羅孝玲, 黃玲英, 陳曉紅

(中南大學(xué)商學(xué)院, 湖南 長沙 410083)

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利率期限結(jié)構(gòu)的三因子高斯動(dòng)態(tài)模型及應(yīng)用

羅孝玲, 黃玲英, 陳曉紅

(中南大學(xué)商學(xué)院, 湖南 長沙 410083)

國內(nèi)文獻(xiàn)主要集中于仿射模型在我國利率期限結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，對高斯動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型(Gaussian Dynamic Term Structure Model, 簡稱GDTSM)的研究幾乎是空白?；贘SZ規(guī)范化形式，本文首次構(gòu)建了三因子高斯動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型，并基于極大似然估計(jì)法給出了模型參數(shù)的估計(jì)過程。利用該模型對2008年1月4日至2012年4月28日上海銀行間同業(yè)拆放利率(Shanghai Inter Bank Offered Rate, 簡稱SHIBOR)的期限結(jié)構(gòu)展開實(shí)證研究，同時(shí)對模型估計(jì)誤差項(xiàng)進(jìn)行多層次分解，重點(diǎn)探討了利率期限結(jié)構(gòu)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征。研究結(jié)果顯示：(1)三因子GDTSM模型能夠很好地?cái)M合和預(yù)測SHIBOR市場利率；(2)水平因子和斜率因子是短期利率期限結(jié)構(gòu)的主要影響因素，曲度因子是長期利率期限結(jié)構(gòu)的主要影響因素。作為利率期限結(jié)構(gòu)實(shí)證研究的技術(shù)基礎(chǔ)，三因子高斯動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型為國債及其衍生品定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理提供一種新的技術(shù)支持。

利率期限結(jié)構(gòu)；三因子GDTSM模型；極大似然估計(jì)；SHIBOR市場

1 引言

利率期限結(jié)構(gòu)是指在相同的風(fēng)險(xiǎn)水平下，利率與到期期限之間的數(shù)量關(guān)系，或者說是理論上的零息票債券收益率曲線。一直以來，利率期限結(jié)構(gòu)都受到學(xué)術(shù)界的廣泛青睞，這因?yàn)槔什粌H是一個(gè)重要的經(jīng)濟(jì)變量，對貨幣政策、匯率等宏觀經(jīng)濟(jì)變量具有顯著的影響；而且利率衍生品市場是國際金融衍生品市場一個(gè)最主要的部分，利率變動(dòng)對利率衍生品的定價(jià)具有決定性作用，其他金融產(chǎn)品的定價(jià)同樣也會(huì)受到很大影響。針對利率動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型，學(xué)術(shù)界和業(yè)界已經(jīng)進(jìn)行了許多研究，并發(fā)展出了一系列模型。例如，仿射模型(Affine DTSM)、二次高斯模型、非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型或加入機(jī)制轉(zhuǎn)換的對應(yīng)模型等[1]。在眾多模型中，本文所關(guān)注的是目前在國內(nèi)尚未廣泛應(yīng)用的高斯動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型。

國外關(guān)于高斯動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型的研究主要有：Duffee[2], Ang和Piazzesi[3], Christensen等[4], Chernov和Mueller[5], Jardet等[6]針對GDTSM系列模型的預(yù)測效果進(jìn)行了針對性研究，結(jié)果顯示GDTSM模型能夠很好地描述利率期限結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)變化趨勢。同時(shí)，Duffie和Kan[7], Cochrane和Piazzesi[8]及Adrian和Moench[9]均建議利用收益率組合作為風(fēng)險(xiǎn)因子的代理變量?；诖耍琂oslin,等[10]利用收益率的投資組合作為可觀測的風(fēng)險(xiǎn)因子提出了一種關(guān)于高斯動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型的規(guī)范化形式(簡稱JSZ)，并針對是否存在測量誤差給出了極大似然估計(jì)和卡爾曼濾波估計(jì)。隨后，Joslin和Singleton[11]針對高斯宏觀期限結(jié)構(gòu)模型(Gaussian Macro-Finance Term Structure Model，簡稱GMTSM)和因子向量自回歸模型(Factor-VAR，簡稱FVAR)進(jìn)行的細(xì)致研究。研究表明，GMTSM模型近似等價(jià)于FVAR模型。Kim和Singleton[12]在對逼近零值的日本國債收益率進(jìn)行研究時(shí)，針對仿射模型、二次高斯模型和影子利率模型(Shadow-Rate Model)進(jìn)行了比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)基于極大似然估計(jì)的二次高斯模型能夠刻畫絕大部分收益率曲線的動(dòng)態(tài)特征。

