●金國(guó)林 (鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

不等式證明中的常用換元策略

●金國(guó)林 (鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

在國(guó)內(nèi)外的各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，不等式的證明很受命題者青睞.這類問(wèn)題往往入手較困難，沒(méi)有通用的辦法，需要結(jié)合具體問(wèn)題選擇恰當(dāng)方法.換元是一種常見(jiàn)且有效的辦法，通過(guò)引入合適的新變?cè)?，改變?wèn)題形式，更好地揭示問(wèn)題本質(zhì)而獲得解決.下面筆者通過(guò)具體例子介紹一下在不等式證明中常用的換元策略.

1 分母換元

評(píng)注此題直接入手有難度，特別是其中有一項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，使得配湊系數(shù)的難度變大.對(duì)于一次分式，通常可以通過(guò)換元來(lái)簡(jiǎn)化分母，從而使問(wèn)題迎刃而解.

2 分式換元

評(píng)注 根據(jù)不等式條件，通過(guò)分式換元，將非齊次不等式轉(zhuǎn)化成齊次不等式，從而更容易利用一些常用的不等式來(lái)解決.

3 倒數(shù)換元

4 整體換元

評(píng)注通過(guò)整體換元，回避了較難處理的根號(hào)，通過(guò)改變題目面貌，更容易理清題中的相互關(guān)系，從而使問(wèn)題獲解.

5 三角換元

評(píng)注對(duì)于某些條件不等式，往往可以根據(jù)已知條件的代數(shù)結(jié)構(gòu)，結(jié)合常見(jiàn)的三角恒等式進(jìn)行三角換元，從而將原不等式轉(zhuǎn)化成較熟悉的三角不等式來(lái)處理.

6 線性換元

評(píng)注以三角形3條邊長(zhǎng)為變?cè)凝R次不等式的隱含條件較難利用，需要較強(qiáng)的代數(shù)恒等變形和因式分解能力.通過(guò)變量代換，我們用正實(shí)數(shù)x，y，z來(lái)刻畫(huà)隱含條件a+c＞b，a+b＞c和b+c＞a，從而使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單而明朗.