閆維明， 石魯寧， 何浩祥， 陳彥江

北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實驗室，北京 100124)

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完全彈性支承變截面梁動力特性半解析解

閆維明， 石魯寧， 何浩祥， 陳彥江

北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實驗室，北京 100124)

基于Bernoulli-Euler梁理論對直接模態(tài)攝動方法進(jìn)行改進(jìn)，建立求解完全彈性支承變截面梁振動方程的半解析方法。改進(jìn)攝動法(IPM)在等效等截面完全彈性支承梁的模態(tài)空間內(nèi)將變截面簡支、連續(xù)梁的變系數(shù)微分方程組轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組，獲得完全彈性支承變截面梁動力特性的半解析解；推導(dǎo)彈性邊界條件下系數(shù)Δkki的具體計算公式。算例分析表明，改進(jìn)攝動法計算精度高、收斂速度快，可有效考慮彈性支承對結(jié)構(gòu)動力特性影響；據(jù)振型的對稱性給出完全彈性支承變截面對稱梁動力特性的簡便計算方法(SIPM)；研究支座出現(xiàn)損傷對變截面簡支梁橋自振頻率影響。

改進(jìn)攝動法；變截面梁；完全彈性支承；自振頻率；振型

變截面梁廣泛用于公路、城市橋梁中，其動力特性研究已成為熱點(diǎn)；但變截面梁的振動方程均為復(fù)雜的高階變系數(shù)微分方程，除個別結(jié)構(gòu)能獲得振動方程的解析解[1-2]外，大部分結(jié)構(gòu)均無法獲得精確解；而具有完全彈性支承的變截面梁的振動方程形式更復(fù)雜，常規(guī)方法無法獲得解析解。完全彈性支承變截面梁廣泛用于工程，如變截面簡支梁橋、連續(xù)梁橋、軸承及階梯梁等，因此需尋求適當(dāng)方法獲得完全彈性支承變截面梁振動方程的精確解。

Ece等[3]將變截面簡支梁振動方程轉(zhuǎn)化為空間坐標(biāo)系下普通微分方程從而獲得頻率方程。Tong等[4]研究Timoshenko階梯梁的動力特性并將變截面梁等效為多段等截面微梁段獲得振動方程的近似解。Abrate[5]將變截面梁運(yùn)動方程轉(zhuǎn)化為等截面梁的運(yùn)動方程獲得變截面梁自振頻率。錢波等[6]利用有限差分法研究變截面簡支梁橫向振動固有頻率的數(shù)值計算方法；徐騰飛等[7]采用Frobeniu方法求解變截面Bernoulli-Euler梁的振動方程獲得級數(shù)解。以上研究均未考慮彈性邊界條件影響。Mao等[8-9]通過Adomian分解法研究變截面彈性支承Bernoulli-Euler梁的自由振動問題，但限于特定截面變化形式；Hosking等[10]研究帶離散彈性支承等截面連續(xù)梁的振動問題，但不適用變截面梁。Lou等[11-13]給出的復(fù)雜梁動力特性近似分析方法-直接模態(tài)攝動法，考慮彈性支承均為跨內(nèi)附加彈性支承，跨與跨間支承仍為理想鉸支承，且計算均基于帶鉸支承的等截面梁模態(tài)攝動求解跨內(nèi)帶附加彈性支承與集中質(zhì)量變截面梁模態(tài)。因此直接模態(tài)攝動方法無法用于求解具有完全彈性支承變截面梁(梁橋及軸承等結(jié)構(gòu)形式)的振動方程。為此，本文針對該方法的不足進(jìn)行改進(jìn)，提出適用于求解完全彈性支承變截面梁動力特性的改進(jìn)攝動方法(IPM)，并通過算例驗證其有效性。據(jù)振型對稱性對改進(jìn)攝動方法進(jìn)一步改進(jìn)獲得用于求解完全彈性支承變截面對稱梁動力特性的簡化計算方法(SIPM)；利用完全彈性支承變截面梁動力特性半解析解研究支座損傷對變截面簡支梁動力特性影響。

1 完全彈性支承變截面梁振動方程

n跨完全彈性支承kb(b=1,2, …,n+1)變截面Bernoulli-Euler梁，見圖1(a)，其自由振動方程為

(1)

