何川，龍姝明，石妍.陜西理工學(xué)院物理系；.長安大學(xué)信息工程學(xué)院

多質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律

何川1，龍姝明1，石妍21.陜西理工學(xué)院物理系；2.長安大學(xué)信息工程學(xué)院

本文通過對質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)在一維坐標(biāo)下運(yùn)用牛頓第二定律得到每個振子的運(yùn)動學(xué)微分方程，對三質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)賦值，并把其微分方程轉(zhuǎn)化為簡單的矩陣微分方程，用mathematica中的DSolve函數(shù)工具對彈簧振子的矩陣運(yùn)動學(xué)微分方程求解得到質(zhì)點(diǎn)位移隨時間的解析解以及趨勢圖。

多質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)；矩陣微分方程；解析解；運(yùn)動學(xué)方程；DSolve函數(shù)工具

1 引言

振動是自然界中一種非常常見的物理現(xiàn)象，其中彈簧系統(tǒng)是最經(jīng)典的振動系統(tǒng)，其運(yùn)動規(guī)律十分復(fù)雜，為了研究多質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)在一維坐標(biāo)的運(yùn)動規(guī)律，可以通過對系統(tǒng)建立拉格朗日方程得到其運(yùn)動學(xué)微分方程，用mathematica軟件對其方程求解數(shù)值解，并通過頻譜分析[1]得到近似運(yùn)動學(xué)方程，但由于系統(tǒng)的周期很難找，導(dǎo)致頻譜分析有一定誤差。本文通過牛頓第二定律對每個振子進(jìn)行簡單的受力分析，得到其彈簧振子的運(yùn)動學(xué)微分方程，對三質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)賦值，并把其微分方程轉(zhuǎn)化為簡單的矩陣微分方程，用mathematica中的DSolve函數(shù)對彈簧振子的運(yùn)動學(xué)微分方程求解得到質(zhì)點(diǎn)位移隨時間變化的解析解以及趨勢圖。

2 一維情況下n質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)模型

研究對象：用多個彈簧連接多個質(zhì)點(diǎn)小球，并且把一端進(jìn)行固定，如圖1所示。

考慮多彈簧振子的一維振動系統(tǒng)，假設(shè)小球不受摩擦力和空氣阻力（即系統(tǒng)在理想情況下運(yùn)動）每個輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為ki，所連接的小球質(zhì)量為mi，每個彈簧原長為li，i=1,2,3,…，n?？紤]彈簧只在橫向發(fā)生振動，其中忽略彈簧質(zhì)量和小球直徑不計(jì)。假設(shè)重力勢能零點(diǎn)為系統(tǒng)所在的平面，即彈簧振子在振動時每時每刻都處在零重力勢能面。用xi表示第i個小球離開平衡位置的位移量，根據(jù)牛頓第二定律我們可以得到：

3 一維情況下三質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律

要討論三質(zhì)點(diǎn)彈簧振子系統(tǒng)（圖2）的運(yùn)動規(guī)律，我們只需使上文中的n=3即可。

則有系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：

令：

則有:

我們對三個小球質(zhì)量及彈簧勁度系數(shù)等進(jìn)行賦值如下：

通過mathematica軟件得到三個小球離平衡點(diǎn)的位移隨時間的變化曲線[2]（圖3）

圖3三個小球離各自平衡點(diǎn)的位移隨時間的變化曲線保留有效數(shù)字后得到運(yùn)動學(xué)方程為：

4 結(jié)論

多質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)中各個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動是由多個頻率成份的簡諧振動組成的，由于不同頻率是由不同彈簧勁度系數(shù)與不同小球質(zhì)量比值的開根號所決定的，多個頻率的最大公約數(shù)非常小，所以各個小球的周期很大即接近于無窮大。但如果保留有效數(shù)字，可得到其近似周期。由于各質(zhì)點(diǎn)由相同頻率、不同振幅組成，所以各質(zhì)點(diǎn)具有相同的近似周期。

[1]龍姝明，孫彥清.探索物理系統(tǒng)演化規(guī)律的頻譜二次逼近方法[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)漢文版），2014，43（4）:434-439.

[2]龍姝明，朱杰武.數(shù)學(xué)物理方法&Mathematica[M].西安:陜西人民教育出版社,2002:166-169.