張 敏，曹小紅，吳學(xué)儷

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

上三角算子矩陣的Wely型定理的攝動

張 敏，曹小紅*，吳學(xué)儷

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

根據(jù)給定的兩個算子的半Fredholm譜及Weyl譜的結(jié)構(gòu)特點，研究了以這兩個給定算子為主對角線的所有的2×2上三角算子矩陣的Browder定理(或Weyl定理)的攝動。給出了2×2上三角算子矩陣滿足Browder定理(或Weyl定理)的緊攝動的充要條件。

Browder定理；Weyl定理；緊攝動；譜

1 預(yù)備知識

本文中H與K均表示無限維復(fù)可分的Hilbert空間，B(H，K)表示H到K上的有界線性算子的全體，記B(H，H)=B(H)，K(H)表示H上的所有緊算子構(gòu)成的雙邊理想。對T∈B(H)，令N(T)和R(T)分別表示算子T的零空間和值域。T∈B(H)稱為上半Fredholm算子，若R(T)閉且n(T)=dimN(T)有限；特殊地，當n(T)=0且R(T)閉時，稱T為下有界算子。T∈B(H)稱為下半Fredholm算子，若R(T)閉且n(T*)有限，其中T*表示T的共軛算子。當T∈B(H)為上半或者下半Fredholm算子時，T的指標記為ind(T)=n(T)-n(T*)。當-∞

2 Browder定理(Weyl定理)的攝動

1909年，Weyl[1]在檢查Hermitian算子T的譜時發(fā)現(xiàn)，T的所有緊攝動的譜集的交集等于其孤立的有限重特征值的全體。這個性質(zhì)后來被稱作為Weyl定理，即算子T∈B(H)滿足σ(T)σw(T)=π00(T)其中π00(T)={λ∈isoσ(T):0

設(shè)T∈B(H)，對λ∈ρSF(T),T-λI的最小指標定義為

minind(T-λI)=min{n(T-λI),n((T-λI)*)}

為討論上三角算子矩陣的Browder定理(Weyl定理)的緊攝動，先看幾個引理。

引理1設(shè)T∈B(H)，則T滿足Browder定理的緊攝動當且僅當ρSF(T)僅有一個指標為0的連通分支。

反之，假設(shè)ρSF(T)僅有一個指標為0的連通分支Ω。由于對任意K∈K(H),有ρSF(T)=ρSF(T+K),則首先證明對任意的K∈K(H),Ω=ρ(T+K)∪B,其中ρ(T+K)=Cσ(T+K),m(B)=0。因為ρ(T+K)?Ω且函數(shù)λ→minind(T+K-λI)=n(T+K-λI)在ρSF(T)的每一個連通分支上除去一個至多可數(shù)集B后是常值函數(shù)(文獻[10]，推論1.14)，從而得出Ω=ρ(T+K)∪B，其中m(B)=0。由于σ(T+K)σw(T+K)?Ω且m(B)=0，則可證明對任意K∈K(H)，T+K都滿足Browder定理。

ρSF(T)僅有一個指標為0的連通分支等價于ρw(T)連通，于是引理1可以敘述為：設(shè)T∈B(H)，則T滿足Browder定理的緊攝動當且僅當ρw(T)連通。

引理2存在C∈B(K，H)使得2×2上三角算子矩陣MC為Weyl算子的充要條件是A∈B(H)為上半Fredholm算子，B∈B(K)為下半Fredholm算子且下列條件之一成立：

(a)d(A)<∞,n(B)<∞且n(A)+n(B)=

d(A)+d(B);

(b)d(A)=n(B)=∞。

證明必要性很顯然。對于充分性，只需要證明當d(A)=n(B)=∞時結(jié)論成立即可。為此，分三種情況進行討論。

(Ⅰ) 設(shè)n(A)=d(B)。

因為N(B)和R(A)⊥都可分且維數(shù)相同，則存在算子T，滿足以N(B)為定義域，以R(A)⊥為值域且對任意y∈N(B)，都有‖Ty‖=‖y‖。定義算子C：K→H為

下面證明MC為Weyl算子。

(1)n(MC)=n(A)<∞。

(2)R(MC)為閉的。

由上面的證明可知MC為上半Fredholm算子。下面只需證明n(MC*)=d(B)=n(A)<∞。

由上面證明可知MC為Weyl算子。

(Ⅱ) 設(shè)n(A)>d(B)。

設(shè)N(A)=M⊕N，其中dimM=d(B)。令E?R(A)⊥滿足dimE=dimN<∞。由R(A)⊥為無窮維知,(R(A)⊕E)⊥=R(A)⊥∩E⊥為無窮維的。由于N(B)和(R(A)⊕E)⊥都可分且

n(B)=dim(R(A)⊕E)⊥=∞，

則存在算子T，滿足以N(B)為定義域，以(R(A)⊕E)⊥為值域且對任意y∈N(B)，有‖Ty‖=‖y‖。定義算子C:K→H為

下面證明MC為Weyl算子。

(1)n(MC)=n(A)<∞。

由R(C)?(R(A)⊕E)⊥=R(A)⊥∩E⊥?R(A)⊥，類似于情況(I)中的證明，可證得

n(MC)=n(A)。

(2) 類似于(Ⅰ)，可證得R(MC)為閉的。

由上證明可知MC為Weyl算子。

(Ⅲ) 設(shè)n(A)

