劉志軍， 鄧兆祥

(中國(guó)汽車(chē)工程研究院汽車(chē)噪聲振動(dòng)和安全技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400039)

大修改結(jié)構(gòu)特征向量重分析的混合基展開(kāi)法*

劉志軍， 鄧兆祥

(中國(guó)汽車(chē)工程研究院汽車(chē)噪聲振動(dòng)和安全技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400039)

為拓展基于矩陣攝動(dòng)理論的結(jié)構(gòu)重分析方法在實(shí)際工程中的適用范圍，提高重分析計(jì)算精度，針對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)空間不完備和參數(shù)大修改提出了結(jié)構(gòu)動(dòng)力重分析的混合基展開(kāi)法。利用已知的少數(shù)幾個(gè)可能不連續(xù)的低階模態(tài)構(gòu)造出整個(gè)模態(tài)空間的一個(gè)混合基，同時(shí)將反映結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的增量表示為高次增量形式，保留了經(jīng)典攝動(dòng)法簡(jiǎn)單易行的特點(diǎn)。數(shù)值算例表明，所提出方法適用范圍廣，極大提高了結(jié)構(gòu)大修改下的動(dòng)力重分析計(jì)算精度。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力重分析； 結(jié)構(gòu)大修改； 矩陣攝動(dòng)法； 混合基展開(kāi)法

引 言

結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)需要快速而高效的重分析技術(shù)來(lái)減少計(jì)算成本，提高工作效率。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)快速重分析的計(jì)算方法做過(guò)研究。矩陣攝動(dòng)法[1]在結(jié)構(gòu)重分析中經(jīng)常使用，在此基礎(chǔ)上有理逼近法[2-4]、Shanks變換[5]、Epsilon算法[6-7]和動(dòng)力縮聚與瑞利商法[8]等，被用來(lái)提高重分析的精度。近年來(lái)，組合近似法因其簡(jiǎn)單、通用和高效等優(yōu)點(diǎn)在很多領(lǐng)域得到應(yīng)用并獲得不斷改進(jìn)[9-14]。對(duì)實(shí)際的大型工程結(jié)構(gòu)，要求出其全部模態(tài)，計(jì)算量非常龐大，往往只求得其少數(shù)低階模態(tài)。基于實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的結(jié)構(gòu)修改存在著實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)難以測(cè)全和很難保證所測(cè)得的各階模態(tài)為連續(xù)低階模態(tài)的問(wèn)題。在這些情況下，現(xiàn)有的基于全模態(tài)展開(kāi)的重分析方法根本無(wú)法實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[15]基于傳統(tǒng)矩陣攝動(dòng)理論，將已知的有限低階模態(tài)擴(kuò)充得到N維歐氏空間的一個(gè)混合基，并將特征向量的攝動(dòng)量在新基上展開(kāi)來(lái)計(jì)算特征向量的1，2階攝動(dòng)量。但是，傳統(tǒng)經(jīng)典攝動(dòng)法僅適用于結(jié)構(gòu)的小修改重分析，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)修改較大時(shí)，計(jì)算精度變差，甚至變得沒(méi)有意義[1]。

筆者從經(jīng)典矩陣攝動(dòng)理論出發(fā)，首先，采用高次增量法將反映結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的增量分別表示為小參數(shù)ε的1次與2次冪項(xiàng)之和；其次，利用已知的少數(shù)幾個(gè)低階模態(tài)構(gòu)造出整個(gè)模態(tài)空間的一個(gè)混合基，把特征向量的攝動(dòng)量表示為該混合基的線(xiàn)性組合；最后，推導(dǎo)得到孤立特征值及特征向量的2階攝動(dòng)解，極大提高了結(jié)構(gòu)大修改下的重分析計(jì)算精度。

1 矩陣攝動(dòng)法

離散結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征值問(wèn)題為

(1)

其中：K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；λ=ω2；u為振型向量。

設(shè)結(jié)構(gòu)修改后的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣表示為

(2)

(3)

其中：ε為小參數(shù)，與ε=0對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為原系統(tǒng)；M0和K0為原結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；εM1+ε2M2和εK1+ε2K2分別代表兩者的變化，且當(dāng)dεM1+ε2M2→0和εK1+ε2K2→0時(shí)，M→M0，K→K0；εM1和ε2M2分別為質(zhì)量矩陣的一次增量和二次增量；εK1和ε2K2分別為剛度矩陣的一次增量和二次增量。

