楊愛(ài)萍,田玉針,何宇清,董翠翠
(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院,天津300072)
基于改進(jìn)K-SVD和非局部正則化的圖像去噪
楊愛(ài)萍,田玉針,何宇清,董翠翠
(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院,天津300072)
K-奇異值分解(K-SVD)算法在強(qiáng)噪聲下的去噪性能較差。為此,提出一種新的圖像去噪算法。使用相關(guān)系數(shù)匹配準(zhǔn)則和噪聲原子裁剪方法改進(jìn)傳統(tǒng)K-SVD算法,提高原算法的去噪性能,將非局部正則項(xiàng)融入圖像去噪模型,并采用非局部自相似性進(jìn)一步改善圖像的去噪效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與傳統(tǒng)K-SVD算法相比,該算法在提高同質(zhì)區(qū)域平滑性的同時(shí),能保留更多的紋理、邊緣等細(xì)節(jié)特征。
圖像去噪;稀疏表示;奇異值分解;正交匹配追蹤算法;字典優(yōu)化;非局部自相似性
基于稀疏表示的圖像去噪成為近年來(lái)該領(lǐng)域的前沿研究課題。其主要利用過(guò)完備字典[1-3]的冗余性對(duì)圖像進(jìn)行稀疏表示,能夠有效地捕捉圖像的結(jié)構(gòu)特征,在去除噪聲的同時(shí)更好地保持圖像信息。其中,文獻(xiàn)[4]提出K-奇異值分解(K-Singular Value Decomposition,K-SVD)原子庫(kù)訓(xùn)練和稀疏表示方法,在去除輕度圖像噪聲方面表現(xiàn)出較好的去噪性能。但在噪聲污染較嚴(yán)重的情況下,其圖像恢復(fù)效果并不理想,當(dāng)用帶噪圖像本身作為訓(xùn)練樣本時(shí),面臨信號(hào)特征提取和噪聲抑制之間的矛盾,得到的字典中往往含有大量噪聲原子。
另一方面,基于字典學(xué)習(xí)的K-SVD去噪算法,只是利用待處理圖像塊內(nèi)部的信息進(jìn)行獨(dú)立稀疏編碼,沒(méi)有充分考慮與其他樣本圖像的相關(guān)信息,如塊與塊之間的重疊性、相似性等,對(duì)先驗(yàn)信息的表達(dá)能力不足。另一方面在過(guò)完備字典上的稀疏分解是潛在不穩(wěn)定問(wèn)題,容易產(chǎn)生視覺(jué)偽像。
針對(duì)上述問(wèn)題,在研究基于K-SVD字典學(xué)習(xí)的圖像去噪算法基礎(chǔ)上,本文將相關(guān)系數(shù)匹配準(zhǔn)則[5]和字典裁剪方法相結(jié)合,考慮到圖像一般存在大量的重復(fù)模塊,位于不用位置的圖像塊往往表現(xiàn)出很強(qiáng)的非局部自相似性[6-7]。為了充分利用圖像的非局部自相似性信息,提出將非局部自相似性作為一個(gè)約束正則項(xiàng)融入到圖像去噪模型,得到基于改進(jìn)K-SVD字典學(xué)習(xí)和非局部正則化的圖像去噪算法。
設(shè)數(shù)字圖像用矩陣Y∈?N表示,大小為N×N,字典矩陣D由L個(gè)N維向量的dij組成,dij稱為字典原子。當(dāng)D給定時(shí),圖像Y可表示為字典原子的線性組合:
其中,αij為 Y在字典 D上的稀疏表示系數(shù);矩陣R(M)是經(jīng)過(guò) M項(xiàng)逼近后的殘差項(xiàng)。本文采用 KSVD方法進(jìn)行字典訓(xùn)練得到的字典D,并將其用于圖像去噪。用矩陣X表示原始圖像,則圖像的去噪模型為:
去噪過(guò)程為:初始化字典D和圖像X,利用正交匹配追蹤(Orthonormal Matching Pursuit,OMP)[8-9]算法求得稀疏表示系數(shù)αij;其次,根據(jù)得到的稀疏系數(shù)αij,利用K-SVD算法更新字典D;最后,當(dāng)D和系數(shù)αij均達(dá)到要求時(shí),根據(jù)下式求得去噪圖像:
其中,I為單位矩陣;X^表示去噪后的圖像矩陣。
