●胡文生 (磨溪中學 江西德安 332000)

關于切點三角形與切邊三角形性質的初探

●胡文生 (磨溪中學 江西德安 332000)

筆者研讀了本刊2015年第3期尚品山老師的文章［1］后，深受啟發(fā)，也試探研究了另一種三角形的性質:切邊三角形的性質，并結合切點三角形的特點進行了初探，結果同樣發(fā)現(xiàn)了一些有趣的性質.

1 關于切邊三角形的幾個性質

所謂切邊三角形，就是過△ABC的3個頂點分別作3條直線與該頂點所在的外接圓半徑垂直，3條直線相交而成的三角形(如圖1).下面分別介紹它的幾個性質.

為了下面敘述方便，本文約定:如圖1，在△ABC中，O為外心，它的邊長與切邊△A1B1C1的邊長分別為a，b，c;a1，b1，c1，△ABC，△A1B1C1的面積分別為Δ，Δ1，半周長、外接圓、內切圓半徑分別為s，s1;R，R1;r，r1.

圖1

最后一個不等式是著名的歐拉不等式，故式( 1) 右邊成立.

2 切點三角形與切邊三角形相關的幾個性質

如圖2，△A2B2C2是切點三角形，I是△ABC的內心，設它的3條邊分別為a2，b2，c2，半周長、面積、外接圓、內切圓半徑分別為s2，Δ2，R2，r2，則

性質 6 △A2B2C2的外接圓半徑就是△ABC的內切圓半徑，即r=R2，由歐拉不等式知

圖2

以上所有不等式當且僅當所有三角形為正三角形時取到等號.

由以上性質可知:切點三角形與切邊三角形的許多性質極其相似，但它們又不是相似三角形，它們與中間的△ABC緊密相連.通過中間的△ABC可以溝通起來，建立一些新的不等式，如性質9，又如本文性質5中的式(1)和文獻［1］中的式(12)也可以聯(lián)系起來構成一個新的不等式:

限于篇幅，還有一些性質不再列出.關于切點三角形與切邊三角形的性質研究還有待繼續(xù)挖掘，本文只是初探，僅作為拋磚引玉.

［1］尚品山.關于切點三角形的幾個有趣性質［J］.中學教研(數(shù)學)，2015(3):30-31.

［2］ Bottema O.幾何不等式［M］.單墫，譯.北京:北京大學出版社，1990.