè)試等多種因素對(duì)損傷識(shí)別效果影響。

小波變換；Lipschitz指數(shù)；奇異性；損傷識(shí)別；位移模態(tài)

基于模態(tài)參數(shù)如自振頻率、振型的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法頗受關(guān)注，皆因模態(tài)參數(shù)較易獲得并能較好刻畫結(jié)構(gòu)整體性能。而從模態(tài)參數(shù)中提取局部信息如細(xì)微的缺陷卻并不容易。已有的基于模態(tài)參數(shù)損傷檢測(cè)方法均試圖尋找損傷與模態(tài)參數(shù)之關(guān)系。如Pandey等[1]用結(jié)構(gòu)位移模態(tài)有限差分所得曲率信息識(shí)別損傷，將曲率模態(tài)用于梁式結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)。Maia等[2]從位移頻響函數(shù)中推導(dǎo)出曲率頻響函數(shù)進(jìn)而識(shí)別損傷。

小波變換在識(shí)別信號(hào)奇異性上優(yōu)越性強(qiáng)[3]，損傷定位特性好且無(wú)需對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)微分。如Liew等[4-6]初步證實(shí)基于小波變換的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法適用性。邱穎等[7]對(duì)結(jié)構(gòu)健康、損傷狀態(tài)的模態(tài)曲率差進(jìn)行小波變換,識(shí)別懸臂梁損傷，但該方法需結(jié)構(gòu)未損傷信息。管德清等[8-9]對(duì)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角模態(tài)或應(yīng)變模態(tài)進(jìn)行小波變換，用小波系數(shù)對(duì)彈性地基梁及框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別。趙俊等[10]利用移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁響應(yīng)的小波系數(shù)識(shí)別出裂縫損傷位置。然而直接用小波系數(shù)識(shí)別小程度損傷較困難，且易受噪聲影響；而對(duì)損傷程度缺乏進(jìn)一步評(píng)價(jià)。Hong等[11]用Lipschitz指數(shù)評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)單損傷時(shí)損傷程度并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。任宜春等[12]研究梁損傷位置與測(cè)點(diǎn)距離對(duì)Lipschitz指數(shù)影響。以上研究均未考慮多位置損傷工況及梁高深淺、測(cè)點(diǎn)疏密以及噪聲等因素對(duì)Lipschitz指數(shù)影響。而單純用某個(gè)尺度小波系數(shù)定位損傷存在缺陷，不易直觀研究各尺度的小波系數(shù)從而對(duì)損傷產(chǎn)生誤判。

為此，本文提出用含各尺度的小波系數(shù)灰度圖及小波系數(shù)模極大值軌跡圖對(duì)裂縫損傷進(jìn)行直觀定位，并用Lipschitz指數(shù)評(píng)價(jià)損傷程度?？疾霦uler梁及Timoshenko梁的不同程度損傷、多位置損傷、稀疏測(cè)點(diǎn)及噪聲等因素對(duì)識(shí)別結(jié)果影響，并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證該方法的適用性。

1 小波變換與Lipschitz指數(shù)

信號(hào)f(x)的連續(xù)小波變換可表示為

(1)

式中：ψ(x)為小波函數(shù)；ψ*(x)為復(fù)共軛；s，u分別為尺度、平移因子。

ψ(x)滿足容許條件為

(2)

(3)

若小波函數(shù)ψ(x)滿足式(3)，則稱其具有n階消失矩。用連續(xù)小波變換計(jì)算的Lipschitz指數(shù)可用于評(píng)價(jià)信號(hào)的奇異性，Lipschitz指數(shù)定義如下：

信號(hào)f(x)在v處為L(zhǎng)ipschitzα≥0當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K>0及m次多項(xiàng)式pv(x)(m為小于α的最大整數(shù))時(shí)，有

(4)

設(shè)n≥α，對(duì)式(4)第一式進(jìn)行連續(xù)小波變換，并由消失矩定義考慮W[pv(u,s)]=0，得

W[f(u,s)]=W[ξv(u,s)]

(5)

Jaffard[13]已證明，如果平方可積函數(shù)f(x)在v處為L(zhǎng)ipschitzα≤n, 則有

(6)

在x=v鄰域內(nèi)，上式變?yōu)?/p>

(7)

其幾何意義為：小波系數(shù)的極大值位于沿尺度方向影響錐內(nèi)。上式可化為對(duì)數(shù)形式，即

(8)

(9)

由Lipschitz指數(shù)定義不難看出，信號(hào)越不光滑奇異性越高，Lipschitz指數(shù)值越小。

圖1 裂縫梁示意圖Fig.1 Sketch of a cracked beam

由圖1，對(duì)梁裂縫a處變形及內(nèi)力(豎向位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力)平衡條件為