假設(shè)原結(jié)構(gòu)的特征值λ0i是特征方程的單根的情形，其相應(yīng)的特征向量為u0i，它們滿(mǎn)足式(1)。根據(jù)攝動(dòng)理論，將修改后結(jié)構(gòu)的特征值λi和特征向量ui按小參數(shù)ε展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，即

(4)

(5)

將式(2)～式(5)代入式(1)，并令方程兩端ε的同次冪的系數(shù)相等，得

(6)

(7)

(8)

特征向量ui應(yīng)滿(mǎn)足正則化條件

(9)

將式(2)和式(5)代入式(9)，得

(10)

(11)

(12)

(13)

1.1 混合基的構(gòu)造

假設(shè)修改前結(jié)構(gòu)的已知模態(tài)個(gè)數(shù)為q，它們不一定是相鄰的q個(gè)低階模態(tài)，記為u01，u02，…，u0q，相應(yīng)的特征值分別為λ01，λ02，…，λ0q，并假設(shè)這q個(gè)已知模態(tài)關(guān)于結(jié)構(gòu)修改前的剛度矩陣K0和質(zhì)量矩陣M0是正交歸一的。

將q個(gè)已知模態(tài)按行排成一個(gè)q×N的矩陣，記為A，即

(14)

矩陣A是行滿(mǎn)秩，記為

(15)

由于M0是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定的，從而q×N階矩陣B也是行滿(mǎn)秩的。將矩陣B寫(xiě)為如下分塊形式

(16)

求解下列矩陣方程

(17)

按分塊乘法，由式(17)可得

(18)

(19)

(20)

其中：r=q+1,q+2,…,N；p=q+1,q+2,…,N；δrp為Kronecker符號(hào)函數(shù)。

1.2 1階攝動(dòng)量的混合基展開(kāi)法

將特征向量的1階攝動(dòng)量u1i關(guān)于混合基展開(kāi)

(21)

將式(21)代入式(7)，得

(22)

(23)

當(dāng)j=i時(shí)，從式(23)可解得關(guān)于特征值λi的1階攝動(dòng)量

(24)

當(dāng)j≠i時(shí)，從式(23)可解得式(21)中系數(shù)bij為

(25)

將式(21)代入式(12)，可得

(26)

(27)

其中：i=1,2,…,q；j=q+1,q+2,…,N。

1.3 2階攝動(dòng)量的混合基展開(kāi)法

將特征向量的2階攝動(dòng)量u2i關(guān)于混合基展開(kāi)

(28)

將式(28)代入式(8)，得

(29)

(30)

當(dāng)j=i時(shí)，從式(30)可解得關(guān)于特征值λi的2階攝動(dòng)量

(31)

當(dāng)j≠i時(shí)，從式(30)可解得式中系數(shù)dij

(32)

將式(28)代入式(13)，可得

(33)

(34)

其中：i=1,2,…,q；j=q+1,q+2,…,N。

從式(4)、式(24)和式(31)可以看出，結(jié)構(gòu)修改后特征值λi的2階攝動(dòng)解只與修改前相應(yīng)特征向量u0i有關(guān)。從式(5)、式(21)和式(28)可以看出，結(jié)構(gòu)修改后特征向量ui的1階攝動(dòng)解和2階攝動(dòng)解都與修改前模態(tài)空間全部基向量相關(guān)。

2 算例分析

圖1 平面框架結(jié)構(gòu)Fig.1 Plane frame structure

取如下的誤差模來(lái)比較文獻(xiàn)[1]和本研究方法關(guān)于特征向量的重分析精度

(35)

其中：整數(shù)I=1,2，分別對(duì)應(yīng)于文獻(xiàn)[1]和本研究方法；uEk表示修改后結(jié)構(gòu)的第k個(gè)精確特征向量；uIk表示由第I種方法計(jì)算的結(jié)構(gòu)修改后第k個(gè)特征向量的近似值。

從表1中的數(shù)值結(jié)果可以看出：無(wú)論結(jié)構(gòu)參數(shù)改變多少，本研究方法計(jì)算精度全部高于經(jīng)典攝動(dòng)法；隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)改變?cè)龃?，兩種方法計(jì)算誤差均有所增大；經(jīng)典2階攝動(dòng)法在結(jié)構(gòu)參數(shù)改變量超過(guò)30%以后，計(jì)算結(jié)果誤差急劇增大，而本研究方法在結(jié)構(gòu)參數(shù)改變60%時(shí)計(jì)算得到的前3階固有頻率的最大誤差也未超過(guò)4.0%。因此，本研究方法的適用范圍更廣，適用于結(jié)構(gòu)大修改情況。