然而，目前國內(nèi)關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)模型的文獻(xiàn)大多集中于仿射模型，如許多研究[1，13-18]采用利率仿射模型對我國利率市場和國債定價(jià)進(jìn)行了一系列實(shí)證研究，而將高斯動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型應(yīng)用于國內(nèi)利率研究的文獻(xiàn)尚未存在。

基于上述分析，結(jié)合JSZ規(guī)范化形式，本文首次構(gòu)建了三因子GDTSM模型，并采用極大似然估計(jì)對模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。進(jìn)一步，將其應(yīng)用于我國SHIBOR期限結(jié)構(gòu)的實(shí)證研究，同時(shí)重點(diǎn)分析了SHIBOR市場的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)特征。最后，將模型用于樣本外SHIBOR的預(yù)測，以驗(yàn)證模型的穩(wěn)健性。

2 三因子GDTSM模型的構(gòu)建及極大似然估計(jì)

2.1 三因子GDTSM模型的構(gòu)建

一般地，傳統(tǒng)的GDTSM模型中離散風(fēng)險(xiǎn)因子Xt∈N的動(dòng)態(tài)變化可以用下述方程進(jìn)行描述：

(1)

(2)

rt=ρ0X+ρ1X·Xt

(3)

在正式給出本文的GDTSM模型之前，以上簡單地列出了傳統(tǒng)GDTSM模型的基本思想?；贘SZ規(guī)范化形式，下面將重點(diǎn)給出與之對應(yīng)的三因子模型。

在無套利條件下，可觀測定價(jià)因素函數(shù)可以由所有金融債券(包括金融衍生品)來確定。重要的是，盡管定價(jià)因素可被觀測到，但是Pt的分布的基本參數(shù)空間仍舊可以由來反映。此外，狀態(tài)向量Pt的分布參數(shù)是

Duffie和Kan[7]指出模型中隱含的期限為m的零息債券收益率是Xt的放射函數(shù)：

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，初始狀態(tài)設(shè)定為A0=0和B0=0。

根據(jù)相關(guān)研究[7-10]，本文選擇采用投資組合收益率作為定價(jià)因子。對于任意一個(gè)滿秩組合矩陣W(N×J)，記Pt=Wyt為N維投資組合收益率。其中，Wi,j表示第i個(gè)投資組合中債券mj的權(quán)重；Pt利用主成分分析來確定。利用公式(4)可以得到：

(8)

(9)

(10)

(11)

rt=ρ0P+ρ1P·Pt

(12)

依據(jù)范龍振[13]和楊寶臣等[21]的研究， 本文設(shè)定N=3，用來衡量利率期限結(jié)構(gòu)的水平因子、斜率因子和曲度因子。其中，組合權(quán)重W由主成分分析確定?；谌蜃覩DTSM模型的參數(shù)估計(jì)值，可以得到各期限利率的估計(jì)值和估計(jì)誤差分別為：

(13)

(14)

2.2 極大似然估計(jì)

(15)

針對似然函數(shù)中這種參數(shù)分離進(jìn)行重點(diǎn)說明：(1)考慮誤差項(xiàng)的收益率的條件分布依賴于(λ但不依賴于；(2)相比之下，定價(jià)因子Pt的條件密度函數(shù)僅依賴于但不依賴于(λ因此，假定Pt服從條件高斯分布，則公式(10)右側(cè)的第二項(xiàng)轉(zhuǎn)化為：

(16)

(17)