K-SVD算法得到的是全局過(guò)完備字典。但是在強(qiáng)噪聲的情況下,字典中含有大量與噪聲匹配的噪聲原子,導(dǎo)致在字典學(xué)習(xí)訓(xùn)練過(guò)程中,無(wú)法達(dá)到有效去除噪聲的目的。本文對(duì)基于K-SVD的字典學(xué)習(xí)方法進(jìn)行改進(jìn)。一方面,在稀疏編碼環(huán)節(jié),引入相關(guān)系數(shù)匹配準(zhǔn)則,提取更多有意義的結(jié)構(gòu)訓(xùn)練得到更優(yōu)的字典,實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像信號(hào)更準(zhǔn)確的逼近;另一方面,基于噪聲原子剪裁對(duì)訓(xùn)練字典進(jìn)一步優(yōu)化。將上述2種方法相結(jié)合得到改進(jìn)K-SVD算法,形成一種有效的字典訓(xùn)練方法。
3.1 基于相關(guān)系數(shù)匹配準(zhǔn)則的稀疏編碼
稀疏編碼在字典學(xué)習(xí)中計(jì)算信號(hào)在給定字典下的稀疏表示系數(shù)。為了得到自適應(yīng)性強(qiáng)的字典,通常選擇含噪圖像本身作為訓(xùn)練樣本,由此就會(huì)導(dǎo)致信號(hào)提取和噪聲抑制相矛盾的問(wèn)題。
目前,字典學(xué)習(xí)方法的迭代停止準(zhǔn)則多采用基于殘差信號(hào)能量的迭代停止標(biāo)準(zhǔn)[10-11]。但是,當(dāng)噪聲強(qiáng)度和信號(hào)維數(shù) n變大時(shí),該準(zhǔn)則將過(guò)早終止OMP迭代,導(dǎo)致遺漏了有用信號(hào)。文獻(xiàn)[5]研究了相關(guān)函數(shù)局部最大值與信號(hào)特征之間關(guān)系,在此基礎(chǔ)上提出了一種新的基于相關(guān)系數(shù)匹配的停止準(zhǔn)則。定義匹配因子為第j次迭代時(shí)殘差信號(hào)矩陣Rj-1f和字典原子gγ之間的相關(guān)系數(shù):
匹配因子的最大值會(huì)隨著信號(hào)的不斷提取而降低,當(dāng)信號(hào)的有用信息已被全部提取完畢,即殘差信號(hào)中基本上沒(méi)有有用信息時(shí),匹配因子的最大值也就降到了理想值,此時(shí),停止OMP迭代。假設(shè)Tm為設(shè)定的閾值,則停止準(zhǔn)則如下:
3.2 基于噪聲原子剪裁的字典優(yōu)化
當(dāng)訓(xùn)練樣本采用含噪圖像塊時(shí),基于K-SVD方法訓(xùn)練得到的字典中含有與噪聲匹配的噪聲原子,噪聲原子的存在將嚴(yán)重影響圖像的去噪質(zhì)量。因此,需要盡可能地從字典中刪除這些噪聲原子對(duì)字典進(jìn)行優(yōu)化,其核心問(wèn)題是如何對(duì)噪聲原子進(jìn)行檢測(cè)。文獻(xiàn)[12]提出利用假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)檢測(cè)噪聲原子,其利用信號(hào)原子至少在一個(gè)方向上相關(guān)性很強(qiáng),而純?cè)肼曉釉诟鱾€(gè)方向上的相關(guān)性都幾乎沒(méi)有。存在相關(guān)性的方向上特征向量的方差會(huì)很小,即各個(gè)方向的特征向量的方差會(huì)有所差別。
本文采用Bartlett檢驗(yàn)法[12],設(shè)vi是特征向量的方差。用Bartlett檢驗(yàn)測(cè)試原子在4個(gè)方向上的特征向量的方差vi是否相等或者至少有2個(gè)原子的方差不等,定義Bartlett檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:
對(duì)原子庫(kù)中的原子進(jìn)行判斷,若某原子滿足Q<χ2(α;3),則認(rèn)為該原子只含有噪聲成分,并從原子庫(kù)中刪除,其中,χ2(α;3)表示自由度為3的chi-平方分布的上α百分點(diǎn)位置。與傳統(tǒng)的字典優(yōu)化方法不同[13],上述方法只是從字典中刪除噪聲原子,不會(huì)影響字典的信息原子,提高了去噪后的圖像質(zhì)量。
3.3 改進(jìn)的K-SVD字典訓(xùn)練方法
將基于相關(guān)系數(shù)匹配準(zhǔn)則的稀疏編碼方法以及噪聲原子剪裁方法相結(jié)合,用于K-SVD字典訓(xùn),得到一種改進(jìn)的K-SVD字典訓(xùn)練方法。
