李 煉,潘盛山

(大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部,遼寧 大連 116024)

基于實(shí)驗(yàn)和數(shù)值方法的橡膠材料本構(gòu)模型分析

李 煉,潘盛山

(大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部,遼寧 大連 116024)

為探尋目前用于土木工程減隔震方面的基于唯象理論的Neo-Hookea模型、Mooney-Rivilin模型和Yeoh模型三種橡膠本構(gòu)模型在有限元分析中的匹配程度,先對橡膠進(jìn)行靜力加載實(shí)驗(yàn),然后通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理得到三種本構(gòu)模型各自的參數(shù),并將三種模型參數(shù)分別代入到有限元軟件進(jìn)行分析計(jì)算,最后將得到的三種模型下的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比.分析結(jié)果表明,在橡膠壓縮時(shí),Neo-Hookea模型適用于壓應(yīng)變?yōu)?～45%的范圍,Mooney-Rivilin模型和Yeoh模型適用于壓應(yīng)變?yōu)椤?0%的范圍.研究對橡膠壓縮時(shí)如何選擇本構(gòu)模型做出了解答,過程中所采用的研究方法和研究結(jié)果也有一定的借鑒意義和實(shí)用價(jià)值.

橡膠; 本構(gòu)模型; 加載試驗(yàn); 有限元模擬; 靜態(tài)特性; 參數(shù)

目前橡膠材料在工程中應(yīng)用廣泛,在建筑材料領(lǐng)域有利用其制成輕質(zhì)、彈性好、韌性高、抗沖擊的橡膠混凝土[1],在結(jié)構(gòu)減隔震領(lǐng)域有利用其超彈性和黏彈性來研發(fā)減隔震裝置.現(xiàn)如今在結(jié)構(gòu)減隔震領(lǐng)域里,橡膠構(gòu)件的設(shè)計(jì)中主要采用一些復(fù)雜的數(shù)值技術(shù).隨著計(jì)算力學(xué)的發(fā)展和橡膠在工程中應(yīng)用的日漸廣泛,需要采用更精確、實(shí)用且能與有限元理論相融合的本構(gòu)模型[2].基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)唯象理論,橡膠常用的本構(gòu)關(guān)系模型有N次多項(xiàng)式模型和Ogden模型,通過實(shí)驗(yàn)方法獲得相關(guān)模型參數(shù)是對橡膠制品進(jìn)行性能分析的關(guān)鍵所在[3].在這兩種模型中,N次多項(xiàng)式模型使用范圍廣,可通過改變多項(xiàng)式階數(shù)和系數(shù)以適應(yīng)小、中、大各階段的應(yīng)變,如Neo-Hookea模型、Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型.而Ogden模型更多的用于拉伸情況下的超大應(yīng)變的模擬,應(yīng)變水平可達(dá)到700%.該模型擁有更高階的參數(shù),需要在擬合時(shí)提供足夠多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),但同時(shí)也容易出現(xiàn)擬合數(shù)值困難.鑒于此,本文主要以適合中小應(yīng)變的N次多項(xiàng)式模型為研究對象,通過對橡膠制品進(jìn)行靜力加載試驗(yàn),并運(yùn)用Origin軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理,求得各類本構(gòu)關(guān)系的參數(shù)后在ANSYS軟件中進(jìn)行數(shù)值分析,將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證,以了解各本構(gòu)模型與數(shù)值計(jì)算的契合程度,為工程應(yīng)用提供借鑒.

1 橡膠本構(gòu)關(guān)系理論

實(shí)驗(yàn)所用的材料是典型的超彈性材料,是由共價(jià)鍵連接而成的長鏈分子物,分子鏈之間在許多節(jié)點(diǎn)上通過化學(xué)鍵相連而成,并形成交聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[4].理論上通常采用應(yīng)變能函數(shù)W=W(I1,I2,I3)來對該類超彈性材料的物理性質(zhì)進(jìn)行表達(dá),其中I1,I2,I3是Green應(yīng)變張量第一、第二和第三主不變量.對于單位立方體塊,如果受力后變成邊長分別為λ1,λ2,λ3的長方體,則[5]

(1)

又對于不可壓縮材料,

(2)

故

(3)

因?yàn)閱屋S壓縮時(shí)另兩個(gè)方向自由,設(shè)壓縮應(yīng)變?yōu)棣?則有

(4)

將式(2)、式(4)代入式(1)可得:

(5)

將式(5)代入應(yīng)變能關(guān)系式并對應(yīng)變張量求導(dǎo)可得到單軸壓縮時(shí)橡膠應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式[6]

(6)

(7)

(8)

下標(biāo)NH1、MR1、Y1分別對應(yīng)Neo-Hookea模型、Mooney-Rivilin模型和Yeoh模型.CNH1、C10、C1等為各模型對應(yīng)的參數(shù).

