許成謙，王嘉星

（燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北秦皇島066004）

無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造

許成謙，王嘉星

（燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北秦皇島066004）

無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集能夠有效減輕通信中的多徑干擾，在準(zhǔn)同步跳頻通信系統(tǒng)中具有廣闊的應(yīng)用前景。提出了兩種新的無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集構(gòu)造的方法，在這種構(gòu)造方法中，序列的個(gè)數(shù)和無(wú)碰撞區(qū)的長(zhǎng)度是可以靈活變動(dòng)的。由這兩種方法構(gòu)造的無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集的頻隙個(gè)數(shù)、序列長(zhǎng)度、序列個(gè)數(shù)、無(wú)碰撞區(qū)長(zhǎng)度、漢明相關(guān)值等參數(shù)均達(dá)到了理論界，是最優(yōu)的無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集。

跳頻序列；無(wú)碰撞區(qū)；漢明相關(guān)

0 引 言

跳頻通信系統(tǒng)因其具有抗衰落能力、抗干擾能力強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于軍事通信領(lǐng)域，并且在民用移動(dòng)通信領(lǐng)域，如：家庭射頻和藍(lán)牙中，也得到了廣泛應(yīng)用［12］。而跳頻序列的設(shè)計(jì)問(wèn)題是跳頻通信系統(tǒng)中需要解決的問(wèn)題之一。跳頻序列設(shè)計(jì)要求構(gòu)造出的跳頻序列的長(zhǎng)度要盡量長(zhǎng)、序列個(gè)數(shù)盡可能多并且有較小的漢明相關(guān)值。漢明相關(guān)表示序列間互相碰撞的次數(shù)。為了盡量減少互相碰撞的干擾，一種新的跳頻序列集——無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集應(yīng)運(yùn)而生。

目前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都在致力于研究性能良好、達(dá)到或接近于理論界的無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集［313］，這一研究領(lǐng)域引起了人們的廣泛興趣。常見(jiàn)的構(gòu)造方法一般就是基于代數(shù)理論和交織技術(shù)［14］。文獻(xiàn)［3］是基于矩陣旋轉(zhuǎn)構(gòu)造無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集，序列個(gè)數(shù)達(dá)到了理論界，但序列的漢明自相關(guān)在零相關(guān)區(qū)之外還有較多的碰撞。文獻(xiàn)［9］是基于交織技術(shù)構(gòu)造無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集，但其所使用的移位序列存在移位等價(jià)關(guān)系，所以構(gòu)造出的無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列也存在著移位等價(jià)關(guān)系，因此其序列之間的漢明互相關(guān)存在著很大的旁瓣值。本文所敘述的構(gòu)造方法不但使序列個(gè)數(shù)滿足理論界，并且使序列的漢明自相關(guān)和漢明互相關(guān)都盡量保持在較低水平，以降低通信中的干擾。

1 基本概念和性質(zhì)

定義1設(shè)F＝｛0，1，…，q－1｝是一個(gè)包含q個(gè)頻隙的頻率集合，x＝（x（0），x（1），…，x（N－1））和y＝（y（0），y（1），…，y（N－1））分別為頻率集F上長(zhǎng)度為N的兩個(gè)跳頻序列，其中x（i），y（i）∈F，i＝0，1，…，N－1。跳頻序列的周期漢明互相關(guān)函數(shù)的定義為

（i＋τ）mod N。若x＝y(tǒng)，稱其為跳頻序列x的漢明自相關(guān)函數(shù)，記為Hxx（τ）。

定義2設(shè)S是由頻隙個(gè)數(shù)為q，序列長(zhǎng)度為N的M個(gè)跳頻序列組成的序列集。若跳頻序列集S中任意序列x＝（x（0），x（1），…，x（N－1））和y＝（y（0），y（1），…，y（N－1））的周期漢明相關(guān)函數(shù)滿足：

則稱跳頻序列集S為（N，M，q，Z）無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集，簡(jiǎn)稱N HZ跳頻序列集，稱Z為無(wú)碰撞區(qū)長(zhǎng)度。

性質(zhì)1［15］（N，M，q，Z）無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集的參數(shù)滿足：M≤。