字典的學(xué)習(xí)是通過(guò)稀疏編碼和字典更新2個(gè)步驟交替進(jìn)行來(lái)完成。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程分為2個(gè)階段:階段1得到一個(gè)初始字典;階段2對(duì)字典進(jìn)行優(yōu)化。在階段1,運(yùn)用傳統(tǒng)的K-SVD的方法進(jìn)行字典訓(xùn)練,用OMP算法進(jìn)行稀疏編碼,以殘差能量值小于n(Cσ2)作為終止條件。階段2運(yùn)用相關(guān)系數(shù)匹配準(zhǔn)則進(jìn)行稀疏編碼,并對(duì)階段1的字典進(jìn)行優(yōu)化。算法步驟如下:
(1)得到一個(gè)初始字典
設(shè)定初值:如果σ<5,則令maxiter=5;否則,令maxiter=10。
當(dāng)j<maxiter時(shí),循環(huán)執(zhí)行以下步驟:
2)字典更新:對(duì)每個(gè)原子進(jìn)行SVD分解。
(2)對(duì)字典進(jìn)行優(yōu)化設(shè)定初值:令maxiter=6, Tm=0.06,α=0.01。
當(dāng)j<maxiter時(shí),循環(huán)執(zhí)行以下步驟:
2)字典更新:對(duì)每個(gè)原子進(jìn)行SVD分解。
3)字典優(yōu)化:進(jìn)行噪聲檢測(cè)并刪除噪聲原子。
如前所述,K-SVD字典學(xué)習(xí)去噪方法,只是利用圖像塊內(nèi)部信息進(jìn)行獨(dú)立稀疏編碼,并沒(méi)有充分考慮其他樣本圖像的相關(guān)信息,對(duì)先驗(yàn)信息的表達(dá)能力不足;同時(shí),過(guò)完備字典下的稀疏分解是潛在不穩(wěn)定問(wèn)題。因此,有必要在去噪模型中引入正則化項(xiàng)??紤]到圖像一般存在大量的重復(fù)模塊,不同位置的圖像塊往往表現(xiàn)出很強(qiáng)的自相似性。為了充分利用圖像的非局部自相似性信息,本文提出將其作為一個(gè)正則化先驗(yàn)約束項(xiàng)融入到圖像去噪模型。
文獻(xiàn)[14-15]提出非局部均值濾波(Nonlocal Means Filtering,NLF)去噪方法。設(shè)矩陣Y為含噪圖像,給定像素 i,其 NLF濾波強(qiáng)度值定義為NLF(i),它由像素點(diǎn)周圍搜索窗內(nèi)像素點(diǎn)的權(quán)重構(gòu)成。像素i相對(duì)于像素j的權(quán)重記為w(i,j),權(quán)重值由這些像素之間的相似性決定,相似性的計(jì)算是通過(guò)以這些像素為中心的塊之間的高斯l2距離。例如,設(shè)i和j分別為大小為b×b的圖像塊矩陣Ni,Nj的中心像素,并假設(shè)j位于像素i的大小為L(zhǎng)×L的搜索窗內(nèi)。w(i,j)的計(jì)算公式為:
其中,S(i)表示歸一化系數(shù);h=0.5σ2是高斯核的控制因子;σ高斯核的標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)圖像矩陣Y的各個(gè)像素計(jì)算器權(quán)重w(i,j),得到權(quán)重矩陣W,根據(jù)上述定義建立一個(gè)非局部正則化項(xiàng)(Nonlocal Regularization,NR)[7,16]:
本文提出基于改進(jìn)的K-SVD字典學(xué)習(xí),將圖像的非局部自相似性作為圖像先驗(yàn)信息融入到基于稀疏表示的圖像去噪模型中,即將式(8)添加到式(2)中,得到新的去噪模型:
為解決第一個(gè)子問(wèn)題,先初始化原始圖像的估計(jì),即令X=Y。采用塊協(xié)調(diào)最小化方法求解這個(gè)子問(wèn)題,可分為2個(gè)步驟:(1)初始化字典D∈?n×K(K>n)為超完備的DCT字典,根據(jù)已知的X和D,采用基于相關(guān)系數(shù)匹配準(zhǔn)則的OMP算法進(jìn)行稀疏編碼得到稀疏表示系數(shù)αij;(2)在已知X,D和αij的情況下,采用改進(jìn)K-SVD的字典學(xué)習(xí)算法更新過(guò)完備稀疏表示字典和稀疏表示系數(shù)ij,此步驟迭代J次。
為解決第2個(gè)子問(wèn)題,先利用式(7)的方法計(jì)算自相似性權(quán)重矩陣W。然后將更新后的過(guò)完備稀疏表示字典矩陣、稀疏表示系數(shù)ij以及權(quán)重矩陣W代入下式,得到原始圖像的估計(jì)矩陣X^:
