郭志林,王 寧

(商丘師范學院數(shù)學與信息科學學院,河南 商丘 476000)

屬性粗糙集粗糙性的度量方法

郭志林,王 寧

(商丘師范學院數(shù)學與信息科學學院,河南 商丘 476000)

考慮到粗糙集的不確定性與其所在近似空間知識粒度的關系,在屬性粗糙集模型的基礎上,將傳統(tǒng)的粗糙度與知識粒度相結合,提出了一種新的屬性粗糙集粗糙性的度量方法,討論了這一度量的特性.證明了隨著近似空間的細分新的粗糙度單調減小的性質.

屬性粗糙集;屬性測度;知識粒度;粗糙度

粗糙集理論作為一種處理不確定性知識的數(shù)學工具,在人工智能、模式識別、數(shù)據(jù)挖掘與信息處理等領域得到廣泛應用. 建立在等價關系基礎上的經典粗糙集理論極大地限制了其在實際的應用.為適應各種復雜系統(tǒng)的應用需要,對粗糙集模型的擴展成為當今研究的熱點.隨著理論研究的深入,粗糙集理論逐漸和其他數(shù)學理論如FUZZY集、VAGAU集、概率論和隨機集等相結合,形成各種擴展的粗糙集模型[1-4], 將屬性數(shù)學[5-7]引入到粗糙集理論,作者首次建立了屬性測度空間的粗糙集模型[8], 并討論了具有動態(tài)特性的S-屬性粗糙集的性質[9-10].但發(fā)現(xiàn),將Pawlak提出的近似精度和粗糙度等概念應用于屬性粗糙集,雖然可以直觀地反映屬性粗糙集的不確定性,但當屬性集的知識被逐漸細分時,屬性粗糙集的粗糙度有時將不會變化,這不符合人們對不確定性問題的直觀認識.由于屬性粗糙集的不確定性除與它本身的粗糙性有關外,還與屬性測度空間本身的不確定性有關.本文從屬性測度空間的角度,討論了不同粒度的近似空間(即不同層次的商空間)下屬性粗糙集的粗糙度的變化情況,將Pawlak粗糙度應用于屬性粗糙集,與不同近似空間的知識粒度相結合,提出了一種新的屬性粗糙集的粗糙度,證明了這種粗糙度隨著近似空間的細分而單調減小的性質,并舉例說明這種度量方法克服了經典粗糙集粗糙度的局限性,與人們對不確定性問題的直觀認知相吻合.

1 基本概念

定義1[5-7]設U為對象空間,X為屬性空間(或最大屬性集,X?U),屬性空間X的任一子集A稱為屬性集.

定義3[5-7]設x為X中的一個元素,A為一個屬性集,μA(x)表示“x具有屬性A”的程度,稱為x∈A的屬性測度(0≤μA(x)≤1).

定義6 設U為對象空間,(X,R,μ(x))為屬性測度空間.A是R上的一個屬性集合,定義A關于(X,R,μ(x))的粗糙度ρR(A)為

.

顯然,0≤ρR(A)≤1,0≤ηR(A)≤1.若A是可定義的,則ρR(A)=0,ηR(A)=1.

用屬性粗糙集的粗糙度ρR(A)或近似精度ηR(A)來刻畫屬性粗糙集的不確定性具有一定的局限性.下面舉例來理解這種局限性.

例1 設U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9},A是U上的屬性集,其屬性測度μA(x)={0.4,0.6,0.4,0.6,0.2,0.6,0.4,0.8,0.9},即

對于U上的等價關系S1,S2,有

U/S1={{x1,x2,x3,x4},{x5,x6,x7},{x8,x9}},

U/S2={{x1,x2},{x3,x4},{x5,x6,x7},{x8,x9}}.

顯然,知識S2比知識S1精細. 但屬性集A在不同劃分S1,S2下的粗糙度卻相同. 因此,傳統(tǒng)的粗糙度具有一定的局限性.

2 粒度意義下屬性粗糙集的粗糙性度量

以P(A)表示屬性集A的冪集,則在任意給定的信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f)中,P(A)與包含關系?構成一個完備的偏序格[11],在其對應的Hasse圖中, 從Φ到A的任一路徑均構成屬性集合A的一條屬性鏈.

例2 設A={a1,a2,a3}, 則圖1給出對應的Hasse圖.

圖1 格

如Φ?{a1}?{a1,a2}?{a1,a2,a3},Φ?{a1}?{a1,a3}?{a1,a2,a3}和Φ?{a2}?{a1,a3}?{a1,a2,a3}等都是屬性鏈.

例3 設信息系統(tǒng)U={x1,x2,…,x10},屬性集A={a1,a2,a3}, 如表1所示.

表1 信息系統(tǒng)

假若取屬性鏈Φ?{a1}?{a1,a2}?{a1,a2,a3},可以得到如下的分層遞階近似空間:U/Φ={{x1,x2,…,x10}},U/{a1}={{x1,x2,x3,x4,x5},{x6,x7},{x8,x9,x10}},U/{a1,a2}={{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7},{x8},{x9,x10}},U/{a1,a2,a3}={{x1,x2},{x3,x4},{x5},{x6},{x7},{x8},{x9,x10}}.