此時(shí)，根據(jù)模型估計(jì)誤差項(xiàng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及公式(17)，可以利用極大似然估計(jì)對方程(15)右側(cè)第一個(gè)式子的參數(shù)利用極大似然估計(jì)得到。鑒于這一估計(jì)過程與傳統(tǒng)的極大似然估計(jì)過程無差異，在此不再敘述。

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)來源

本文采用上海銀行間同業(yè)拆放算術(shù)平均利率日數(shù)據(jù)，利用三因子高斯動(dòng)態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型對我國銀行間市場收益率曲線進(jìn)行估計(jì)分析。樣本期間為2008年1月4日至2012年4月28日，具體包括銀行間隔夜、1周、2周、1月、3月、6月、9月及1年期等8個(gè)利率品種。其中，樣本期間2008年1月4日-2011年4月29日用于模型估計(jì)與測試，樣本期間2011年5月1日至2012年4月28日用于樣本外模型的穩(wěn)健性檢驗(yàn)。以上數(shù)據(jù)來源于上海銀行間同業(yè)拆放利率官方網(wǎng)站(http://www.shibor.org/shibor/web/ShiborhisQuery.jsp)。

3.2 實(shí)證結(jié)果與分析

比如，教師在為學(xué)生講授《圓錐曲線與方程》的時(shí)候，要使用不同的教學(xué)方式來激發(fā)并拓展學(xué)生的思維方式與能力，提高學(xué)生進(jìn)行思索的能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).這節(jié)課程的內(nèi)容比較難，解題思路卻是大同小異，也就是說用參數(shù)來表達(dá)核心點(diǎn)坐標(biāo)，用直線與圓錐曲線方程來展示出解題過程.基于這樣的思路，教師可創(chuàng)設(shè)變式練習(xí)，轉(zhuǎn)變提問的方式與角度，使學(xué)生在遇到其他題型的時(shí)候能更為沉著和冷靜.用這樣的聯(lián)系方式拓展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

首先，根據(jù)原始數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，利用MTALAB R2010a對SHIBOR市場的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行主成分分析。結(jié)果顯示，各期限利率的變動(dòng)趨勢可以由前3個(gè)主成分解釋，同時(shí)解釋程度高達(dá)92.77%。該結(jié)果反映可以利用三個(gè)變量對SHIBOR利率進(jìn)行描述，即三因子GDTSM模型是合理的。鑒于此，表1中僅列出了前3個(gè)主成分關(guān)于各期限利率的系數(shù)。

表1 前3個(gè)主成分系數(shù)

由表1可以看出，第一主成分關(guān)于各期限利率的系數(shù)均為正且大小基本相等，因此第一主成分可理解為期限結(jié)構(gòu)的總體變動(dòng)趨勢，即水平因子；第二主成分關(guān)于較短期限利率的系數(shù)為正，而關(guān)于較長期限利率的系數(shù)均為負(fù)，且絕對值大致相等，因此第二主成分可理解為較短利率與較長利率之間的利差

表2 三因子GDTSM模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

注：llk,llk,llkS分別為分布、分布及誤差項(xiàng)的似然函數(shù)均值。

因素，即期限結(jié)構(gòu)的斜率因子；而第三主成分關(guān)于各期拆解利率的系數(shù)呈現(xiàn)一個(gè)非對稱倒“U”型，顯示該因素對短期和長期利率是同向(為負(fù))的，但短期利率的系數(shù)絕對值大于長期利率，而對中期利率是正向的，這個(gè)主成分解釋了利率曲線的曲率變化，可認(rèn)為是曲度變化因素，即曲度因子。值得指出的是，楊寶臣、蘇云鵬[21]利用HJM模型對SHIBOR利率進(jìn)行實(shí)證研究時(shí)指出，第三主成分關(guān)于各拆解利率的系數(shù)呈現(xiàn)“U”形，與本文的結(jié)論不同。原因可能在于，本文選取的樣本期內(nèi)，SHIBOR利率受到了2008年金融危機(jī)的影響。此外，由各因子解釋利率期限結(jié)構(gòu)的能力可知，一個(gè)狀態(tài)變量的最大解釋能力為72%，兩個(gè)狀態(tài)變量增加至89%，三個(gè)因子的解釋能力達(dá)到92%以上。結(jié)合各因子的實(shí)際意義及解釋能力，可知利用三因子對利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行刻畫是合理的。