2 構(gòu)造方法

2.1 構(gòu)造方法1

（1）從頻隙集合F中任意選取M（Z＋1）個(gè)頻隙。將它們排列成一個(gè)M×（Z＋1）的矩陣，記為A0＝］。

得到M－1個(gè)矩陣A1，A2，…，AM－1。

（3）以M個(gè)矩陣A0，A1，A2，…，AM－1為子塊構(gòu)成一個(gè)矩陣A＝［A0，A1，…，Am－1］，取A的每一行生成M個(gè)長(zhǎng)度為M（Z＋1）的跳頻序列。

定理1方法1構(gòu)造出參數(shù)為（M（Z＋1），M，M（Z＋1），Z）的跳頻序列集。

證明因?yàn)榉椒?中矩陣A＝［A0，A1，…，Am－1］是M行M（Z＋1）列的，所以方法1構(gòu)造的跳頻序列集頻隙個(gè)數(shù)為M（Z＋1），序列個(gè)數(shù)為M，序列長(zhǎng)度為M（Z＋1）。

下面證明序列集的無(wú)碰撞區(qū)長(zhǎng)度為Z。對(duì)于任意i＝1，2，…，M，1≤τ≤Z，因?yàn)?/p>

由于初始矩陣A0中各元素均不相同，所以同一行中的不同列不會(huì)出現(xiàn)相同的元素，初始矩陣A0大小為M×（Z＋1），具有（Z＋1）列，那么相同元素再次出現(xiàn)時(shí)，與上一次出現(xiàn)時(shí)的間隔至少為Z，即在1≤τ≤Z范圍內(nèi)，j≠（j＋τ）mod（Z＋1），即

并且根據(jù)初始矩陣的排列規(guī)則可以看出，這兩個(gè)位置之間的間隔在Z內(nèi)，在這之間，元素總是不同的，則

那么Hxx（τ）＝0（1≤τ≤Z）。

對(duì)于任意

因?yàn)?/p>

初始矩陣A0中各元素均不相同，不同行中同列元素與不同行不同列元素均不會(huì)相同，初始矩陣A0大小為M×（Z＋1），則在不同行中，相同元素之間仍舊滿足最小間隔為Z，即在0≤τ≤Z范圍內(nèi)，由于和是矩陣H中不同行的元素，所以j mod（Z＋1）≠（j＋τ）mod（Z＋1），因此（＋j）mod M，j）≠（（＋j）mod M，（j＋τ）mod（Z＋1）），同樣從初始矩陣的排列可以看出，不同行中出現(xiàn)相同的元素之間的間隔至少為Z，則

故Hxy（τ）＝0（0≤τ≤Z）。

證畢

（2）取一個(gè)7×6階矩陣

矩陣H中每一列元素由集合｛0，1，…，6｝中元素組成，且H中每行和每列沒(méi)有相同的元素。采用變換

將矩陣A0變成

（3）以7個(gè)矩陣A0，A1，…，A6為子塊構(gòu)成一個(gè)矩陣A＝［A0，A1，…，A6］，即

A＝

取矩陣A的每一行構(gòu)造出一個(gè)（14，7，14，1）NHZ跳頻序列集，其包含的序列如下：

所構(gòu)造出的跳頻序列的漢明自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)在τ＝0，1，…，13時(shí)取值分別為

2.2 構(gòu)造方法2

在白茫茫的冰原上，領(lǐng)頭的雌鹿帶領(lǐng)著浩浩蕩蕩的馴鹿隊(duì)伍，排山倒海般走過(guò)。在人類看來(lái)，馴鹿大部隊(duì)整齊地走過(guò)雪原，是自然界里的一道壯美的奇景。可對(duì)馴鹿來(lái)說(shuō)，它們所走過(guò)的每一步都不會(huì)太輕松——從越冬區(qū)出發(fā)后，它們要避開(kāi)重重險(xiǎn)惡的道路，并且要在沿途狼群和熊的夾擊下保護(hù)自己，還要尋找到能填飽肚子的食物：地衣、苔蘚。雌性馴鹿的任務(wù)就更艱巨了，這些偉大的馴鹿媽媽，要在春季遷徙的途中生下寶寶，并辛苦地照料它們。