圖1 完全彈性支承變截面梁計算模型Fig.1 Computa tion model ofnon-uniform beam with complete elastic supports

用變量分離方法[14]求解式(1)，設(shè)解的形式為

(2)

將式(2)代入式(1)，整理得

(3)

式(3)為高階變系數(shù)微分方程，本文利用改進(jìn)攝動方法求解完全彈性支承變截面梁的振動問題，獲得求解式(3)精確高效的解析方法。

2 改進(jìn)攝動法

直接模態(tài)攝動法均以帶鉸支承等效梁的模態(tài)解析解攝動求解變截面梁的振動方程。該方法可考慮跨內(nèi)帶附加彈性支承影響，但無法考慮彈性支座影響，因此直接模態(tài)攝動方法不適用求解完全彈性支承變截面梁振動問題。本文提出以完全彈性支承等效梁模態(tài)解析解攝動求解式(3)方法，改進(jìn)的攝動方法(IPM)可有效求解完全彈性支承變截面梁振動問題。

2.1 改進(jìn)模態(tài)攝動法公式推導(dǎo)

取與完全彈性支承變截面梁相同跨徑布置及材料特性的彈性支承等效等截面Bernoulli-Euler梁(圖1(b))，等效梁截面參數(shù)計算式為

(4)

(5)

式中：I0為梁截面慣性矩；A0為梁截面面積；L為梁長。

變截面梁慣性矩I(x)與面積A(x)關(guān)系為

ΔI(x)=I(x)-I0

(6)

ΔA(x)=A(x)-A0

(7)

式中：ΔI(x)，ΔA(x)為x處變截面梁相對等效梁截面慣性矩及面積變化量。

完全彈性支承等效梁(圖1(b))自由振動方程為

(8)

直接模態(tài)攝動法帶鉸支承等效梁的振動方程為式(8)去掉第三項后的形式，顯然兩種方法存在明顯差異。設(shè)等效梁第i階振動主模態(tài)函數(shù)為φi(x)，則等效梁的特征方程可表示為

(9)

式中：λi為等效梁第i階特征值。

將式(3)的完全彈性支承變截面梁視為圖1(b)完全彈性支承等效等截面梁經(jīng)截面慣性矩I0及面積A0變化后所得新體系，其主模態(tài)函數(shù)及特征值設(shè)為

(10)

(11)

除φi(x)外等效梁其它保留主模態(tài)函數(shù)線性組合為

(12)

式中：qj為模態(tài)線性組合系數(shù)。

λiρA0Δφi(x)-λiρΔA(x)φi(x)-λiρΔA(x)Δφi(x)-

ΔλiρA0φi(x)-ΔλiρA0Δφi(x)-ΔλiρΔA(x)φi(x)-

ΔλiρΔA(x)Δφi(x)=0

(13)

將式(12)代入式(13)，兩邊同乘φk(x)(k=1,2, …,η)，沿梁長L積分，并利用完全彈性支承等效等截面Bernoulli-Euler梁模態(tài)正交性簡化為

Δkki-λiΔmki

(14)

式中：

(15)

(16)

(17)

式(15)、(16)可直接采用數(shù)值積分獲得，但式(17)需先簡化。為此，本文將推導(dǎo)式(17)的簡化公式。分別令式(14)中k=1,2, …,η，獲得η個關(guān)于未知數(shù)Δλi及qj的非線性代數(shù)方程，整理簡化為矩陣形式為

[A-B+λiC+λiDqi]q-p=0

(18)

式中：

式中：q為位置向量，其第i個元素qi=Δλi/λi。

由此將變系數(shù)微分方程式(1)轉(zhuǎn)化為非線性矩陣方程式(18)。

2.2 彈性邊界條件系數(shù)計算

直接利用式(17)較難獲得系數(shù)Δkki值，需將式(17)化簡間接獲得該值。已有文獻(xiàn)未給出具體計算方法，本文利用振型正交性及彈性邊界條件推導(dǎo)該系數(shù)計算公式。將式(6)代入式(17)整理得

(19)

將式(9)代入式(19)，據(jù)振型正交性簡化得

(20)

