王新宏

縱觀2014年的高考試卷，出現了不少函數創(chuàng)新試題，這類試題新穎別致，構思精妙，極富思考性和挑戰(zhàn)性，同時解法更靈活，考查更全面，思維更廣闊，給人耳目一新的感覺，這類問題的解答是一種藝術的體現，也是智慧的表現.只有多方著力，尋求轉化與突破，方能“會當凌絕頂，一覽眾山小”.為此本文就這類函數創(chuàng)新試題進行透視剖析，探索解決問題的規(guī)律與方法.

一、“定義型”函數創(chuàng)新試題

“定義型”函數創(chuàng)新試題是指通過給出閱讀材料，設計一個陌生的數學情境，引出一種函數新概念，一種新函數的定義，一個函數新性質的試題，是近幾年高考函數創(chuàng)新試題命題的一種趨勢.求解“定義型”函數創(chuàng)新試題首先要讀懂題意，準確理解給出的新定義；然后利用已學知識把其轉化為熟悉的數學問題，膽大心細，追根溯源，變“柳暗”為“花明”，化“復雜”為“簡單”地解決問題.

1.函數新概念

畫出以上三種情形的圖象，即可知選項A正確.

點評此題形式新穎，細看背景熟悉，由橢圓定義演變，嫁接而成，給人耳目一新之感；考查對新概念的理解和應用，意在考查考生處理新問題的能力，轉化與化歸的能力，數形結合能力；有效地檢測了考生對中學數學知識所蘊含的數學思想和方法的掌握程度以及考生今后的學習潛能.

例2（2014年湖北理科第14題）.設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，且f（x）>0，對任意a>0，b>0，若經過點（a，f（a）），（b，-f（b））的直線與x軸的交點為（c，0），則稱c為a，b關于函數f（x）的平均數，記為Mf（a，b），例如，當f（x）=1（x>0）時，可得Mf（a，b）=c=a+b2，即Mf（a，b）為a，b的算術平均數.

（1）當f（x）=（x>0）時，Mf（a，b）為a，b的幾何平均數；

（2）當f（x）=（x>0）時，Mf（a，b）為a，b的調和平均數2aba+b；

（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數即可）

分析透徹理解函數f（x）的平均數Mf（a，b）的概念是求解的關鍵，為此此題要類比推理求解.

解設A（a，f（a）），B（b，f（b）），C（c，0），則三點共線；

（1）依題意，c=ab，則0-f（a）c-a=0+f（b）c-b，即0-f（a）ab-a=0+f（b）ab-b，因為a>0，b>0，所以化簡得f（a）a=f（b）a，故可設f（x）=x（x>0）；

（2）依題意，c=2aba+b，則0-f（a）2aba+b-a=0+f（b）2aba+b-b，因為a>0，b>0，所以化簡得f（a）a=f（b）b，故可設f（x）=x（x>0）；

點評此題考查考生接受新知識并應用新知識解題的能力以及類比推理能力，是一道難易適中，意雋味濃的信息遷移試題；當然解決本題需要一定的知識儲備與數學靈氣.

2.定義新函數

例3（2014年山東理科第15題）.已知函數y=f（x）（x∈R），對函數y=g（x）（x∈I），定義g（x）關于f（x）的“對稱函數”為函數y=h（x）（x∈I），y=h（x）滿足：對任意x∈I，兩個點（x，h（x））.（x，g（x））關于點（x，f（x））對稱，若h（x）是g（x）=4-x2關于f（x）=3x+b的“對稱函數”，且h（x）>g（x）恒成立，則實數b的取值范圍是.

解析函數g（x）的定義域為[-2，2]，根據已知得：f（x）=h（x）+g（x）2，所以

h（x）=2f（x）-g（x）=6x+2b-4-x2，因為h（x）>g（x）恒成立，即6x+2b-4-x2>4-x2恒成立，即3x+b>4-x2恒成立，為此令y=3x+b，y=4-x2，則只要直線y=3x+b在半圓x2+y2=4（y≥0）的上方即可，由|b|10>2，得b>210（舍去負值），故實數b的取值范圍是（210，+∞）.