2 橡膠圓柱體實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí) 驗(yàn)

傳統(tǒng)的橡膠實(shí)驗(yàn)為了確定橡膠材料的應(yīng)變能函數(shù)以及對應(yīng)的參數(shù),在考慮橡膠完全或近似不可壓縮的前提下,需對橡膠進(jìn)行三種模式的實(shí)驗(yàn)[7]:單軸向拉伸實(shí)驗(yàn);平面剪切實(shí)驗(yàn);等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn).

本實(shí)驗(yàn)由于條件所限,沒有采取傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)方法,而是對橡膠進(jìn)行單軸壓縮試實(shí)驗(yàn)[8].實(shí)驗(yàn)橡膠為天然橡膠,其硬度為60,將其制成直徑為0.2 m,高為0.2 m的圓柱體試件.實(shí)驗(yàn)時(shí)橡膠柱上下表面各墊有傳壓鋼板以及光滑的有機(jī)玻璃板以起到減小摩擦的作用.將制成的試件放在WAW-1000B微機(jī)控制電液伺服萬能實(shí)驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行靜載壓縮,在室溫條件下以20 mm/min的速度施加豎向壓縮位移,當(dāng)位移達(dá)到129 mm時(shí)停止加載.如此反復(fù)連續(xù)加載卸載共三次,前兩次可視為實(shí)驗(yàn)機(jī)調(diào)節(jié),記錄最后一次應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)值.前后一共進(jìn)行了三組實(shí)驗(yàn),取三組實(shí)驗(yàn)的平均值作為最后的實(shí)驗(yàn)值.

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 單軸壓縮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table1 The experimental data of uniaxial compression

導(dǎo)出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)運(yùn)用Origin進(jìn)行處理,得到曲線如圖1所示.

實(shí)驗(yàn)所測得的應(yīng)力

(9)

式中:F為所受載荷;A0為初始受壓面積.

實(shí)驗(yàn)所測得的應(yīng)變

(10)

式中:Δl為壓縮量;l0為初始高度.

圖1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)曲線Fig.1 The curve of experimental data point

繪制的曲線為名義應(yīng)力應(yīng)變曲線.由于在ANSYS中所得的結(jié)果均采用的是Cauchy應(yīng)力與Cauchy應(yīng)變(即真應(yīng)力與真應(yīng)變),所以在讀取ANSYS計(jì)算結(jié)果時(shí)需要將對應(yīng)的真應(yīng)力、真應(yīng)變轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的名義應(yīng)力和名義應(yīng)變.它們之間換算關(guān)系為[9]

(11)

(12)

式中,σtrue,εtrue,σnom,εnom分別為真應(yīng)力、真應(yīng)變、名義應(yīng)力、名義應(yīng)變.

2.2 參數(shù)擬合

通過實(shí)驗(yàn)得到應(yīng)力應(yīng)變區(qū),先后用Origin軟件進(jìn)行該曲線擬合,如圖2所示,擬合目標(biāo)方程為式(6)～式(8).

圖2 擬合曲線圖

擬合結(jié)果以及所得各參數(shù)如下:

N-H模型CNH1=0.458,擬合曲線相關(guān)系數(shù)R=0.973 6;

M-R模型C10=0.272,C01=0.080 8,擬合曲線相關(guān)系數(shù)R=0.983 8;

Y模型C1=0.529,C2=-0.097,C3=0.025,擬合曲線相關(guān)系數(shù)R=0.998 5.

3 有限元數(shù)值模擬

用ANSYS有限元分析軟件進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí),橡膠單元采用Solid185單元,該單元用于3D實(shí)體結(jié)構(gòu),可模擬幾乎不可壓縮材料的彈塑性行為和完全不可壓縮材料的超彈性行為,其材料屬性分別按照Neo-Hookea模型、Mooney-Rivilin模型和Yeoh模型進(jìn)行定義.為了方便計(jì)算,由于圓柱體的對稱性,只建1/4圓柱模型.建模時(shí)在模型底面施加豎向約束,在頂面施加向下的強(qiáng)制位移載荷(129 mm).如圖3所示.

算完后通過/post26時(shí)間歷程后處理導(dǎo)出各本構(gòu)模型對應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果,按照式(11)、式(12)轉(zhuǎn)為名義應(yīng)力和名義應(yīng)變并與實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行對比,如圖4所示.