將式(20)第一項兩次分部積分得

(21)

上式第一項為第i階振型邊界剪力在第k階振型位移所做功，第二項為第i階振型邊界彎矩在第k階振型轉(zhuǎn)角上做的功。對圖1(b)彈性支承等效梁而言，式(21)第二項恒為零，整理得

(22)

利用彈性支承等效梁邊界條件化簡式(22)代入式(20)并整理得

k1φk(0)φi(0)+kn+1φk(L)φi(L)

(23)

由此知，利用式(23)可方便求得系數(shù)Δkki值。

2.3 非線性矩陣方程組求解

對非線性矩陣方程組式(18)的求解可用牛頓-拉夫遜法或遺傳算法、粒子群算法及模擬退火算法等并行智能算法；鑒于式(18)的Jacobian矩陣各項均為一次函數(shù)形式，較易獲得，因此本文采用牛頓-拉夫遜法[15]求解。牛頓-拉夫遜法對初值選取非常重要，給定合理初值不僅可減少迭代次數(shù)且可獲得更準(zhǔn)確結(jié)果。據(jù)式(18)物理意義及向量q內(nèi)各組合系數(shù)含義給定初值為

q=0

(24)

迭代終止條件為

(25)

式中：上角標(biāo)κ為求解第i階Δλi/λi系數(shù)時方程迭代次數(shù)；ξ為收斂誤差。

將所得未知向量q代入式(10)、(11)，可求得完全彈性支承變截面梁第i階自振頻率及振型。令式(10)、(11)中i=1,2,…,n，重復(fù)上述迭代過程可獲得完全彈性支承變截面梁前n階模態(tài)參數(shù)。

2.4 完全彈性支承等截面梁特征方程的解析解

為利用完全彈性支承等截面梁的模態(tài)攝動求解完全彈性支承變截面梁模態(tài)參數(shù)，需獲得該等截面梁特征方程的解析解。其第i跨模態(tài)函數(shù)表達(dá)式[16-17]為

(26)

式中：a4=mω2/EI，ω為圓頻率；ai，Bi，Ci，Di為實常數(shù)。

據(jù)各支彈性支承處變形協(xié)調(diào)關(guān)系得

支承1處

(27)

支承n+1處

(28)

中間支承2～n處

(29)

將式(26)代入式(29)整理得

(30)

式中：

Hi-1=

循環(huán)利用式(30)可得

(31)

將式(26)代入式(27)、(28)得

(32)

(33)

式中：

將式(32)、(33)代入式(31)可得n跨完全彈性支承梁的頻率方程為

det(ΦUnNn-1Un-1Nn-2…U2N1Ψ)=0

(34)

通過式(34)可獲得n跨完全彈性支承的自振頻率，將其代入式(31)反復(fù)利用式(30)可依次獲得實常數(shù)Ai，Bi，Ci，Di值，并代入式(26)可獲得n跨完全彈性支承梁的振型函數(shù)。

3 改進(jìn)攝動法(IPM)算例驗證

3.1 簡支梁

完全彈性支承變截面簡支梁見圖2，長L=10 m，寬0.5 m，壁厚0.1 m，梁高按線性變化；彈性支承剛度k1=k2=1×105kN/m，材料彈性模量約1.6×1010N/m2，密度約3 000 kg/m3；等效梁慣性矩I0=0.004 m4，面積A0= 0.12 m2，收斂誤差ξ=1×10-8。改進(jìn)攝動方法、文獻(xiàn)[9]方法及有限元法(單元長度0.1 m)計算所得前5階頻率見表1。改進(jìn)模態(tài)攝動方法(η=9)及其它方法所得前5階振型見圖3。

圖2 變截面簡支梁(單位m)Fig.2 Non-uniform simply supported beam

圖3 簡支梁振型圖Fig.3 Mode shapes of simply supported beam

表1 簡支梁自振頻率(單位：Hz)

Tab.1 Freq uencies of simply supported beam (Unit: Hz)

