趙世恩,趙 媛

(1.首都師范大學(xué) 初等教育學(xué)院,北京 100048;2.河北金融學(xué)院 基礎(chǔ)部,河北 保定 071051)

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關(guān)于隨機光滑點

趙世恩1,趙 媛2

(1.首都師范大學(xué) 初等教育學(xué)院,北京 100048;2.河北金融學(xué)院 基礎(chǔ)部,河北 保定 071051)

提出隨機賦范模中隨機光滑點的概念,利用隨機賦范模與經(jīng)典賦范空間的聯(lián)系,給出了隨機光滑點和經(jīng)典光滑點的關(guān)系。最后,利用有限生成隨機賦范模的代數(shù)結(jié)構(gòu),給出了幾個隨機光滑點的基本性質(zhì)。這些結(jié)果將進一步豐富隨機賦范模幾何學(xué)已有的內(nèi)容。

隨機賦范模;隨機共軛空間;隨機光滑點;(ε,λ)-拓?fù)?/p>

0 引言

隨機度量理論來源于概率度量空間理論[1],隨機賦范模的概念是在隨機度量理論的發(fā)展過程中提出來的,現(xiàn)在隨機賦范模已成為隨機度量理論的核心框架之一。當(dāng)前采用的隨機賦范模概念最終成型于文獻[2]。在文獻[1]中,隨機度量空間中兩點間的隨機距離或向量的隨機范數(shù)都采用非負(fù)隨機變量來定義。文獻[2]開始使用非負(fù)隨機變量等價類來定義兩點間的隨機距離或向量的隨機范數(shù),這樣雖然舍棄了一些概率論直觀性,但從泛函分析的觀點來看卻帶來了極大的方便。在隨機賦范模上所賦予的一個重要拓?fù)涫?ε,λ)-拓?fù)?從概率的角度來看是很自然的,但是這個拓?fù)洳皇蔷植客沟?。因此，傳統(tǒng)的共軛空間理論對于隨機賦范模理論的發(fā)展是失效的。正因為如此,文獻[2]開創(chuàng)性地提出了隨機共軛空間的概念。隨后,隨機賦范模理論在隨機共軛空間這一有利的工具下經(jīng)歷了快速的發(fā)展。

利用已有的關(guān)于隨機賦范模理論的結(jié)果,對隨機賦范模理論中的幾何學(xué)做了進一步研究。首先，提出隨機賦范模中隨機光滑點的概念；其次,給出了隨機光滑點和經(jīng)典光滑點的關(guān)系；最后,給出關(guān)于隨機光滑點的幾個基本性質(zhì)。

為了方便閱讀,下面給出采用的記號:K表示實數(shù)域或復(fù)數(shù)域C;(Ω,,P)表示一個概率空間;L0(,K)表示(Ω,,P)上K-值-可測隨機變量等價類所組成的代數(shù);L0()=L0(,R)，L0()表示(Ω,,P)上廣義-值-可測隨機變量等價類所組成的集合。

1 預(yù)備知識

以及

2 主要結(jié)果及其證明

命題1[9]如果dimX=n,則AX依范數(shù)稠于X。

命題2[9-10]如果dimX=n,則存在AX中n個元素a1,a2,…,an,使得{fa1,fa2,…,fan}為X*的一組基。

給出隨機光滑點的概念以及主要結(jié)果的證明。

對于任意簡單函數(shù)f:Ω→(n)′,因為{fx1,fx2,…,fxn}?(n)′為(n)′的一組基,容易證明f∈SpanL0{φ1,φ2,…,φn}。因此，在(ε,λ)-拓?fù)湎耂panL0{φ1,φ2,…,φn}稠于L0(,(n)′)。又因為SpanL0{φ1,φ2,…,φn}在(ε,λ)-拓?fù)湎率情]的,故有

的元素。證畢。

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國家自然科學(xué)基金項目(11401399);北京市自然科學(xué)基金項目(1144008)

趙世恩(1981-),男,河北張家口人,講師,博士,研究方向為泛函分析.

2014-09-10

1672-6871(2015)04-0095-03

O177.92

A