劉志軍， 鄧兆祥

(中國汽車工程研究院汽車噪聲振動和安全技術(shù)國家重點實驗室 重慶，400039)

大修改結(jié)構(gòu)特征向量重分析的混合基展開法*

劉志軍， 鄧兆祥

(中國汽車工程研究院汽車噪聲振動和安全技術(shù)國家重點實驗室 重慶，400039)

為拓展基于矩陣攝動理論的結(jié)構(gòu)重分析方法在實際工程中的適用范圍，提高重分析計算精度，針對結(jié)構(gòu)模態(tài)空間不完備和參數(shù)大修改提出了結(jié)構(gòu)動力重分析的混合基展開法。利用已知的少數(shù)幾個可能不連續(xù)的低階模態(tài)構(gòu)造出整個模態(tài)空間的一個混合基，同時將反映結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的增量表示為高次增量形式，保留了經(jīng)典攝動法簡單易行的特點。數(shù)值算例表明，所提出方法適用范圍廣，極大提高了結(jié)構(gòu)大修改下的動力重分析計算精度。

結(jié)構(gòu)動力重分析； 結(jié)構(gòu)大修改； 矩陣攝動法； 混合基展開法

引 言

結(jié)構(gòu)動力修改和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計需要快速而高效的重分析技術(shù)來減少計算成本，提高工作效率。國內(nèi)外許多學(xué)者對快速重分析的計算方法做過研究。矩陣攝動法[1]在結(jié)構(gòu)重分析中經(jīng)常使用，在此基礎(chǔ)上有理逼近法[2-4]、Shanks變換[5]、Epsilon算法[6-7]和動力縮聚與瑞利商法[8]等，被用來提高重分析的精度。近年來，組合近似法因其簡單、通用和高效等優(yōu)點在很多領(lǐng)域得到應(yīng)用并獲得不斷改進[9-14]。對實際的大型工程結(jié)構(gòu)，要求出其全部模態(tài)，計算量非常龐大，往往只求得其少數(shù)低階模態(tài)。基于實驗?zāi)B(tài)的結(jié)構(gòu)修改存在著實驗?zāi)B(tài)難以測全和很難保證所測得的各階模態(tài)為連續(xù)低階模態(tài)的問題。在這些情況下，現(xiàn)有的基于全模態(tài)展開的重分析方法根本無法實現(xiàn)。文獻[15]基于傳統(tǒng)矩陣攝動理論，將已知的有限低階模態(tài)擴充得到N維歐氏空間的一個混合基，并將特征向量的攝動量在新基上展開來計算特征向量的1，2階攝動量。但是，傳統(tǒng)經(jīng)典攝動法僅適用于結(jié)構(gòu)的小修改重分析，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)修改較大時，計算精度變差，甚至變得沒有意義[1]。

筆者從經(jīng)典矩陣攝動理論出發(fā)，首先，采用高次增量法將反映結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的增量分別表示為小參數(shù)ε的1次與2次冪項之和；其次，利用已知的少數(shù)幾個低階模態(tài)構(gòu)造出整個模態(tài)空間的一個混合基，把特征向量的攝動量表示為該混合基的線性組合；最后，推導(dǎo)得到孤立特征值及特征向量的2階攝動解，極大提高了結(jié)構(gòu)大修改下的重分析計算精度。

1 矩陣攝動法

離散結(jié)構(gòu)振動特征值問題為

(1)

其中：K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；λ=ω2；u為振型向量。

設(shè)結(jié)構(gòu)修改后的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣表示為

(2)

(3)

其中：ε為小參數(shù)，與ε=0對應(yīng)的系統(tǒng)稱為原系統(tǒng)；M0和K0為原結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；εM1+ε2M2和εK1+ε2K2分別代表兩者的變化，且當(dāng)dεM1+ε2M2→0和εK1+ε2K2→0時，M→M0，K→K0；εM1和ε2M2分別為質(zhì)量矩陣的一次增量和二次增量；εK1和ε2K2分別為剛度矩陣的一次增量和二次增量。

假設(shè)原結(jié)構(gòu)的特征值λ0i是特征方程的單根的情形，其相應(yīng)的特征向量為u0i，它們滿足式(1)。根據(jù)攝動理論，將修改后結(jié)構(gòu)的特征值λi和特征向量ui按小參數(shù)ε展開為冪級數(shù)，即

(4)

(5)

將式(2)～式(5)代入式(1)，并令方程兩端ε的同次冪的系數(shù)相等，得

(6)

(7)

(8)

特征向量ui應(yīng)滿足正則化條件

(9)