說明在不同屬性鏈的分層遞階的近似空間中,屬性個數(shù)越來越多,知識顆粒越來越細.

定義8[12]設U={x1,x2,…,xn},屬性集B(B?A)對論域U的劃分U/B={X1,X2,…,Xn},則U/B的知識粒度定義為

定義8的知識粒度具有下列性質:

定理1 設格中任意一條屬性鏈為Φ=B0?B1?B2?…?Bm=A,則

GD(Bi+1)≤GD(Bi).

此定理說明在分層遞階近似空間中,隨著屬性個數(shù)的逐漸增加,知識粒度單調減小.

對于X?U,X的粗糙性不僅與其本身的粗糙性有關,還與論域U上知識的粗糙性有關,為此,引進屬性粗糙集的粗糙度的概念.

定義9 設S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng),U={x1,x2,…,xn},屬性集R?A,Φ?X?U,則X的粗糙度定義為

RoughnessR(X)=ρR(X)GD(R).

新定義的粗糙度不僅考慮了集合X本身的粗糙性, 而且更進一步考慮了近似空間的相對知識粒度,從而能更真實的反映X的粗糙度.

定理2 設(X,R,μ(x))為屬性測度空間,A為屬性集,若S1?S2,則

RoughnessS1(A)≤RoughnessS2(A).

證明 因為S1?S2,所以[x]S1?[x]S2.從而?x∈U,有

由定理1知,GD(S1)≤GD(S2),從而

RoughnessS1(A)≤RoughnessS2(A).

定理2說明屬性粗糙集的粗糙度隨著信息粒度的變小而單調減小.

下面通過實例來說明定理2的正確性.

例4 仍以例1為例,例1已經算得屬性集A關于屬性測度空間(X,R,μ(x))和(X,S,μ(x))的粗糙度ρR1(A)=ρR2(A)=0.367,但明顯知識R1比知識R2粗糙. 應用新的粗糙度的度量公式,進一步計算, 由于

所以

RoughnessR1(A)=ρR1(A)GD(R1)=0.131,

RoughnessR2(A)=ρR2(A)GD(R2)=0.095.

說明劃分越細,粗糙度越小,符合人們的直觀認識.

3 結束語

粗糙集的不確定性由集合X本身及近似空間2個方面確定,將這2個方面合理地結合起來是解決粗糙集不確定性問題的有力工具.本文指出了Pawlak粗糙度在屬性粗糙集粗糙性度量中的不足,將近似空間中的知識粒度與Pawlak粗糙度相結合,提出了屬性粗糙集粗糙性的一種度量方法,并證明了新的粗糙度隨著劃分加細粗糙度變小這一結論.通過舉例說明這種新的度量方法克服了Pawlak粗糙集粗糙度的局限性,為屬性粗糙集的應用提供了理論依據(jù).

[1] Dubois D, Prade H. Rough fuzzy sets and fuzzy rough sets[J]. International Journal of General Systems, 1990, 17: 191- 208.

[2] Morsi N N, Yak M M. Axiomatics for fuzzy rough sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1998, 100: 327-342.

[3] 張淮中.Bayes決策的概率型粗糙集模型[J].小型微型計算機系統(tǒng),2004,25(3):407-409.

[4] 張文修,吳偉志.基于隨機集的粗糙集模型(I)[J].西安交通大學學報,2000,34(12):75-79.

[5] 程乾生.屬性集和屬性綜合評價系統(tǒng)[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,1997,9:1-9.

[6] 程乾生.屬性識別理論模型及其應用[J].北京大學學報:自然科學版,1997,33(1):12-20.

[7] 程乾生.屬性數(shù)學——屬性測度和屬性統(tǒng)計[J].數(shù)學的實踐與認識,1998,28(2):97-107.

[8] 郭志林.屬性測度空間的粗糙集模型[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2009,23(2):162-166.

[9] 郭志林.雙向S-屬性粗糙集模型[J].山東大學學報:理學版,2010,45(12):117-121.

[10] 郭志林.雙向S-屬性粗糙集及其性質[J].山西大學學報:自然科學版,2010,33(4):513-518.

[11] 王國胤,張清華.不同知識粒度粗糙集的不確定性研究[J].計算機學報,2008,31(9):1588-1597.

[12] 解濱,李磊軍,米據(jù)生.基于知識粒度的粗糙集的不確定性度量[J].計算機科學,2010,37(9):225-228.

(責任編輯 李春梅)

A New Method for Measuring Roughness of Attribute Rough Sets

GUO Zhi-lin, WANG Ning

(School of Mathematics and Information Science, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

Based on the fact that the uncertainty of rough sets is closely related to the knowledge granularities of the same approximation space, a new method for measuring the roughness of attribute rough sets is proposed by integrating the traditional roughness with knowledge granularities. We discuss the properties of this measure and prove that this new roughness is decreasing with the refinement of knowledge granularities in approximation space.

attribute rough set; attribute measure; knowledge granularity; roughness measure

1004-8820(2015)04-0235-04

10.13951/j.cnki.37-1213/n.2015.04.001

2015-01-08

國家自然科學基金資助項目(61179038); 河南省自然科學基金資助項目(132300410391).

郭志林(1963- ),男,回族,山東曹縣人,教授,研究方向為粗糙集理論及應用.

O159

A