3 結(jié)束語(yǔ)

筆者針對(duì)結(jié)構(gòu)修改和模型校正中存在的模態(tài)空間不完備的問(wèn)題，從線(xiàn)性空間的角度出發(fā)，利用已知的少數(shù)幾個(gè)可能不連續(xù)的低階模態(tài)構(gòu)造出整個(gè)模態(tài)空間的一個(gè)混合基，同時(shí)將反映結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的增量表示為高次增量形式，不但保留了經(jīng)典攝動(dòng)法簡(jiǎn)單易行的特點(diǎn)，還提高了攝動(dòng)解的精度并擴(kuò)大了適用范圍，能夠用來(lái)解決工程結(jié)構(gòu)大修改情況下的近似重分析問(wèn)題。

表1 固有頻率和振型向量誤差比較

[1] Chen Suhuan. Matrix perturbation theory in structural dynamic designs[M]. Beijing: Science Press, 2007：36-65.

[2] 張美艷, 韓平疇. 基于有理逼近和靈敏度分析的結(jié)構(gòu)動(dòng)力重分析方法[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2006, 25(4): 50-52.

Zhang Meiyan, Han Pingchou. Novel method for structural dynamic reanalysis based on rational approximation and eigen-sensitivity[J]. Journal of Vibration and Shock, 2006, 25(4):50-52. (in Chinese)

[3] Yang Xiaowei, Chen Suhuan, Wu Baisheng. Eigenvalue reanalysis of structures using perturbations and padé approximation[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2001, 15(2): 257-263.

[4] Wu Baisheng, Li Zhengguang, Li Shunhua. The implementation of a vector-valued rational approximate method in structural reanalysis problems[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2003, 192(13-14): 1773-1784.

[5] Hurtado J E. Reanalysis of linear and nonlinear structures using iterated Shanks transformation[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2002, 191(37-38): 4215-4229.

[6] Chen Suhuan, Wu Xiaoming, Yang Zhijun. Eigensolution reanalysis of modified structures using epsilon-algorithm[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2006, 66(13): 2115-2130.

[7] Chen Suhuan, Ma Liang, Meng Guangwei. Dynamic response reanalysis for modified structures under arbitrary excitation using epsilon-algorithm[J]. Computers & Structures, 2008, 86(23-24): 2095-2101.

[8] 何建軍, 姜節(jié)勝. 基于降階模型的非經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)湫薷牡膹?fù)模態(tài)重分析方法[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2009,28(7): 50-54.

He Jianjun, Jiang Jiesheng. Complex modal reanalysis method for topological modification of a non-classical damped structure based on a reduced model[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(7):50-54. (in Chinese)

[9] Kirsch U. Reanalysis and sensitivity reanalysis by combined approximations[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2010, 40(1): 1-15.

[10]Kirsch U, Bogomolni M. Nonlinear and dynamic structural analysis using combined approximations[J]. Computers & Structures, 2007, 85(10): 566-578.

[11]Amir O, Kirsch U, Sheinman I. Efficient non-linear reanalysis of skeletal structures using combined approximations[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2008, 73(9): 1328-1346.

[12]Ma Liang, Chen Suhuan, Meng Guangwei. Combined approximation for reanalysis of complex eigenvalues[J]. Computers & Structures, 2009, 87(7-8): 502-506.

[13]Xu Tao, Guo Guikai, Zhang Hao. Vibration reanalysis using frequency-shift combined approximations[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2011,44(2): 235-246.

[14]黃冀卓, 王湛. 大型結(jié)構(gòu)大修改下的靜力重分析方法[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 43(2): 355-361.

Huang Jizhuo, Wang Zhan. Static reanalysis methods for large-scale structures with large modifications[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011, 43(2):355-361. (in Chinese)

[15]Han Wanzhi, Song Datong, Chen Suhuan. Mixed-basis superposition method for the perturbation analysis of eigensolutions[J]. Communications in Numerical Methods in Engineering, 1996, 12:835-847.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.03.026

*國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(“九七三”計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2010CB736104)

2013-04-09；

2013-05-25

O302

劉志軍，男，1976年4月生，副教授。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)、汽車(chē)振動(dòng)分析。曾發(fā)表《超長(zhǎng)斜拉索張力振動(dòng)測(cè)量的傳遞矩陣法》(《振動(dòng)、測(cè)試與診斷》2012年第32卷第4期)等論文。 E-mail：uliuzj@163.com