計算方法模態(tài)階次12345文獻(xiàn)[9]方法5．5931421．6513045．3752672．43695102．09113有限元方法5．5935521．6564345．3864872．47292102．18170本文方法(η=13)5．63687(3)21．83593(4)45．78902(4)73．12983(5)103．12689(5)本文方法(η=11)5．63859(3)21．84191(4)45．79165(4)73．19531(5)103．19657(5)本文方法(η=9)5．63929(3)21．84771(4)45．80685(4)73．21592(5)103．21625(5)本文方法(η=7)5．64105(3)21．85126(4)45．81213(4)73．30269(5)103．35562(5)有限元法(鉸)5．6599622．7339451．0707790．71991141．68780本文方法(η=13，鉸)5．66238(3)22．72979(4)51．05181(4)90．68339(4)141．71094(5)

注：括號內(nèi)數(shù)值為計算迭代次數(shù)；“鉸”表示邊界條件為理想鉸支承。

3.2 兩跨階梯梁

完全彈性支承兩跨階梯梁見圖4，跨徑L1=L2=5 m，梁高0.3 m，左跨梁寬0.5 m，右跨梁寬0.3 m，彈性支承剛度k1=k2=k3=2.0×107kN/m，材料彈性模量210 GPa，密度7 850 kg/m3，等效梁慣性矩I0=0.1 m4，面積A0= 0.000 85 m2，收斂誤差ξ=1×10-8。改進(jìn)攝動方法、文獻(xiàn)[8]方法及有限元法(單元長度0.1 m)計算所得前5階頻率見表2。改進(jìn)模態(tài)攝動方法(η=9)與其它方法所得階梯梁前5階振型見圖5。

圖4 兩跨階梯梁(單位m)Fig.4 Two-span stepped beam

圖5 兩跨階梯梁振型圖Fig.5 Mode shapes of two-span stepped beam

表2 兩跨階梯梁自振頻率(單位：Hz)

Tab.2 Freg uencies of two-span stepped beam (unit: Hz)

計算方法模態(tài)階次12345文獻(xiàn)[8]方法26．7521741．60236106．78979133．18575239．42214有限元方法26．7487941．61601106．73371133．33598239．09972本文方法(η=13)26．76925(3)41．89489(4)107．06126(3)135．25317(4)240．94012(4)本文方法(η=11)26．76980(3)41．89729(4)107．06880(3)135．26780(4)241．13879(4)本文方法(η=9)26．77208(3)41．95417(4)107．10473(4)135．35991(4)241．11264(4)本文方法(η=7)26．77258(3)41．99813(4)107．11060(4)135．77552(4)241．20464(4)

注：號內(nèi)數(shù)值為計算迭代次數(shù)。

由表1、表2看出，本文IPM法計算所得前5階自振頻率與文獻(xiàn)[8-9]及有限元結(jié)果均吻合較好，且IPM法所得各階自振頻率隨η取值增大而趨向更精確結(jié)果。η=7～13時IPM法計算結(jié)果略大于文獻(xiàn)[8-9]及有限元計算結(jié)果，但I(xiàn)PM計算結(jié)果(η=13)與文獻(xiàn)[8-9]理論計算結(jié)果及有限元數(shù)值計算結(jié)果誤差均在1.5%內(nèi)，工程上可接受。本文忽略高階模態(tài)參數(shù)對攝動結(jié)果影響，而誤差為取η值7～13所致截斷誤差，故略大于有限元數(shù)值結(jié)果；算例中有限單元長度均為0.1 m，網(wǎng)格劃分較細(xì)，計算結(jié)果更接近解析解；本文計算結(jié)果精度不及有限元。IPM法屬于Ritz法，計算結(jié)果高于結(jié)構(gòu)真實值，理論上η取值越大結(jié)果越接近真實值。由圖3、圖5看出，IPM法所得彈性支承變截面梁前5階振型與文獻(xiàn)及有限元結(jié)果較一致；對比不同方法各階振型彈性支承處位移及表1第9，10行數(shù)據(jù)可知，IPM法能有效考慮彈性支承對結(jié)構(gòu)動力特性影響，能獲得具有足夠精度、完全彈性支承變截面梁模態(tài)參數(shù)。

