張成悌

(中國測試技術(shù)研究院，成都 610021)

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鋸齒螺紋M值的測量

張成悌

(中國測試技術(shù)研究院，成都 610021)

文章介紹了由作者自行推導的幾何關系清晰的鋸齒螺紋M值計算公式，并與其他公式的計算結(jié)果進行比較，給出這些公式的適用范圍。通過對幾種方法的總結(jié)與比對，提供了一個具有很好參考價值的資料。

鋸齒螺紋；中徑；M值；測量

0 引言

鋸齒螺紋的計算公式是螺紋一般的通用計算公式，其意義非常重要。鋸齒螺紋是非對稱螺紋，它與對稱螺紋M值的計算是不同的，但是當兩個牙側(cè)角相等時它就變成對稱螺紋的計算公式了。根據(jù)鋸齒螺紋的計算公式可以計算各種螺紋實測參數(shù)的M值。早期文獻和規(guī)范多引用徐孝恩先生文獻[1]的公式。JJF 1345-2012圓柱螺紋量規(guī)校準規(guī)范[2]基本采用了歐盟關于用機械檢測圓柱螺紋量規(guī)中徑的指南(EA-10/10)[3]的內(nèi)容，所以它采用了歐盟的Berndt公式[4-5]。而GB/T 28703—2012圓柱螺紋檢測方法[6]國家標準采用了蘇宗康先生的計算公式[7-8](簡稱蘇氏公式)。文獻[6]并沒有給出非對稱圓柱螺紋已知螺紋中徑d2計算螺紋M值的公式，但是在文獻[8]中蘇宗康先生給出了非對稱圓柱螺紋已知螺紋中徑d2計算螺紋M值的公式。該公式是正確的，只是編程時尚缺少一些條件。劉遠模先生在文獻[9]從建立笛卡爾空間坐標系及螺旋面方程以及用向量推導了非對稱螺紋M值的計算公式(簡稱劉氏公式)，并在文獻[10]發(fā)表了他對歐盟公式和蘇氏公式的看法。但是上述三個公式結(jié)構(gòu)復雜，幾何關系不清晰，讀者很難理解及推導。作者在文獻[11]給出了幾何關系清晰，結(jié)構(gòu)簡單的對稱螺紋M值的計算公式。把文獻[11]的計算公式拓展到非對稱螺紋M值的計算，可以讓讀者明瞭公式的幾何關系及其推導過程。

1 鋸齒外螺紋M值的計算公式

作者在文獻[11]的基礎上，考慮左右牙廓面的接觸情況得到下面的計算公式(簡稱張氏公式)。

圖1是螺紋軸向截面牙廓的幾何圖形以及接觸點T和Q分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)處于軸向垂直截面時與量針中心的幾何關系。當量針、量棒中心Ct0在螺紋軸向垂直截面上，其兩接觸點T和Q分別在與軸向垂直截面有wt2和wt1夾角的軸向截面上。T點是量針、量棒與輔牙側(cè)的接觸點，在圖1上將此點轉(zhuǎn)至螺紋軸向垂直截面上。Ct是接觸點T經(jīng)轉(zhuǎn)wt2角后，接觸點T位于軸向垂直截面時量針、量棒的圓心位置。同樣在主牙側(cè)也有接觸點Q，當其經(jīng)轉(zhuǎn)wt1角后，接觸點Q位于軸向垂直截面時量針、量棒的圓心是Cq。Ct、Ct0、Cq是量針圓心螺旋線上的點。CtT及CqQ為量針、量棒的半徑rm，TT2與接觸點T的圓柱母線夾角是T點螺旋角lt2，QQ2與接觸點Q的圓柱母線夾角是Q點螺旋角lt1。

TT2與TCt的夾角是輔牙側(cè)在中徑螺旋角lt2截面內(nèi)的牙側(cè)角at2，QQ2與QCq的夾角是主牙側(cè)在中徑螺旋角lt1截面內(nèi)的牙側(cè)角at1。TT2=rmcosat2，TT1=rmcosat2coslt2，T3T1是在旋轉(zhuǎn)wt2角后Ct點相對Ct0點在軸向的位移。QQ2=rmcosat1，QQ3=rmcosat1coslt1，T3Q4是在旋轉(zhuǎn)wt1角后Cq點相對Ct0點在軸向的位移。

圖1 鋸齒螺紋接觸點在軸向截面上的幾何關系圖

T3T1=nPwt2/2p ，T3Q4=nPwt1/2p ，

由圖1可知：

Q5T=Q1T6，Q5T=Q5Q4+T3Q4+T3T1+T1T=T3T1+T1T+T3Q4+QQ3，而

Q1T6=P/2+(A1tana1+A2tana2)/2，Q5T=nP(wt1+wt2)/2p +rmcosat1coslt1+rmcosat2coslt2

所以

nP(wt1+wt1)/p+dmcosat1coslt1+dmcosat2coslt2=P+[(dt1-d2)tana1+A2tana2]

dt1=dccoswt1-dmsinat1=(d2+A2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1，