為了驗(yàn)證本文算法的有效性,本節(jié)將其與同類方法K-SVD[11]、改進(jìn)K-SVD(K-SVD_N)、NLM[6]進(jìn)行比較。測(cè)試圖像為512×512像素的灰度圖像Lena、Barbara、Boat和256×256像素的灰度圖像Cameraman、Peppers。添加均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯白噪聲。字典矩陣D的原子數(shù)目K=256,訓(xùn)練圖像塊大小取值范圍是6~16,這里取6×6, K-SVD算法迭代次數(shù)J取10。Langrage乘子和殘差因子的取值均與高斯噪聲方差有關(guān),根據(jù)文獻(xiàn)[1],分別設(shè)為λ=30/σ,Tm=(1.15σ)2。根據(jù)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn),令非局部正則項(xiàng)參數(shù)b=7,L=21。
圖1給出了4種算法對(duì)Boat圖像去噪后的峰值信噪比(Peak Signal to Noise,PSNR)曲線。表1給出了4種算法在不同噪聲強(qiáng)度下的去噪結(jié)果,其中,加粗的數(shù)據(jù)為在相同情況下,PSNR值最高的數(shù)據(jù)。由表1和圖1可知,本文算法明顯優(yōu)于其他3種算法。同一噪聲強(qiáng)度下,本文提出的K-SVD-N-NL算法比改進(jìn)的K-SVD算法(New K-SVD,K-SVD-N)、非局部均值算法(Non-local Mean,NLM)去噪后PSNR值大。隨著噪聲強(qiáng)度σ的增大,本文算法優(yōu)勢(shì)更加突出,當(dāng)噪聲強(qiáng)度很高時(shí),優(yōu)勢(shì)可達(dá)3 dB~4 dB。
圖1 去噪圖像PSNR曲線
表1 去噪圖像的PSNR值比較dB
圖2為σ=30時(shí),4種算法對(duì)Lena圖像去噪后的效果圖,圖3為局部放大效果。在噪聲強(qiáng)度一定時(shí),K-SVD-N算法雖然保持了紋理邊緣結(jié)構(gòu),但是容易在平滑區(qū)造成褶皺現(xiàn)象;NLM算法去除了大部分噪聲,但造成圖像的過(guò)平滑,紋理結(jié)構(gòu)不清晰,如頭發(fā)紋理變得不清晰;本文算法不但去除了平滑區(qū)的噪聲,減輕了平滑區(qū)的褶皺現(xiàn)象,并較好地保持了邊緣紋理等細(xì)節(jié)信息。
圖2 σ=30時(shí)4種算法的去噪效果
圖3 去噪圖像局部放大結(jié)果
需要說(shuō)明的是,本文算法是在改進(jìn)K-SVD算法的基礎(chǔ)上添加了非局部自相似約束,即式(9)中最后一項(xiàng),因此,本文算法的復(fù)雜度略有增加。
為了對(duì)噪聲強(qiáng)度較大的圖像進(jìn)行去噪,本文提出一種基于稀疏表示和非局部正則項(xiàng)的去噪算法。該算法不僅考慮了圖像特征提取和噪聲原子抑制,在字典訓(xùn)練中引入基于相關(guān)系數(shù)匹配的稀疏編碼和基于原子庫(kù)裁剪的字典優(yōu)化,同時(shí)還考慮了圖像的非局部自相似性,在去噪模型中引入非局部正則化項(xiàng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與同類去噪算法相比,該算法不但去除了平滑區(qū)的噪聲,減輕了平滑區(qū)的褶皺現(xiàn)象,而且能較好地保持邊緣紋理等細(xì)節(jié)信息。今后將研究如何在保證去噪效果的同時(shí),加快算法的運(yùn)行速度。
[1]Elad M.Sparse and Redundant Representations:From Theory to Applications in Signal and Image Processing[M].Berlin,Germany:Springer,2010.
[2]Candes E J,Donoho D L.Recovering Edges in Ill-posed Inverse Problems:Optimality of Curvelet Frames[J]. Annals of Statistics,2002,30(3):784-842.
[3]孫林慧,楊 震.基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)字典和稀疏表示的語(yǔ)音增強(qiáng)[J].信號(hào)處理,2011,27(12):1793-1800.