基于本文選取的SHIBOR利率數(shù)據(jù)，利用極大似然估計(jì)法對三因子GDTSM模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，主要參數(shù)結(jié)果見表2。

根據(jù)似然函數(shù)值可以看出，模型參數(shù)估計(jì)值在統(tǒng)計(jì)意義上具有顯著性，因此利用三因子GDTSM模型對我國利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究是合理可行的。進(jìn)一步，基于上述模型參數(shù)估計(jì)值，根據(jù)公式(13)即可求出三因子GDTSM模型下各期限SHIBOR利率的估計(jì)值。實(shí)際SHIBOR利率的期限結(jié)構(gòu)和估計(jì)得到的期限結(jié)構(gòu)分別如圖1、2所示。

圖1 實(shí)際利率期限結(jié)構(gòu)

圖2 三因子GDTSM模型估計(jì)的利率期限結(jié)構(gòu)

為了刻畫水平因子、斜率因子和曲度因子對利率期限結(jié)構(gòu)的影響，本文還針對單因子和兩因子GDTSM模型進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，并得到相應(yīng)的SHIBOR利率估計(jì)值(限于篇幅有限，在此并未列出估計(jì)結(jié)果，如有需要，可以向作者索取)。對比實(shí)際利率期限結(jié)構(gòu)和單因子、兩因子及三因子GDTSM模型估計(jì)的利率期限結(jié)構(gòu)，不難看出，相較于單因子和雙因子模型，三因子模型更能體現(xiàn)我國SHIBOR利率的動(dòng)態(tài)變動(dòng)趨勢。進(jìn)一步，驗(yàn)證了本文選用三因子GDTSM模型對我國利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究的合理性和實(shí)用性。

為了從數(shù)值層面了解三因子GDTSM模型的估計(jì)效果，對各個(gè)利率種類的估計(jì)誤差進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果見表3和圖3。

表3 各期限SHIBOR利率估計(jì)誤差描述性統(tǒng)計(jì)

由表3可知，各期限SHIBOR利率的估計(jì)誤差和標(biāo)準(zhǔn)差均很小，這表明本文所設(shè)定的三因子GDTSM模型可以很好的刻畫SHIBOR利率期限結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)變化。從相對誤差均值來看，對于短期利率的估計(jì)誤差較大，中長期利率誤差很小。原因在于，在樣本期內(nèi)，有段時(shí)間短期利率很高，但是在長期中表現(xiàn)出了均值回復(fù)的特征，這很好的捕捉了實(shí)際利率的動(dòng)態(tài)特征。究其原因，股票市場重大融資行為形成的資金需求壓力對SHIBOR利率市場，尤其是短期利率造成了顯著影響。

圖3 三因子GDTSM模型擬合誤差

圖4 水平因子對應(yīng)的估計(jì)誤差

圖5 斜率因子對應(yīng)的估計(jì)誤差

圖6 曲度因子對應(yīng)的估計(jì)誤差

進(jìn)一步，為了考察水平因子、斜率因子和曲度因子對SHIBOR利率市場的影響差異，設(shè)定如下模型：

Δy1=y1-y0;Δy2=y2-y0;Δy3=y3-y0

(17)

其中，y1,y2,y3和Δy1,Δy2,Δy3分別為單因子、兩因子和三因子GDTSM模型估計(jì)的各期限利率構(gòu)成的向量和估計(jì)誤差；y0為真實(shí)的SHIBOR利率。

基于方差分解思想對三因子GDTSM模型的誤差項(xiàng)Δy3進(jìn)行分解，則：

Δy3=Δy1+(Δy2-Δy1)+(Δy3-Δy2)

(18)