圖3 ANSYS橡膠有限元模型圖Fig.3 The finite-element model of rubber

圖4 實(shí)驗(yàn)與有限元結(jié)果對比圖Fig.4 The comparison chart of the finite-elementresult and experiment data

表2 初始彈性模量對比表(0≤ε≤0.3)Table2 The comparison Tableof the initial elastic modulus

表3 有限元數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比表Table3 The comparison Tableof the finite element value and the experiment value

續(xù)表3

應(yīng)變實(shí)驗(yàn)應(yīng)力/MPaN-H應(yīng)力與實(shí)驗(yàn)應(yīng)力差/MPaM-R應(yīng)力與實(shí)驗(yàn)應(yīng)力差/MPaY應(yīng)力與實(shí)驗(yàn)應(yīng)力差/MPa0.3871.742-0.1221.1131.3400.4522.233-0.2691.3621.3010.5163.029-0.6661.5011.1240.5814.617-1.7691.1630.7500.6458.244-4.772-0.6680.190

將上述各個(gè)模型應(yīng)力與實(shí)驗(yàn)應(yīng)力差形成的數(shù)組求二范數(shù)(記范數(shù)1),同時(shí)取各組前5個(gè)數(shù)組成的數(shù)組,再求一次二范數(shù)(記范數(shù)2).

范數(shù)1: ‖NH‖2=5.14; ‖MR‖2=2.92; ‖Y‖2=3.05.

范數(shù)2: ‖NH‖2=0.125; ‖MR‖2=1.17; ‖Y‖2=1.99.

對實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析的結(jié)果進(jìn)行總結(jié).

(1) 橡膠在剛開始受壓時(shí)(ε≤0.3)本構(gòu)關(guān)系呈線性,其初始彈性模量約為E=4.25 MPa.當(dāng)應(yīng)變?chǔ)拧?.5時(shí)彈性模量急劇增大,說明在中等應(yīng)變的時(shí)候橡膠已經(jīng)開始進(jìn)入壓縮硬化狀態(tài),應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再是線性.

(2) 在運(yùn)用Origin對三個(gè)理論本構(gòu)關(guān)系式進(jìn)行擬合時(shí)發(fā)現(xiàn),單從曲線整體上看,三擬合曲線都能與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線較好地匹配.從曲線相關(guān)系數(shù)來看,Yeoh模型結(jié)果最好,Neo-Hookea模型最差.

(3) 通過對有限元計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比得出的初始壓縮剛度和二范數(shù)可知,Neo-Hookea模型在小應(yīng)變階段(0≤ε≤0.45)幾乎與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)重合,能十分完好地模擬出其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系;而當(dāng)進(jìn)入到中等應(yīng)變階段(ε≥0.6)后,Mooney-Rivilin模型和Yeoh模型開始逐漸與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線靠近,其中Yeoh模型效果更好.故在進(jìn)行數(shù)值分析時(shí),若是對橡膠進(jìn)行小應(yīng)變的壓縮(ε≤0.45),可采用Neo-Hookea模型且能得到很好的結(jié)果;若是處在中等應(yīng)變階段(ε≥0.6),用Mooney-Rivilin模型和Yeoh模型進(jìn)行模擬較合適.

4 工程實(shí)例分析

為了驗(yàn)證上述三類本構(gòu)關(guān)系的實(shí)用性,以大連理工大學(xué)橋梁工程研究所某次板式橡膠支座實(shí)驗(yàn)為例進(jìn)行分析.該板式橡膠支座為實(shí)驗(yàn)所用支座組中的一個(gè),所用橡膠與前面做壓縮實(shí)驗(yàn)所用的橡膠屬同一廠家生產(chǎn),均為天然橡膠,規(guī)格也相同.支座橡膠層為三層,每層厚度35 mm,長寬均為600 mm.內(nèi)加勁鋼板層共兩層,每層厚度10 mm,長寬均為600 mm,頂?shù)酌驿摪鍖雍穸葹?0 mm,長寬均為700 mm.支座模型如圖5.

圖5 板式橡膠支座有限元模型圖Fig.5 The finite-element model of laminaterubber bearing

建模時(shí)鋼板采用Solid65單元,彈性模量為210 GPa,泊松比υ=0.3;橡膠采用Solid185單元,分別采用Neo-Hookea模型、Mooney-Rivilin模型和Yeoh模型來定義其材料屬性.為了驗(yàn)證支座的壓縮性能,在支座頂層鋼板施加6 MPa的壓應(yīng)力,通過有限元計(jì)算后得出對應(yīng)于橡膠各個(gè)本構(gòu)模型下的支座豎向位移.

ΔY=3.58mm.