將dt1的關系代入，可以得到

nP(wt1+wt2)/p +dmcosat1coslt1+dmcosat2coslt2=P+({[(d2+A2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1]-d2}tana1+A2tana2)

A2=[dm(cosat1coslt1+cosat2coslt2)+nP(wt1+wt2)/p -P-d2(coswt1/coswt2-1)tana1-dm(sinat2coswt1/coswt2-sinat1)tana1]/(tana2+tana1coswt1/coswt2)

(1-1)

tanlt2=nP/p dt2

(1-2)

tanat2=tana2coslt2

(1-3)

tanwt2=dmcosat2sinlt2/(dt2+dmsinat2)

(1-4)

tanlt1=nP/p dt1

(1-5)

tanat1=tana1coslt1

(1-6)

tanwt1=dmcosat1sinlt1/(dt1+dmsinat1)

(1-7)

dt2=d2+A2

(1-8)

dt1=(dt2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1

(1-9)

dc=(dt2+dmsinat2)/coswt2

(1-10)

M=(dt2+dmsinat2)/coswt2+dm

(1-11)

計算M和dc由公式(1-1)至公式(1-11)進行迭代計算得出。式中l(wèi)t2、at2、wt2的初始值用lf2、an2、wf2，dt1的初始值用dt1=d2+dm(sinaf2-sinaf1)。而

tanlf2=nP/p d2，

tanan2=tana2coslf2，

tanwf2=dmcosan2sinlf2/(d2+dmsinaf2)。

若求量針、量棒的最佳直徑dm0則應使A2=0.即公式(1-1)的分子=0，由于dt2=d2，因此所有與dt2有關的角度下標將改為中徑d2的下標wt2=wf2，at2=an2，lt2=lf2。這樣得到公式

dm0=[P(1-n(wt1+wf2)/p )+d2(coswt1/coswf2-1)tana1]/[cosat1coslt1+cosan2coslf2-(sinaf2coswt1/coswf2-sinat1)tana1]

(1-12)

并由公式(1-5)～公式(1-9)及公式(1-12)進行迭代計算得出量針、量棒的最佳直徑dm0。

2 鋸齒內(nèi)螺紋M值的計算公式

圖2是鋸齒螺紋內(nèi)螺紋接觸點在軸向垂直截面上的幾何關系圖。與鋸齒螺紋的外螺紋相比T3T1+T1T+T3Q4+QQ3=P/2+(A1tana1+A2tana2)/2是一樣的，不同之處外螺紋是：

nP(wt1+wt2)/2p +rmcosat1coslt1+rmcosat2coslt2=P/2+[(dt1-d2)tana1+A2tana2]/2

圖2 鋸齒螺紋內(nèi)螺紋接觸點在軸向截面上的幾何關系圖

dt1=dccoswt1-dmsinat1=(d2+A2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1；

而內(nèi)螺紋是：

nP(wt1+wt2)/2p +rmcosat1coslt1+rmcosat2coslt2=P/2+[(d2-dt1)tana1+A2tana2]/2

dt1=dccoswt1+dmsinat1=(d2-A2-dmsinat2)coswt1/coswt1+dmsinat1。

將dt1的關系代入上式，得到

nP(wt1+wt2)/p +dmcosat1coslt1+dmcosat2coslt2=P+({d2-[(d2-A2-dmsinat2)coswt1/coswt2+dmsinat1]}tana1+A2tana2)

化簡后得到

A2(tana2+tana1coswt1/coswt2)=dm[cosat1coslt1+cosat2coslt2-(sinat2coswt1/coswt2-sinat1)tana1]-P[1-n(wt2+wt1)/p ]+d2tana1(coswt1/coswt2-1)

因為測球要與輔助牙面上的中徑接觸，將關系代入后，并令A2=0，即dt2=d2，則

dm0={P[1-n(wt1+wf2)/p ]-d2(coswt1/coswf2-1)tana1}/{cosat1coslt1+cosan2coslf2-(sinat1coswt1/coswf2-sinat1)tana1}

(2-1)

式中，tanwf2=dm0cosaf2sinlf2/(d2-dm0sinaf2)，

tanwt1=dm0cosat1sinlt1/(dt1-dm0sinat1)，

dt1=(d2-dm0sinan2)coswt1/coswf2+dm0sinat1，

其余與外螺紋相同。

dt1的初始值用dt1=d2-0.5431P(sina2-sina1)，經(jīng)迭代計算得出內(nèi)螺紋測球的最佳直徑dm0。

為了求測量鋸齒螺紋內(nèi)螺紋的兩測球中心距離dc按下列公式進行迭代計算。其中tanlt2,tanat2,tanlt1,tanat1的計算公式與前述外螺紋公式相同。

tanwt2=dmcosat2sinlt2/(dt-dmsinat2)