下面給出文章的一個主要定理。

定理1設(shè)A∈B(H),B∈B(K)給定，則任給C∈B(K,H)，MC滿足Browder定理的緊攝動當且僅當下列條件成立：

(1)ρw(A)∩ρw(B)連通；

(2)M0滿足Browder定理；

(3)F={λ∈C：A-λI是上半Fredholm算子，B-λI是下半Fredholm算子，d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=?。

證明充分性。由引理1，只需證明對任給的C∈B(K,H),ρw(MC)連通。為此需要證明對任給的C∈B(K,H)，ρw(MC)=ρw(A)∩ρw(B)。包含關(guān)系ρw(A)∩ρw(B)?ρw(MC),顯然成立。設(shè)λ∈ρw(MC)，則A-λI為上半Fredholm算子，B-λI為下半Fredholm算子,且n(A-λI)+n(B-λI)=d(A-λI)+d(B-λI)。由于F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子，B-λI是下半Fredholm算子，d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=?，則d(A-λI)<∞且n(B-λI)<∞。于是M0為Weyl算子。由于M0滿足Browder定理，所以A-λI和B-λI均為Weyl算子，即λ∈ρw(A)∩ρw(B)。這樣，就證明了對任給的C∈B(K,H),ρw(MC)=ρw(A)∩ρw(B)，所以ρw(MC)連通。由引理1，任給C∈B(K,H)，MC滿足Browder定理的緊攝動。

目前各種計算機網(wǎng)絡(luò)安全問題層出不窮，特別是信息的泄露給用戶帶來了非常大的負面影響。信息的泄露指的就是用戶的一些保密信息被不法分子非法的竊取。隨著時代的不斷進步和電子技術(shù)與各種高端信息技術(shù)的快速的發(fā)展，隨之而來的是人們的各種信息安全無法得到有效的保障。出現(xiàn)這種現(xiàn)象有很多種可能性，比如說內(nèi)部的資料被偷竊、存儲設(shè)備意外丟失等。因此現(xiàn)代人的信息安全已經(jīng)成為不可忽視的一個問題，信息泄露已經(jīng)直接損害到用戶的利益。

?[σ(A)∪σ(B)]∩ρw(MC0)?σ0(A)∪σ0(B)?

isoσ(A)∪isoσ(B),

注解1定理1中條件(1)—(3)缺一不可。

(1) 條件“ρw(A)∩ρw(B)連通”是本質(zhì)的。

1)ρw(A)∩ρw(B)={λ∈C:|λ|<1}∪{λ∈C:|λ|>1|不連通；

2) 由于σ(M0)=σw(M0)=σb(M0)={λ∈C:|λ|=1},則M0滿足Browder定理；

3)F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子，B-λI是下半Fredholm算子，

d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=?。

于是定理1中條件(1)不滿足而條件(2)和(3)均滿足。但是由于ρw(M0)={λ∈C:|λ|<1}∪{λ∈C:|λ|>1}不連通，事實上可以證明對任意的C∈B(l1,l1),ρw(MC)={λ∈C:|λ|<1}∪{λ∈C:|λ|>1}均不連通。于是由引理1知任給C∈B(l1,l2)，MC均不滿足Browder定理的緊攝動。

(2) 顯然,條件“M0滿足Browder定理”是本質(zhì)的；

(3) 條件“F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子，B-λI是下半Fredholm算子，d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=?”是本質(zhì)的。

例如，設(shè)A、B∈B(l2,l2)定義為

A(x1,x2,x3,…)=(0,x1,0,x2,0,x3,…),

B(x1,x2,x3,…)=(x2,x4,x6,…),

則

1)ρw(A)∩ρw(B)={λ∈C:|λ|>1}連通；

2) 由于σ(M0)=σw(M0)=σb(M0)={λ∈C:|λ|≤1}，則M0滿足Browder定理；

3)F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子，B-λI是下半Fredholm算子，d(A-λI)=n(B-λI)=∞}={λ∈C:|λ|<1}≠?。