(10)

可見，裂縫梁位移模態(tài)在裂縫處存在一階導(dǎo)數(shù)但不連續(xù)。據(jù)分析，其Lipschitz指數(shù)范圍應(yīng)為

1<α<2

(11)

本文選滿足消失矩條件的墨西哥帽小波(Mexican Hat Wavelet)作為母小波函數(shù)，表達(dá)式為

(12)

2 基于小波變換與Lipschitz指數(shù)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別

2.1 單一位置損傷識(shí)別

圖1中梁長(zhǎng)L=1 200 mm,，彈性模量E=70 GPa，密度ρ=2 700 kg/m3，單元長(zhǎng)度0.5 mm，共2 400單元；梁高h(yuǎn)=20 mm，損傷位置梁高c=6 mm，c/h=0.3，損傷單元寬度w=0.5 mm，損傷位置距梁左端a=800 mm；采用梁?jiǎn)卧肁NSYS進(jìn)行有限元分析。裂縫處因截面高度h降低導(dǎo)致慣性矩I(矩形截面I=bh3/ 12)降低，故用抗彎剛度EI降低模擬裂縫損傷。以一階模態(tài)為研究對(duì)象，無(wú)、有損傷下梁的歸一化一階位移模態(tài)見圖2。由圖2可見，僅從位移模態(tài)幾乎看不出損傷位置有任何突變。

對(duì)損傷梁的位移模態(tài)進(jìn)行小波變換(尺度s為64)后，所得各尺度的小波系數(shù)灰度見圖3，其中顏色越亮數(shù)值越大。由圖3看出，在損傷(800 mm)處有一條錐形亮條紋，小波系數(shù)在各尺度的模極大值位于此條紋內(nèi)，由此式(7)獲得印證。

小波系數(shù)模極大值軌跡見圖4。由圖4看出，所有尺度的模極大值均指向800 mm損傷位置附近，對(duì)識(shí)別損傷位置非常有效。

小波系數(shù)模極大值與尺度的對(duì)數(shù)關(guān)系見圖5。由圖5可見，對(duì)數(shù)關(guān)系呈線性，從而式(8)獲得印證。用線性回歸方法計(jì)算擬合直線斜率并按式(9)求出Lipschitz指數(shù)為α=1.494 7，與式(11)吻合。

2.2 不同損傷程度識(shí)別

考察c/h=0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7七種不同損傷程度。對(duì)各工況的一階位移模態(tài)進(jìn)行小波分析，其中c/h=0.1、0.3、0.5、0.7四種工況的小波系數(shù)灰度見圖6。由圖6看出，隨c/h增大損傷程度變小，損傷處錐形條紋由明變暗，因次可用錐形條紋明暗比較裂縫的損傷程度。

圖6 小波系數(shù)灰度圖Fig. 6 The contour plot of

對(duì)c/h=0.7工況，800 mm處損傷較難反映，考察各尺度的小波系數(shù)模極大值軌跡見圖7。由圖7看出，在前十幾個(gè)尺度上均能識(shí)別出損傷位置，但高尺度損傷信息被遮掩。

為研究其原因，以第6尺度為例，對(duì)比c/h=0.3及c/h=0.7兩種工況下小波系數(shù)，見圖8。由圖8可見，兩種工況的800 mm處峰值突變均指示出損傷位置。c/h=0.3工況因損傷較大，損傷處峰值既為極大值，亦為小段長(zhǎng)距離內(nèi)最大值，故而識(shí)別效果較好；但c/h=0.7工況因損傷較小，損傷處峰值僅為極大值，而非小段長(zhǎng)距離內(nèi)最大值，故而在灰度圖上亮度較周邊不明顯。盡管如此，對(duì)小損傷的c/h=0.7，就前十幾個(gè)尺度的結(jié)果而言，曲線在損傷位置仍有明顯峰值，說(shuō)明該損傷識(shí)別方法有效。

計(jì)算各工況下Lipschitz指數(shù)見圖9。由圖9看出，隨c/h不斷增加Lipschitz指數(shù)不斷變大，符合Lipschitz指數(shù)檢測(cè)信號(hào)奇異性，因損傷越大信號(hào)越奇異，Lipschitz指數(shù)越小。