同時(shí),依據(jù)JTGD62—2004《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定,橡膠支座的抗壓彈性模量和形狀系數(shù)按下式計(jì)算:

式中:Ee為支座抗壓彈性模量(MPa);S為支座形狀系數(shù);Ge為支座剪變模量,常溫下Ge=1.0 MPa;lo a、lo b分別為支座加勁鋼板短邊和長邊尺寸.當(dāng)支座頂面施加6 MPa壓應(yīng)力時(shí),由規(guī)范中公式計(jì)算支座豎向位移為Δ0=10 mm.

將有限元計(jì)算值與理論計(jì)算值對比見表4.

由表4可看出,在板式橡膠支座的有限元模擬中,采用Neo-Hookea模型對支座橡膠層進(jìn)行模擬更為接近理論值,而Mooney-Rivilin模型和Yeoh模型計(jì)算所得誤差都較大,這也與前面得出的三種本構(gòu)模型在模擬小應(yīng)變狀態(tài)下橡膠的受力情況吻合.

該工程實(shí)例所得的結(jié)果與前面所得橡膠三種本構(gòu)關(guān)系的結(jié)論相一致,很好地解釋了在板式橡膠支座受壓時(shí)橡膠層采用何種本構(gòu)模型更為適合.事實(shí)上,由于JTGD62—2004《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定板式支座最大壓應(yīng)力不超過10 MPa,所以在使用時(shí)支座的豎向變形都是很小的,工程中板式橡膠支座在受力時(shí)更多的需要橡膠層提供較大的橫向剪切應(yīng)變而不是豎向應(yīng)變.根據(jù)本文前面得到的結(jié)論,在板式橡膠支座中采用Neo-Hookea模型來模擬橡膠層是合理的,也是與實(shí)際情況相符的.

表4 豎向位移值對比表Table4 The comparison Tableof the vertical displacement

5 結(jié) 語

本次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果數(shù)據(jù)僅限于本實(shí)驗(yàn)所用橡膠,由于實(shí)驗(yàn)過程中存在摩擦力、實(shí)驗(yàn)加載速度等多方面因素的影響,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元計(jì)算存在一定的偏差,但是仍從整體上對有限元計(jì)算中如何選取本構(gòu)模型給出了相應(yīng)的分析和回答,具有一定的普適性.本文在研究過程中采用了由實(shí)驗(yàn)到理論再到數(shù)值計(jì)算的研究方法.首先對橡膠進(jìn)行靜力加載實(shí)驗(yàn)得到應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線,然后通過已有的橡膠本構(gòu)關(guān)系理論來得到與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符合的三種常用的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式,再將得到的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式代入到有限元中進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,最后將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對比.與此同時(shí),本文還將所得的結(jié)論用于工程實(shí)例中,發(fā)現(xiàn)所得結(jié)論能很好地與工程實(shí)例結(jié)果相吻合,這也從一定程度上反映了該研究成果的意義.總體上說來,本文的研究結(jié)果表明了橡膠壓縮時(shí)與各類本構(gòu)模型相適應(yīng)的程度,結(jié)論具有一定的借鑒意義,對工程實(shí)踐也具有指導(dǎo)作用.在后續(xù)的研究中,將進(jìn)一步分析橡膠加載、卸載時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線,通過應(yīng)力應(yīng)變滯回曲線結(jié)合有限元數(shù)值計(jì)算的方法考察橡膠的黏滯性,探尋橡膠的減隔震性能以為開發(fā)新的橡膠類減隔震產(chǎn)品提供理論基礎(chǔ).

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【責(zé)任編輯: 祝 穎】

Constitutive Model of Rubber Material Based on Experiment and Numerical Method

LiLian,PanShengshan

(Faculty of Infrastructure Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116023,China)

To study the matching degree of Neo-Hookea model,Mooney-Rivilin model and Yeoh model,which are based on phenomenological theory and used in seismic mitigation and absorption,in finite element analysis,the static loading test on rubber were done,then the respective parameters of each constitutive model were got by processing the experimental data,and the parameters of the three models were substituted into the finite element analysis software to analysis and calculate.The results show that,when the rubber is compressed,Neo-Hookea model is suiTablefor a range of 0～45% of compressive strain,and the Mooney-Rivilin model and Yeoh model is suiTablefor compressive strain of more than 60%.This research explained the choosing of constitutive model for rubber compression,and the research methods and results used in the process also has a certain significance and practical value.

rubber; constitutive model; loading test; finite-element simulation; static characteristics; parameters

2015-01-31

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51108058).

李 煉(1987-),男,湖北黃岡人,大連理工大學(xué)碩士研究生.

2095-5456(2015)04-0267-06

TU 533

A