[4]Aharon M,Elad M,Bruckstein A M.K-SVD and Its Non-negative Variant for Dictionary Design[C]// Proceedings of International Society for Optics and Photonics.San Diego,USA:Society of Photo-optical Instrumentation Engineers,2005.
[5]Lee R J,Nicewander W A.Thirteen Ways to Look at the Correlation Coefficient[J].The American Statistician, 1988,42(1):59-66.
[6]Chen Lixia,Liu Xujiao.NonlocalSimilarity Based Coupled Dictionary Learning for Image Denoising[J]. Journal of Computational Information Systems,2013, 9(11):4451-4458.
[7]Zhang Jian,Liu Shaohui,Xiong Ruiqin,et al.Improved TotalVariation Based Image Compressive Sensing Recovery by Nonlocal Regularization[C]//Proceedings of IEEE InternationalSymposium on Circuitsand Systems.Washington D.C.,USA:IEEE Press,2013: 2836-2839.
[8]Donoho D L,Tsaig Y,Drori I,et al.Sparse Solution of Underdetermined Systems ofLinearEquations by StagewiseOrthogonalMatching Pursuit[J].IEEE Transactions on Information Theory,2012,58(2): 1094-1121.
[9]趙海峰,魯毓苗,陸 明,等.基于快速稀疏表示的醫(yī)學(xué)圖像壓縮[J].計(jì)算機(jī)工程,2014,40(4):233-236.
[10]Protter M,Elad M.ImageSequenceDenoising via Sparse and RedundantRepresentations[J].IEEE Transactions on Image Processing,2009,18(1):27-35.
[11]Elad M,Aharon M.Image Denoising via Sparse and Redundant Representation over Learned Dictionaries[J].IEEE Transactions on Image Processing,2006, 15(12):3736-3745.
[12]Bartlett M S.Properties of Sufficiency and Statistical Tests[J].Proceedings of the Royal Society of London. Series A,Mathematical and Physical Sciences,1937, 160(901):268-282.
[13]Mazhar R,Gader P D.EK-SVD:Optimized Dictionary Design for Sparse Representations[C]//Proceedings of the 19th IEEE International Conference on Pattern Recognition.Washington D.C.,USA:IEEE Press,2008:1-4.
[14]Buades A,Coll B,Morel J M.A Review of Image Denoising Algorithms,with a New One[J].Multiscale Modeling&Simulation,2005,4(2):490-530.
[15]劉曉明,田 雨,何 徽,等.一種改進(jìn)的非局部均值圖像去噪算法[J].計(jì)算機(jī)工程,2012,38(4):199-201.
[16]Dong Weisheng,Zhang Lei,Shi Guangming,et al. Nonlocally Centralized Sparse Representation for Image Restoration[J].IEEE Transactions on Image Processing,2013,22(4):1620-1630.
編輯 劉 冰
Image Denoising Based on Improved K-SVD and Non-local Regularization
YANG Aiping,TIAN Yuzhen,HE Yuqing,DONG Cuicui
(School of Electronic Information Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China)
In view of the poor performance of the K-Singular Value Decomposition(K-SVD)denoising method,a new algorithm is proposed.The denoising performance is improved by the refined K-SVD method with the help of the correlation coefficient matching criterion and dictionary cutting method.By combining the non-local self-similarity as a constrained regularization into the image denoising model,the performance is further enhanced.Experimental results show that compared with traditional K-SVD method,this algorithm can effectively improve the smoothness of homogeneous regions with preserving more texture and edge details.
image denoising;sparse representation;Singular Value Decomposition(SVD);Orthonomal Matching Pursuit(OMP)algorithm;dictionary optimization;non-local self-similarity
1000-3428(2015)05-0249-05
A
TP391
10.3969/j.issn.1000-3428.2015.05.046
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61372145)。
楊愛(ài)萍(1977-),女,副教授、博士,主研方向:圖像處理;田玉針,碩士;何宇清,講師、博士;董翠翠,碩士。
2014-04-30
2014-07-07E-mail:yangaiping@tju.edu.cn
中文引用格式:楊愛(ài)萍,田玉針,何宇清,等.基于改進(jìn)K-SVD和非局部正則化的圖像去噪[J].計(jì)算機(jī)工程,2015, 41(5):249-253.
英文引用格式:Yang Aiping,Tian Yuzhen,He Yuqing,et al.Image Denoising Based on Improved K-SVD and Non-local Regularization[J].Computer Engineering,2015,41(5):249-253.