(2-2)

tanwt1=dmcosat1sinlt1/(dt1-dmsinat1)

(2-3)

A2=[dm(cosat1coslt1+cosat2coslt2)+nP(wt1+wt2)/p -P+d2(coswt1/coswt2-1)tana1-dm(sinat2coswt1/coswt2-sinat1)tana1]/(tana2+tana1coswt1/coswt2)

(2-4)

dt2=d2-A2

(2-5)

dt1=(dt2-dmsinat2)coswt1/coswt2+dmsinat1

(2-6)

dc=(dt2-dmsinat2)/coswt2

(2-7)

式中：lt2、at2、wt2、dt2的初始值用lf2、af2、wf2、d2代入，dt1的初始值用dt1=d2-dm(sinaf2-sinaf1)代入。

3 各公式的計算與比較

四個公式即歐盟公式、蘇氏公式、劉氏公式及本文張氏公式計算對稱螺紋都是正確的。對于非對稱螺紋只有歐盟公式是近似計算，有一定的計算誤差，其余三個公式都是正確的?，F(xiàn)以多頭螺紋計算結(jié)果如表1所示。

表1 各公式計算多頭鋸齒螺紋的M值結(jié)果對照表 mm

*由張成悌和劉遠模分別按文獻[8]編程，計算結(jié)果一致。

各公式比較的結(jié)論：

1)文獻[1]的徐孝恩公式：由于計算精度較低，現(xiàn)在已經(jīng)被淘汰。

2)其余四公式對于對稱牙型的各種內(nèi)、外螺紋都能得到一致的計算結(jié)果。歐盟公式對于Tr28×64(P8)多頭梯形內(nèi)螺紋等更大螺旋角的螺紋受到限制而無法運算(系指劉遠模按歐盟公式編程)。

3)對于不對稱牙型的內(nèi)、外螺紋，歐盟公式還是一種近似計算,用于對稱牙型螺紋因制造公差造成的不對稱，其計算精度還是足夠的。對于單頭鋸齒外螺紋歐盟公式的計算誤差最大不超過8μm，對于單頭鋸齒內(nèi)螺紋歐盟公式的計算誤差一般不會超過10～14μm，特殊情況也不會超過30μm。對于多頭鋸齒螺紋歐盟公式的計算誤差可達到100～200μm以上。所以這個公式不能用于多頭鋸齒螺紋的計算。歐盟公式因為在計算中輔助角只有一個θ角，而不是分為左右兩側(cè)有關。在多頭鋸齒螺紋計算中產(chǎn)生較大誤差也是很自然的。劉、張、蘇公式可以適用于一切單頭鋸齒內(nèi)、外螺紋和絕大多數(shù)多頭鋸齒內(nèi)、外螺紋，在無法求得最佳針(球)徑時，仍然可以找到適當?shù)尼?球)徑用于計算。

4)劉、張、蘇公式在表達形式上是不一樣的，推導過程也不一樣，分析問題的著眼點也不相同，而在螺紋各個領域內(nèi)的計算結(jié)果是一致的，說明三個公式都是正確的。本文作者公式在表達形式上簡單、幾何關系明晰，公式與圖形可以對照，容易為讀者所接受。作者軟件還在發(fā)生M值小于螺紋外徑時及發(fā)生干涉時給出警示及避免干涉的方法；劉氏公式結(jié)構(gòu)形式復雜，很難讓讀者理解其推導過程；蘇氏公式用三種不同的公式解決對稱螺紋的M和d2的計算、非對稱螺紋求d2的計算、非對稱螺紋求M值的計算。其計算非對稱螺紋求d2的公式比較突出、新穎，應用此公式仍然可以編程逆算M值，但其公式有部分幾何關系不是很清晰。

4 對JJF 1345—2012及GB/T 28703—2012的評價

1)JJF 1345-2012圓柱螺紋量規(guī)校準規(guī)范[2](以下簡稱規(guī)范)基本采用了歐盟關于用機械檢測圓柱螺紋量規(guī)中徑的指南(EA-10/10)[3]的內(nèi)容。在螺紋測量方面實現(xiàn)與歐盟先進標準直接對接。

2)GB/T 28703—2012圓柱螺紋檢測方法[6](以下簡稱方法)在計算公式方面采用國內(nèi)專家的公式[7]達到了國際先進水平，在螺紋測量方面開創(chuàng)了國家標準與規(guī)范的先河。計算結(jié)果表明我國在螺紋中徑測量計算方面處于國際領先地位。