本文IPM法僅需知道完全彈性支承變截面梁材料、截面、跨徑及支座剛度信息即可獲得結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。而有限元方法不僅需上述信息且需幾何建模及網(wǎng)格劃分，計算精度與網(wǎng)格質(zhì)量、尺寸有關(guān)，計算效率與節(jié)點(diǎn)、單元數(shù)量有關(guān)，因此IPM法在計算速度、精度上具有有限元方法無法比擬的優(yōu)勢；有限方法進(jìn)行參數(shù)敏感性分析時需手動調(diào)節(jié)參數(shù)值，計算工作量大。而IPM法獲得完全彈性支承變截面梁的半解析解可方便快速進(jìn)行參數(shù)敏感性分析，其優(yōu)勢顯而易見。

4 改進(jìn)攝動法在對稱梁中簡化計算方法

4.1 簡化計算原則及公式

據(jù)跨徑、截面對稱布置的完全彈性支持變截面梁振型對稱性將式(18)進(jìn)行簡化。據(jù)動力學(xué)基本理論，完全彈性支承變截面對稱梁奇、偶數(shù)階振型對稱性相同，而奇數(shù)階振型對稱性總與偶數(shù)階振型對稱性相反。

據(jù)式(12)在攝動求變截面梁的偶數(shù)階振型時，等效梁的奇數(shù)階振型對稱性與偶數(shù)階振型對稱性相反將對式(18)求解起干擾影響，會增加迭代次數(shù)，影響收斂速度。因此，在攝動求解偶數(shù)階模態(tài)參數(shù)時可僅利用等效梁的偶數(shù)階振型忽略奇數(shù)階振型影響；因此，利用等效梁前η階(設(shè)η為偶數(shù))振型攝動求解時，式(18)可簡化為

[Ac-Bc+λiCc+λiDcqci]qc-pc=0

(34)

式中：i=2, 4, 6,…；

由此，將式(18)的η個非線性方程組求解簡化為式(34)的η/2個非線性矩陣方程式(28)的求解。攝動求解奇數(shù)階模態(tài)參數(shù)時可僅利用等效梁的奇數(shù)階振型。利用等效梁的前η階(設(shè)η為奇數(shù))振型攝動求解時，式(18)同樣可簡化為式(34)形式，但各參數(shù)需相應(yīng)變化，取i=1, 3, 5,…；將式(18)η個非線性方程組的求解簡化為式(34)的(η+1)/2個非線性矩陣方程式(33)求解。

4.2 簡化計算方法驗證

完全彈性支承變截面簡支梁橋見圖6，分別利用IPM法、SIPM法攝動求解模態(tài)參數(shù)見表3、表4 (限于篇幅僅給出前兩階頻率對比結(jié)果)。橋梁跨徑為20 m，混凝土標(biāo)號C50，梁底下緣及底板上緣均按二次拋物線變化，支座實際剛度為7.6×105kN/m，計算收斂誤差ξ=1×10-8。改進(jìn)攝動方法及簡化方法計算所得前5階振型見圖7 (η=9)。

圖6 簡支梁布置圖 (單位: m)Fig.6 Genera l l ayout of simply supported beam

圖7 簡支梁振型圖Fig.7 Mode shapes of simply supported beam

表3 一階頻率攝動結(jié)果

Tab.3 The perturb ation results of first order frequency

注：IPM為改進(jìn)攝動方法；SIPM為對稱變截面梁改進(jìn)攝動法的簡化計算法。

表4 二階頻率攝動結(jié)果

由表3、表4可知，用SIPM法求解變截面對稱簡支梁橋的第一、二階頻率與IPM法計算結(jié)果十分接近，計算迭代次數(shù)無明顯增加。取相同η值分別用IPM法、SIPM法攝動求解奇數(shù)階模態(tài)，IPM法所得q2,q4,… ,q2n值均接近于零，而所得q1,q3,… ,q2n+1值與SIPM法對應(yīng)的組合系數(shù)值較接近；攝動求解偶數(shù)階模態(tài)時亦有此規(guī)律，說明在攝動求解對稱梁奇數(shù)階模態(tài)時可忽略偶數(shù)階模態(tài)影響，僅用等效梁的奇數(shù)階模態(tài)求解；反之亦然。對完全彈性支承變截面對稱梁用SIPM法求解模態(tài)參數(shù)，計算精度與IPM法接近。SIPM法系數(shù)及未知數(shù)數(shù)量均較IPM法減少約50%，顯然SIPM法效率更高。