{λ0}∪{λ∈C:|λ|>1}?ρw(MC)，

{λ∈C:|λ|=1}∩ρw(MC)=?。

因此，對算子矩陣MC,ρw(MC)一定不連通，則MC不滿足Browder定理的緊攝動。

例1設(shè)A1、B1∈B(l2)定義為

A1(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…),

B1(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…),

(1)ρw(A)∩ρw(B)={λ∈C:|λ-1|>1}∪{λ∈C:|λ+1|>1}連通；

(2) 由于σw(M0)=σb(M0)={λ∈C:|λ-1|≤1}∪{λ∈C:|λ+1|≤1}，則M0滿足Browder定理；

(3) 易證F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子，B-λI是下半Fredholm算子，

d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=?，

由定理1，任給C∈B(l2,l2)，MC滿足Browder定理的緊攝動。

下面討論算子矩陣的Weyl定理的緊攝動。

定理2設(shè)A∈B(H),B∈B(K)給定，則任給C∈B(K,H)，MC都滿足Weyl定理的緊攝動當且僅當下列條件成立：

(1)ρw(A)∩ρw(B)連通；

(2)M0滿足Browder定理；

(3)F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子，B-λI是下半Fredholm算子，

d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=?;

(4) isoσw(M0)=iso[σw(A)∪σw(B)]=?。

證明設(shè)任給C∈B(K,H)，MC都滿足Weyl定理的緊攝動，由定理1及文獻[13]中定理1.4可知(1)—(4)均成立。反之，只需證明對任意的C∈B(K,H)以及任給緊算子K?B(H,K)，π00(MC+K)?[σ(MC+K)σw(MC+K)]。若λ0∈π00(MC+K)∩σw(MC+K)，則λ0∈isoσw(MC+K)。由σw(MC+K)=σw(MC)知λ0∈isoσw(MC)。由定理1的證明知任給C∈B(K,H)，σw(MC)=σw(M0)=σw(A)∪σw(B)，于是λ0∈isoσw(M0)。這就與isoσw(M0)=iso[σw(A)∪σw(B)]=?相矛盾，所以π00(MC+K)∩σw(MC+K)=?，即π00(MC+K)?ρw(MC+K)。因而π00(MC+K)?[σ(MC+K)σw(MC+K)]，這樣就證明了任給C∈B(K,H)及任給緊算子K∈B(H,K)，σ(MC+K)σw(MC+K)=π00(MC+K)，即MC滿足Weyl定理的緊攝動。

對例1中定義的算子A、B，計算得isoσw(M0)=iso[σw(A)∪σw(B)]=?，于是任給C∈B(l2,l2),MC都是滿足Weyl定理的緊攝動。

注解2在定理2中，條件“isoσw(M0)=iso[σw(A)∪σw(B)]=?”仍然是本質(zhì)的。

例如，設(shè)算子A1、B1、T1∈B(l2,l2)定義為

A1(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…),

B1(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…),

(1)ρw(A)∩ρw(B)=C[{-4}∪{λ∈C:|λ-I|≤1}∪{λ∈C:|λ+1|≤1}連通；

(2) 由于σw(M0)=σb(M0)，則M0滿足Browder定理；

(3) 易證F={λ∈C:A-λI是上半Fredholm算子，B-λI是下半Fredholm算子，

d(A-λI)=n(B-λI)=∞}=?;

(4) isoσw(M0)={-4}。

由上面計算可知定理2中的(1)—(3)都滿足但是條件(4)不滿足。任給C∈B(l2,l2)，計算可知σ(MC)=σw(MC)={-4}∪{λ∈C:|λ-1|≤1}∪{λ∈C:|λ+1|≤1}。

由于N(MC+4I)={0}⊕N(T1)⊕{0}，于是π00(MC)={-4}。顯然σ(MC)σw(MC)≠π00(MC)，即MC不滿足Weyl定理，于是不滿足Weyl定理的緊攝動。

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〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

The perturbation of Weyl type theorem for upper triangular operator matrices

ZHANG Min, CAO Xiaohong*, WU Xueli

(School of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China)

According to the structure of characteristics of semi-Fredholm spectrum and Weyl spectrum of two given operators, the perturbation of Browder′s theorem (or Weyl′s theorem) for 2×2 upper triangular operator matrices with the two given operators as the main diagonal is researched. The sufficient and necessary condition for operator matrices satisfying the compact perturbation of Browder′s theorem (or Weyl′s theorem) are given.

Browder′s theorem; Weyl′s theorem; compact perturbation; spectrum

47A53,47A10,47A55

1672-4291(2015)04-0010-06

10.15983/j.cnki.jsnu.2015.04.143

2014-10-15

國家自然科學(xué)基金(11471200,11371012); 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(GK201301007)

張敏,女,碩士研究生,研究方向為算子理論。E-mail:mink.j@163.com

*通信作者：曹小紅，女，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:xiaohongcao@snnu.edu.cn

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