3)規(guī)范與方法在螺紋測量領域開創(chuàng)了計算機應用的新時代。

4)規(guī)范與方法均介紹了量針法及量球法(雙球測頭)用于測量內(nèi)、外螺紋中徑，以及先進的二維輪廓掃描法。規(guī)范與方法均沒有介紹掛鉤量球法測量內(nèi)螺紋中徑，即臥式光學計或萬能測長儀用掛鉤測量內(nèi)螺紋的方法。而國內(nèi)仍然有大量用戶使用著該方法。不知是考慮不周或想淘汰該方法。

5)規(guī)范與方法在介紹量球法(雙球測頭)時均介紹用標準光面環(huán)規(guī)來校準雙球測頭的尺寸。這種方法校準雙球測頭的尺寸只能用于光滑內(nèi)孔尺寸的測量。測量內(nèi)螺紋時要用相應牙型角的側(cè)塊與量塊組成標準內(nèi)尺寸校準雙球測頭的尺寸；測量外螺紋時要用相應牙型角的側(cè)塊與量塊組成標準外尺寸或帶相應牙型角V型槽的標準規(guī)校準雙球測頭的尺寸。用錯校準方法會帶來較大的校準誤差。特別是對于高精度螺紋量規(guī)的測量是不可忽視的。作者在萬能測長儀用掛鉤法測量內(nèi)螺紋時用環(huán)規(guī)校零還是用V型側(cè)塊及量塊校零曾論及這個問題[12]。

6)在計算最佳量針尺寸方面，規(guī)范與歐盟規(guī)范一致，是采用軸向近似公式。方法在附錄中給出的對稱牙型螺紋量針最佳直徑經(jīng)校核都是在中徑處接觸。建議按這些尺寸修改量針標準時的量針名義尺寸。

7)規(guī)范與方法終于把在過去螺紋檢測方面的規(guī)范及標準中出現(xiàn)的不負責任的“螺紋環(huán)規(guī)檢驗發(fā)生爭議時，只要判定環(huán)規(guī)為合格的校對塞規(guī)經(jīng)檢驗是合格的，該環(huán)規(guī)判為合格。”字句刪除掉了。

8)在確定測量不確定度時，取k=2，即U95。應該遵守GB/T 18779.1—2002關于產(chǎn)品合格判定的規(guī)則(見圖3)。不確定區(qū)由在公差邊界處加、減一個擴展不確定度構(gòu)成。另外包含因子取k=3更好。

圖3 合格區(qū)、不合格區(qū)、不確定區(qū)與生產(chǎn)公差的關系圖

5 結(jié)束語

規(guī)范和方法取得了很大的成就，但是美中不足的是規(guī)范與方法沒有完全協(xié)調(diào)一致。今后建議標準與規(guī)范成立統(tǒng)一的兩個起草小組，重大技術(shù)問題統(tǒng)一討論，確定其修改內(nèi)容,然后再分頭起草。修改時要廣泛聽取社會上各方面的意見，使標準與規(guī)范取得更好的社會效益。

感謝劉遠模先生提供的計算軟件。

[1] 徐孝恩,編著.螺紋檢驗與測量.北京：中國計量出版，長度計量測試叢書14分冊:150～166

[2] 王為農(nóng),等.JJF 1345—2012圓柱螺紋量規(guī)校準規(guī)范.中國質(zhì)檢出版社,2012

[3] EA Guidelines on the Determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical ProbingEA-10/10，P10，P20

[4] M.Kochsiek und J.Lerch，“Zur Ermittlung von Bestimmungsgr?ssen an Gewinden”，PTB-Bericht PTB-Me-4 (1974).

[5] G.Berndt，“Die Anlagekorrekturen bei der Bestimmung des Flankendurchmessers von symmetrischen und unsymmetrischen Aussen- und Innengewinden nach der Dreidrahtmethode oder mittels zweier Kugeln”，Zeitschrift für Instrumentenkunde 60 (1940)：141ff，177ff，209ff，237ff，272ff

[6] 蔡明鋼,等.GB/T 28703—2012圓柱螺紋檢測方法.中國質(zhì)檢出版社,2012

[7] 蘇宗康.非對稱螺紋精密測量的誤差研究.實用測試技術(shù)，1999(6):29-31

[8] 蘇宗康.非對稱阿基米德螺紋的精密測量.計量技術(shù),1995.(2):6-9

[9] 張成悌.一種簡單準確的螺紋、蝸桿M值的計算方法.計量技術(shù),2001 (11)

[10] 劉遠模.螺紋單一中徑的三針和量球法測量.計量技術(shù)，2014(2)

[11] 劉遠模.量針測量螺紋斜置誤差的公式討論.計量技術(shù),2009(2)

[12] 張成悌.螺紋環(huán)規(guī)單一中徑比較測量中的若干問題[J].計量技術(shù)，2006(06):37-39

10.3969/j.issn.1000-0771.2015.2.13