其中，第一項(xiàng)Δy1可以看作水平因子對利率期限結(jié)構(gòu)的影響；第二項(xiàng)Δy2-Δy1可以看作斜率因子對利率期限結(jié)構(gòu)的影響；第三項(xiàng)Δy3-Δy2可以看作曲度因子對利率期限結(jié)構(gòu)的影響。圖4、5、6展示了三因子對于SHIBOR利率期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)誤差分布圖。

圖4表明，水平因子對短期利率的影響持續(xù)存在且較大，對長期利率的影響則在一定期間表現(xiàn)顯著，而對中期利率的影響較小。圖5和圖6表明，斜率因子和曲度因子對短期利率的影響同樣持續(xù)存在且較大，且前者對中長期利率的影響很小，后者對中長期利率的影響較大。綜上，水平因子和斜率因子是短期利率期限結(jié)構(gòu)的主要影響因素，曲度因子則是中長期利率期限結(jié)構(gòu)的主要影響因素。

此外，利用模型估計(jì)參數(shù)和公式(13)對樣本外2011年5月1日-2012年4月28日SHIBOR利率進(jìn)行預(yù)測，并對模型估計(jì)誤差進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如表4所示。

表4 樣本外各期限SHIBOR利率估計(jì)誤差描述性統(tǒng)計(jì)

由表4可知，基于三階段GDTSM模型對樣本外SHIBOR利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，相對誤差大都低于0.05%，遠(yuǎn)低于仿射利率期限結(jié)構(gòu)模型的10%[1]，模型預(yù)測精度達(dá)到很高的水平，驗(yàn)證了模型的穩(wěn)健性。

4 結(jié)語

將所有市場利率的主成分作為定價(jià)因子，本文構(gòu)建了能夠刻畫利率水平因子、斜率因子和曲度因子的三因子GDTSM模型，充分利用所有期限市場利率信息和極大似然估計(jì)得到模型的參數(shù)，并基于方差分解模型探討了SHIBOR利率期限結(jié)構(gòu)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征。最后，將模型外推到樣本外進(jìn)行預(yù)測以驗(yàn)證模型的實(shí)用性。研究結(jié)果表明：三因子GDTSM模型能夠很好的對利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合，水平因子和斜率因子是短期利率期限結(jié)構(gòu)的主要影響因素，曲度因子則是中長期利率期限結(jié)構(gòu)的主要影響因素。樣本外利率的相對預(yù)測誤差僅約為0.5%，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的穩(wěn)健性和高精度，可以考慮將其應(yīng)用于國債定價(jià)及其衍生品定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理。

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Three-factor Gaussian Dynamic Model for Term Structure of Interest Rate: An Application to the SHIBOR Market

LUO Xiao-ling, HUANG Ling-ying, CHEN Xiao-hong

(School of Business, Central South University, Changsha 410083, China)

Domestic literature mainly focus on the application of affine model to term structure of interest rate, and few attentions are paid to Gaussian Dynamic Term Structure Model (GDTSM). Based on the JSZ normalization, a new three-factor GDTSM is proposed, and maximum likelihood estimator is used to estimate the parameters. Using the three-factor GDTSM, the term structure of Shanghai Inter Bank Offered Rate (SHIBOR) market from January 4, 2008 to April 28, 2012 is analyzed, and then its internal structure features is discussed by decomposing the corresponding error terms. The results show that: (1) the three-factor GDTSM fit and forecast the SHIBOR market very well; (2) the level and slope factors affect the short-term interest rates, and the curvature factor explains the long-term interest rate. As the basic technology for empirical researches on rate term structure, the three-factor GDTSM could be applied in national debt and derivatives pricing and risk management.

term structure of interest rate; three-factor GDTSM; maximum likelihood estimator; SHIBOR market

1003-207(2015)05-0007-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.05.002

2014-01-03；

2014-07-23

國家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(71203241); 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71371190)

羅孝玲(1963-), 女(漢族), 湖南衡陽人, 中南大學(xué)商學(xué)院教授,博士, 博士生導(dǎo)師, 研究方向: 金融工程、房地產(chǎn)金融與市場.

F830.9

A