點評此題主要考查“對稱函數”新定義，由點關于點的對稱點定義演變而來，可以說背景熟悉公平，也考查了直線與圓的位置關系等基礎知識；著重考查考生的閱讀理解能力與解決含參數的不等式恒成立問題的能力，也考查了考生在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識.

3.函數新性質

例4（2014年四川理科第15題）.以A表示值域為R的函數組成的集合，B表示具有如下性質的函數φ（x）組成的集合：對于函數φ（x），存在一個正數M，使得函數φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M].例如，當φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx時，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.現有如下命題：

①設函數f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”的充要條件是“b∈R，a∈D，f（a）=b”；

②函數f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值；

③若函數f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）B；

④若函數f（x）=aln（x+2）+xx2+1（x>-2，a∈R）有最大值，則f（x）∈B.

其中的真命題有 .（寫出所有真命題的序號）

解析對于①根據題中定義，f（x）∈A等價于y=f（x），x∈D的值域為R，由函數值域的概念知，函數y=f（x），x∈D的值域為R等價于b∈R，a∈D，使得f（a）=b，所以①正確.

對于②，例如函數f（x）=（12）|x|的值域為（0，1]，包含于區(qū)間[-1，1]，所以f（x）∈B，但f（x）有最大值，沒有最小值，所以②錯誤.

對于③，若f（x）+g（x）∈B，則存在一個正數M1，使得函數f（x）+g（x）的值域包含于區(qū)間[-M1，M1]，所以-M1≤f（x）+g（x）≤M1，由g（x）∈B知，存在一個正數M2，使得函數g（x）的值域包含于區(qū)間[-M2，M2]，所以-M2≤g（x）≤M2，亦有-M2≤-g（x）≤M2，兩式相加得-（M1+M2）≤f（x）≤M1+M2，于是f（x）∈B，這與“f（x）∈A”矛盾，故f（x）+g（x）B，即③正確.

對于④，如果a>0，那么x→+∞，f（x）→+∞，如果a<0，那么x→-2，f（x）→+∞，所以f（x）有最大值，必須a=0，此時f（x）=xx2+1在區(qū)間（-2，+∞）上，有-12≤f（x）≤12，所以f（x）∈B，即④正確，故填①③④.

點評本題主要考查考生的閱讀理解能力，邏輯思維能力，分析和解決問題的能力以及創(chuàng)新意識；這道題情境新穎，運算量小，思維量大，有效地考查了考生數學思維的敏銳性，嚴謹性，深刻性與創(chuàng)造性等思維品質，故這道題區(qū)分度很好.

二、抽象函數型創(chuàng)新試題

抽象函數是指沒有明確給出函數具體的解析式或圖象，只給出與函數有關的一些條件或特征的函數.解抽象函數題，常用賦值法.

例5（2014年遼寧理科第12題）.已知定義在[0，1]上的函數f（x）滿足：

點評試題解答較繁瑣，要求考生不但理性淡定，不慌不忙，更需要有較好的心理承受能力與解決問題的野心.

高考函數創(chuàng)新題易錯點警示：

（1）匆忙讀題，未認真審題，未懂題意或一知半解，就亂作一通.

（2）讀完題后，產生恐懼感，放棄不做或胡亂寫一些.

（3）“三基”不扎實，想不到或找不到解決問題的方法.

（4）不會用等價轉化、數形結合、分類討論等數學思想去分析、解決問題.

創(chuàng)新型問題始終是高考永恒的熱點，函數創(chuàng)新題的實質是形式新穎，內涵豐富，以能力為立意，解決它們要沉著冷靜，膽大心細，仔細讀題審題，讀懂題目，抓住問題的本質，應用等價轉化，數形結合，分類討論等數學思想方法，多方合力，就能得心應手，運籌帷幄，決勝于千里了.

注：此文為甘肅省教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度《新課改理念下高三數學復習高效策略研究》課題（課題批準號GS【2013】GHB0771）成果.

（收稿日期：2014-10-12）endprint