（1）從頻隙集F中任意取M（Z＋1）個(gè)頻隙，將它們排列成一個(gè)M×（Z＋1）的矩陣，記為U0。

（3）由U0得到M個(gè)新矩陣

（4）以M個(gè)矩陣U1，U2，…，UM為子塊構(gòu)成一個(gè)矩陣U＝［U1，U2，…，UM］，取U的每一行生成M個(gè)長(zhǎng)度為M（Z＋1）的跳頻序列。

定理2方法2構(gòu)造出參數(shù)為（M（Z＋1），M，M（Z＋1），Z）的跳頻序列集。

證明由方法2構(gòu)造的跳頻序列集頻隙個(gè)數(shù)為M（Z＋1），序列個(gè)數(shù)為M，序列長(zhǎng)度為M（Z＋1）。

下面證明序列集的無(wú)碰撞區(qū)長(zhǎng)度為Z。

對(duì)于任意i＝1，2，…，M，1≤τ≤Z，因?yàn)?/p>

證畢

（1）從F中任取14個(gè)頻隙，例如選｛0，1，…，13｝，將它們排成一個(gè)7×2的矩陣，記為U0：

（2）取長(zhǎng)度為14的移位序列e＝（1，3，0，6，5，2，4，1，3，0，6，5，2，4）。

（3）采用變換

將矩陣U0變成

（4）以這7個(gè)矩陣U1，U2，…，U7為子塊構(gòu)成一個(gè)矩陣U＝［U1，U2，…，U7］。取矩陣U的每一行構(gòu)造出一個(gè)（14，7，14，1）N HZ跳頻序列集，其包含的序列如下：

所構(gòu)造出的跳頻序列的漢明自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)在τ＝0，1，…，13時(shí)取值分別為

3 性能分析比較

文中構(gòu)造方法1與文獻(xiàn)［6］中的構(gòu)造方法均達(dá)到了理論界，文獻(xiàn)［6］中構(gòu)造的跳頻序列的自相關(guān)性在無(wú)碰撞區(qū)外還有較多高峰值，而構(gòu)造方法1可以將高峰值減少，因此構(gòu)造方法1構(gòu)造出的跳頻序列的漢明自相關(guān)性要優(yōu)于文獻(xiàn)［6］。文獻(xiàn)［9］中構(gòu)造的跳頻序列雖然達(dá)到了理論界，但是其構(gòu)造出的跳頻序列是其自身序列的移位序列，存在著移位等價(jià)的問(wèn)題，在實(shí)際通信中并不能使用。本文兩種構(gòu)造方法均達(dá)到了理論界，并且通過(guò)理論證明，得到在無(wú)碰撞區(qū)內(nèi)自相關(guān)性和互相關(guān)性均達(dá)到了理想值。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用兩種矩陣變換方法構(gòu)造了最優(yōu)無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集，雖然都達(dá)到了理論界，但得到的序列長(zhǎng)度均沒(méi)有超過(guò)頻隙個(gè)數(shù)，尋找能夠構(gòu)造出序列長(zhǎng)度大于頻隙個(gè)數(shù)的更長(zhǎng)無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列集是進(jìn)一步需要研究的內(nèi)容。

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許成謙（196-1- ），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榫幋a理論、通信理論、信號(hào)設(shè)計(jì)。

E-mail：cqxu＠ysu.edu.cn

王嘉星（198-8- ），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)設(shè)計(jì)、跳頻通信。

E-mail：jx19882008＠163.com

Construction of frequency hopping sequence set with no hit zone

XU Cheng-qian，WANG Jia-xing
（School of Information Science&Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China）

Frequency hopping sequence set with zero collision zone can effectively reduce the multipath interference in the communication and it has extensive application prospect in the quasisynchronous frequency hopping communication system.Two methods of constructing the frequency hopping sequence set with no hit zone are proposed in which the number of sequences and the length of no hit zone can be flexibly changed.All of the parameters consisiting of the number of frequency slot，the length of sequences，the number of sequences，the length of zero collision zone and the hamming correlation values of the frequency hopping sequence set with no hit zone constructed by these methods have reached the theory bound，which result in the optimal frequency hopping sequence set.

frequency hopping sequence set；no hit zone；hanmming correlation

TN 911.2

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.11.28

1001-506X（2015）11-2606-05

2014- 09- 19；

2014- 10- 21；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 10- 31。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20141031.1029.004.html

國(guó)家自然科學(xué)基金（61172094，61201263）；河北省自然科學(xué)基金（F2015203150）資助課題