將式(2)和式(5)代入式(9)，得

(10)

(11)

(12)

(13)

1.1 混合基的構(gòu)造

假設(shè)修改前結(jié)構(gòu)的已知模態(tài)個數(shù)為q，它們不一定是相鄰的q個低階模態(tài)，記為u01，u02，…，u0q，相應(yīng)的特征值分別為λ01，λ02，…，λ0q，并假設(shè)這q個已知模態(tài)關(guān)于結(jié)構(gòu)修改前的剛度矩陣K0和質(zhì)量矩陣M0是正交歸一的。

將q個已知模態(tài)按行排成一個q×N的矩陣，記為A，即

(14)

矩陣A是行滿秩，記為

(15)

由于M0是實對稱正定的，從而q×N階矩陣B也是行滿秩的。將矩陣B寫為如下分塊形式

(16)

求解下列矩陣方程

(17)

按分塊乘法，由式(17)可得

(18)

(19)

(20)

其中：r=q+1,q+2,…,N；p=q+1,q+2,…,N；δrp為Kronecker符號函數(shù)。

1.2 1階攝動量的混合基展開法

將特征向量的1階攝動量u1i關(guān)于混合基展開

(21)

將式(21)代入式(7)，得

(22)

(23)

當(dāng)j=i時，從式(23)可解得關(guān)于特征值λi的1階攝動量

(24)

當(dāng)j≠i時，從式(23)可解得式(21)中系數(shù)bij為

(25)

將式(21)代入式(12)，可得

(26)

(27)

其中：i=1,2,…,q；j=q+1,q+2,…,N。

1.3 2階攝動量的混合基展開法

將特征向量的2階攝動量u2i關(guān)于混合基展開

(28)

將式(28)代入式(8)，得

(29)

(30)

當(dāng)j=i時，從式(30)可解得關(guān)于特征值λi的2階攝動量

(31)

當(dāng)j≠i時，從式(30)可解得式中系數(shù)dij

(32)

將式(28)代入式(13)，可得

(33)

(34)

其中：i=1,2,…,q；j=q+1,q+2,…,N。

從式(4)、式(24)和式(31)可以看出，結(jié)構(gòu)修改后特征值λi的2階攝動解只與修改前相應(yīng)特征向量u0i有關(guān)。從式(5)、式(21)和式(28)可以看出，結(jié)構(gòu)修改后特征向量ui的1階攝動解和2階攝動解都與修改前模態(tài)空間全部基向量相關(guān)。

2 算例分析

圖1 平面框架結(jié)構(gòu)Fig.1 Plane frame structure

取如下的誤差模來比較文獻[1]和本研究方法關(guān)于特征向量的重分析精度

(35)

其中：整數(shù)I=1,2，分別對應(yīng)于文獻[1]和本研究方法；uEk表示修改后結(jié)構(gòu)的第k個精確特征向量；uIk表示由第I種方法計算的結(jié)構(gòu)修改后第k個特征向量的近似值。

從表1中的數(shù)值結(jié)果可以看出：無論結(jié)構(gòu)參數(shù)改變多少，本研究方法計算精度全部高于經(jīng)典攝動法；隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)改變增大，兩種方法計算誤差均有所增大；經(jīng)典2階攝動法在結(jié)構(gòu)參數(shù)改變量超過30%以后，計算結(jié)果誤差急劇增大，而本研究方法在結(jié)構(gòu)參數(shù)改變60%時計算得到的前3階固有頻率的最大誤差也未超過4.0%。因此，本研究方法的適用范圍更廣，適用于結(jié)構(gòu)大修改情況。

3 結(jié)束語

筆者針對結(jié)構(gòu)修改和模型校正中存在的模態(tài)空間不完備的問題，從線性空間的角度出發(fā)，利用已知的少數(shù)幾個可能不連續(xù)的低階模態(tài)構(gòu)造出整個模態(tài)空間的一個混合基，同時將反映結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的增量表示為高次增量形式，不但保留了經(jīng)典攝動法簡單易行的特點，還提高了攝動解的精度并擴大了適用范圍，能夠用來解決工程結(jié)構(gòu)大修改情況下的近似重分析問題。

表1 固有頻率和振型向量誤差比較

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.03.026

*國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(“九七三”計劃)資助項目(2010CB736104)

2013-04-09；

2013-05-25

O302

劉志軍，男，1976年4月生，副教授。主要研究方向為結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計、汽車振動分析。曾發(fā)表《超長斜拉索張力振動測量的傳遞矩陣法》(《振動、測試與診斷》2012年第32卷第4期)等論文。 E-mail：uliuzj@163.com