2.3 Timoshenko梁影響

算例梁高h(yuǎn)=20 mm，高跨比1/60，屬于Euler梁。而Timoshenko梁的高跨比相對(duì)較高。為比較兩種不同高跨比簡(jiǎn)支梁計(jì)算結(jié)果，將梁高增到h=240 mm, 即高跨比為1/5，寬度由20 mm增為100 mm。以c/h=0.3為例，損傷位置仍為800 mm，所得小波系數(shù)灰度見圖10。對(duì)比圖3的Euler梁計(jì)算結(jié)果看出，二者幾乎無(wú)差別，均識(shí)別出損傷裂縫位置。

分別計(jì)算Timoshenko梁在c/h=0.1～0.7幾種工況下Lipschitz指數(shù)，并與Euler梁計(jì)算結(jié)果比較，見圖11。由圖11看出，兩種梁損傷工況相同時(shí)Lipschitz指數(shù)基本相同，說(shuō)明梁高的深淺對(duì)損傷裂縫處Lipschitz指數(shù)幾乎無(wú)影響，故可用于評(píng)價(jià)裂縫深淺。

2.4 多損傷位置的識(shí)別

仍以Euler梁為例(下同)，設(shè)梁在250 mm、500 mm、800 mm處單元損傷分別為c/h=0.5、0.6、0.3。小波系數(shù)灰度見圖12。由圖12看出，在每個(gè)損傷位置均出現(xiàn)亮條紋，且800 mm處損傷程度更大，條紋更亮。說(shuō)明該方法對(duì)識(shí)別多位置損傷亦非常有效。

以第6尺度為例，其上小波系數(shù)見圖13?？梢妶D中每個(gè)損傷處的小波系數(shù)均出現(xiàn)極大值，且800 mm處峰值最大。

計(jì)算的小波系數(shù)模極大值軌跡見圖14。由圖14可見，對(duì)c/h=0.6 @500 mm及c/h=0.3 @800 mm處損傷, 小波系數(shù)模極大值識(shí)別出各損傷位置，而對(duì)c/h=0.5 @250 mm，雖尺度較大時(shí)識(shí)別結(jié)果發(fā)生偏移，但在前17個(gè)尺度上亦可正確識(shí)別出損傷位置。由于500 mm處損傷較250 mm處略小，故500 mm處損傷識(shí)別效果更好，因該處距跨中更近，對(duì)結(jié)構(gòu)特性影響更大。

小波系數(shù)模極大值與尺度對(duì)數(shù)關(guān)系見圖15。分別計(jì)算各損傷位置的Lipschitz指數(shù)為

(13)

比較三處損傷的Lipschitz指數(shù)看出，在多損傷工況中亦能反映出損傷程度越小Lipschitz指數(shù)越大的規(guī)律，損傷也被有效識(shí)別。

2.5 測(cè)點(diǎn)稀疏布置影響

實(shí)測(cè)中因條件限制只能布置少量測(cè)點(diǎn)。而測(cè)點(diǎn)稀疏可能會(huì)影響結(jié)果。因此進(jìn)行測(cè)點(diǎn)稀疏布置研究非常必要。

單損傷工況計(jì)算模型中，損傷區(qū)域?qū)挾葁=0.5 mm，測(cè)點(diǎn)間距d=w。在此基礎(chǔ)上加大測(cè)點(diǎn)間距，考察w/d=1/5及w/d==1/10兩種稀疏測(cè)點(diǎn)布置方式，在800 mm處單元損傷程度分別為c/h=0.1,0.2,…,0.7，取一階模態(tài)分析，小波變換尺度為64，所得不同測(cè)點(diǎn)間距的Lipschitz指數(shù)與損傷程度關(guān)系曲線見圖16。由圖16看出，隨測(cè)點(diǎn)間距增大Lipschitz指數(shù)不斷變大，因不充分的測(cè)點(diǎn)會(huì)漏失測(cè)點(diǎn)間某些奇異性損傷信息，使信號(hào)奇異性有所降低。

以c/h=0.3@800 mm為例，三種測(cè)點(diǎn)間距下小波系數(shù)灰度見圖17。由圖17看出，隨測(cè)點(diǎn)間距增加損傷處亮條紋逐漸模糊，且在較高尺度的損傷信息更易被掩蓋，但較低分解尺度上仍清晰可見。故該損傷識(shí)別方法對(duì)較稀疏測(cè)點(diǎn)布置仍有效。