5 支座損傷對變截面簡支梁橋動力特性影響

長期荷載、環(huán)境因素作用下的橋梁支座會出現(xiàn)不同程度損傷，在偶然荷載下甚至?xí)霈F(xiàn)支座失效，均會導(dǎo)致支座剛度不同程度下降。本文以完全彈性支承變截面簡支梁為例，用IMP法分析支座剛度下降(0～30%)對結(jié)構(gòu)前六階自振頻率影響，見圖8、圖9。由兩圖看出，支座出現(xiàn)損傷后隨剛度下降各階自振頻率下降較明顯；隨支座損傷程度增大各階自振頻率變化率增加；支座出現(xiàn)損傷初期，對自振頻率影響較少。單個支座出現(xiàn)30%損傷時，結(jié)構(gòu)基頻下降約0.8%，第六階頻率變化最小，約0.5%；而第三階頻率變化最大，約下降6.2%。兩支座出現(xiàn)不同程度損傷時，各階自振頻率均隨其損傷程度增加而降低；兩支座均出現(xiàn)30%損傷時基頻下降約1.5%。第六階頻率變化最小，約1.0%；而第三階頻率變化最大，約下降11.7%。各階自振頻率對支座損傷敏感性各異，并呈現(xiàn)明顯的非線性關(guān)系。因此，通過尋找頻率對支座損傷較敏感階次用本文的半解析解可對支座剛度、損傷進(jìn)行識別研究。

圖8 簡支梁單個支座出現(xiàn)損傷Fig.8 Influence of freq uencies with bearing damage

圖9 簡支梁兩支座不同損傷Fig.9 Influence of frequencies with two bearings damage

6 結(jié) 論

(1) 基于Bernoulli-Euler梁理論，改進(jìn)直接模態(tài)攝動方法獲得完全彈性支承變截面梁動力特性的半解析解。推導(dǎo)出完全彈性邊界條件下系數(shù)Δkki的具體計算式。算例分析表明，改進(jìn)攝動法(IPM)可有效求解完全彈性支承變截面梁的動力特性，且計算精度高、收斂速度快。尤其在參數(shù)敏感性分析、計算效率方面具有有限元無法比擬的優(yōu)勢。

(2) 據(jù)振型對稱性，對改進(jìn)攝動法進(jìn)行簡化獲得適用求解完全彈性支承變截面對稱梁動力特性的簡化計算方法(SIMP)。該方法不僅能減少未知系數(shù)、未知數(shù)數(shù)量約50%，且迭代次數(shù)無顯著增加，計算精度與改進(jìn)攝動法十分接近，效率更高。

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Semi-analytical solution of dynamic characteristics of non-uniform beams with complete elastic supports

YAN Wei-ming, SHI Lu-ning, HE Hao-xiang, CHEN Yan-jiang

Beijing Laboratory of Earthquake Engineering and Structure Retrofit,Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

The mode perturbation method was modified and the improved perturbation method (IPM) was used to solve the vibration problem of non-uniform beam with complete elastic supports based on Bernoulli-Euler beam theory. In the modal subspace of an equivalent uniform beam with complete elastic supports, the variable coefficient differential vibration equation of the non-uniform simply supported continuous beam with complete elastic supports was converted to nonlinear algebraic equations. The semi-analytical solution of dynamic characteristics of non-uniform beam with complete elastic supports was obtained and the formula of coefficient Δkkiwas given. An example analysis indicates that the improved perturbation method not only has high precision and good convergency but also considers the elastic supports effect on dynamic characteristics. A simplified calculating method (SIPM) for symmetrical beam was proposed based on the symmetry of mode shapes. The bearing damage effects on dynamic characteristics of non-uniform simply supported beam bridge were discussed.

improved perturbation method; non-uniform beam; complete elastic support; natural frequency; mode shape

國家自然科學(xué)基金項目(51378039，51378037)

2014-05-22 修改稿收到日期：2014-06-24

閆維明 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1960年9月生

U441+.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.014