算例中w/d分別為1, 1/5, 1/10，但損傷裂縫寬度較小(0.5 mm)，即使w/d=1/10, 也有241個(gè)測(cè)點(diǎn)?？疾炝硪幌∈铚y(cè)點(diǎn)損傷，將損傷寬度增大為30 mm，此時(shí)w/d=1, 僅測(cè)量41個(gè)測(cè)點(diǎn)。將算例梁分為40個(gè)單元、41個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)單元30 mm，損傷處位于第28單元(810～840 mm)，損傷程度為c/h=0.5。此時(shí)小波分解尺度為8，所得小波系數(shù)灰度見圖18，每個(gè)尺度上的小波系數(shù)極大值用黑點(diǎn)標(biāo)示。由圖18看出，因測(cè)點(diǎn)稀疏，在灰度圖中形成諸多方塊。前幾個(gè)尺度上的小波系數(shù)極大值均位于810～840 mm范圍內(nèi)，仍能識(shí)別出損傷位置。

計(jì)算出該工況下?lián)p傷處的Lipschitz指數(shù)為

α=1.47

(14)

2.6 噪聲影響

實(shí)測(cè)中需考慮測(cè)試噪聲影響。在前節(jié)稀疏測(cè)點(diǎn)模型基礎(chǔ)上，對(duì)一階模態(tài)添加信噪比SNR=25的Gauss白噪聲，見圖19。

噪聲存在時(shí)小波系數(shù)灰度圖、模極大值軌跡圖、模極大值與尺度對(duì)數(shù)關(guān)系分別見圖20～圖22，其中圖21、圖22為與無(wú)噪聲時(shí)的對(duì)比。計(jì)算出有噪聲時(shí)損傷處的Lipschitz指數(shù)為

αnoise=1.14

(15)

由圖20、圖21可見，即使存在噪聲，結(jié)構(gòu)損傷仍可被識(shí)別，有無(wú)噪聲對(duì)損傷位置識(shí)別影響不大，二者都均在前4個(gè)尺度上識(shí)別出810～840 mm處損傷，說(shuō)明該方法具有一定抗噪性。對(duì)比式(15)、(16)看出，添加噪聲的Lipschitz指數(shù)變小，此因噪聲本身有較大奇異性，能增大原信號(hào)的奇異性，從而使含噪信號(hào)Lipschitz指數(shù)降低；圖22中反映為含噪信號(hào)對(duì)應(yīng)曲線斜率較小。

3 結(jié) 論

用本文所提方法對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)位移模態(tài)進(jìn)行連續(xù)小波變換，用小波系數(shù)灰度圖及模極大值軌跡圖進(jìn)行損傷定位，并通過(guò)Lipschitz指數(shù)評(píng)價(jià)損傷程度?？疾霦uler及Timoshenko梁、不同程度損傷、多位置損傷、稀疏測(cè)點(diǎn)及噪聲等多種因素影響，結(jié)論如下：

(1) 基于小波變換與Lipschitz指數(shù)方法可有效識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷；小波系數(shù)灰度圖、模極大值軌跡圖可直觀反映損傷位置，損傷程度可通過(guò)Lipschitz指數(shù)評(píng)價(jià)；裂縫損傷處的Lipschitz指數(shù)范圍1～2。

(2) 其它條件相同時(shí)，Lipschitz指數(shù)越小損傷程度越大；梁高深淺對(duì)損傷處Lipschitz指數(shù)幾乎無(wú)影響；增大測(cè)點(diǎn)間距，仍能夠準(zhǔn)確識(shí)別損傷，且測(cè)點(diǎn)間距越大Lipschitz指數(shù)越大。

(3) 該方法具有一定抗噪性，且噪聲存在會(huì)使Lipschitz指數(shù)變小。

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Bridge damage identification based on wavelet transform and Lipschitz exponent

YU Zhu1,2, XIA He1, YIN Yong-gao2, SUN Dun-hua2

1. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044，China;2. Anhui Transportation Holding Group Co., Ltd, Hefei 230088, China)

The continuous wavelet transform and Lipschitz exponent perform well in detecting signal singularity. With the bridge damage modeled as a crack failure a damage identification method based on wavelet transform and Lipschitz exponent was proposed. With the wavelet transform applied to structural modal displacement, the damage can be located in the light of the contour plot and the locus of maximum modulus of wavelet coefficients. The range of Lipschitz exponent of cracked beams was derived theoretically. Some numerical examples show that the method can identify the damage effectively. Furthermore, some influential factors such as the effect of Euler or Timoshenko beam, different damage extent, multiple damage, sparse measuring points arrangement and test noise were studied.

wavelet transform; Lipschitz exponent; singularity; damage identification; displacement mode

國(guó)家自然科學(xué)基金(51178025)；國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究計(jì)劃973項(xiàng)目(2013CB036203)

2014-01-22 修改稿收到日期：2014-06-27

余竹 男，博士，1985年生

夏禾 男，教授，博士生導(dǎo)師，1951年生

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.012