秦世強，勾紅葉，賈宏宇，蒲黔輝

(1.武漢理工大學 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點實驗室，武漢 400370;2.西南交通大學 土木工程學院，成都 610031;3.西南交通大學 土木工程系，四川 峨眉，614202)

模態(tài)參數(shù)是最基本的結(jié)構(gòu)動力參數(shù)，利用模態(tài)參數(shù)可以進行結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析、載荷識別、有限元模型修正、損傷識別和結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)評估，因此模態(tài)參數(shù)識別是結(jié)構(gòu)動力學中一個重要議題。近年來，以環(huán)境激勵試驗為基礎(chǔ)的大型土木工程結(jié)構(gòu)工作模態(tài)分析得到了廣泛的研究，形成了一系列研究成果［1－6］。目前，工作模態(tài)分析可以分為頻域法、時域法和時頻分析法三大類［7－8］。隨機子空間識別是一種典型的時域模態(tài)參數(shù)識別方法，識別過程中引入了奇異值分解、卡爾曼濾波等數(shù)學工具，理論體系完備，適于計算機程序?qū)崿F(xiàn)。關(guān)于隨機子空間識別在土木工程結(jié)構(gòu)模態(tài)分析中應(yīng)用已經(jīng)有許多成果，如西寧北川河橋［9］、Z24 橋［10］、虎門大橋［11］、Humber橋［12］等。然而，關(guān)于隨機子空間識別的模態(tài)參數(shù)的可信程度卻沒有一個系統(tǒng)的評價方法;大型土木結(jié)構(gòu)環(huán)境振動試驗通常為設(shè)置多個測試組，每個測試組測試過程中的環(huán)境激勵水平不同，因此由每個測試組數(shù)據(jù)識別的結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)大小不盡相同，如何評價每個測試組識別的模態(tài)參數(shù)的可信程度以及如何由多個測試組的數(shù)據(jù)確定最終的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，是目前需要解決的關(guān)鍵問題之一。國內(nèi)外的學者已經(jīng)意識到該問題的重要性并展開了相關(guān)研究，文獻［13］利用誤差預測法對滑動平均自回歸(ARMA)識別的模態(tài)參數(shù)不確定度進行了估計;文獻［14］對識別的模態(tài)參數(shù)的上下限范圍進行了估計，并通過蒙特卡洛數(shù)值模擬進行了驗證;文獻［15－16］則通過系統(tǒng)矩陣一階擾動分析方法量化了SSI-cov方法識別的模態(tài)參數(shù)不確定度，并給出了具體的公式推導過程;文獻［17］對目前幾種估計模態(tài)參數(shù)不確定度的方法進行了總結(jié)，并指出了存在的問題。從這些文獻的參考文獻中也可以看出量化試驗模態(tài)參數(shù)不確定度的重要性。

橋梁工程環(huán)境振動測試通常需要分多個測試組完成，目前對試驗模態(tài)參數(shù)的不確定度估計大多集中在各種算法對單個測試組識別的模態(tài)參數(shù)不確定估計上，而沒有統(tǒng)籌考慮多個測試組的整體評價。為此，本文首先以多個測試組識別的模態(tài)參數(shù)為樣本，構(gòu)造模態(tài)參數(shù)的整體置信區(qū)間;其次，引入基于系統(tǒng)矩陣敏感性分析的單個測試組不確定量化方法，并形成帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖，從而實現(xiàn)對多測試組的橋梁工作模態(tài)分析可信程度由整體到局部的立體評價。以菜園壩長江大橋拱肋測試結(jié)果為例，驗證了本文所提方法的實用性。

1 隨機子空間識別

隨機子空間識別(SSI)是一種時域模態(tài)參數(shù)識別方法，假定外部激勵為白噪聲，測試得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)，利用隨機狀態(tài)空間模型求解結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。結(jié)構(gòu)隨機狀態(tài)空間模型［17］可以表示為:式中:xk和yk分別為離散狀態(tài)向量和輸出向量，下標k為離散時間點，取為正整數(shù);A、C分別為為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣和輸出矩陣;wk、vk分別表示環(huán)境激勵與模型誤差、傳感器誤差之和，假定為互不相關(guān)且均值為零的白噪聲。SSI的主要目標就是求解系統(tǒng)矩陣A和C，在求得系統(tǒng)矩陣后，求解結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求解特征值問題。目前求解系統(tǒng)矩陣有兩種方法［19］，一種直接從時域響應(yīng)數(shù)據(jù)出發(fā)，另一種從時域響應(yīng)數(shù)據(jù)的協(xié)方差出發(fā)，分別對應(yīng)數(shù)據(jù)驅(qū)動的SSI(SSI-data)和協(xié)方差驅(qū)動的SSI(SSI-cov)。由于SSI已經(jīng)比較成熟，這里僅以SSI-cov為例簡要說明其模態(tài)參數(shù)識別的流程。首先利用測試得到的響應(yīng)計算輸出協(xié)方差矩陣Λi:

式中:E表示數(shù)學期望;利用輸出協(xié)方差構(gòu)建Toeplitz矩陣T1|i，并對其進行如下分解:

上述分解只是對T1|i分解方式的一種，再對其進行奇異值分解，并對比式(3)，即可求解出狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C;通過對狀態(tài)矩陣A進行特征值分解得到:

模態(tài)頻率fk、阻尼比ξk以及振型φk分別為:

2 總體置信區(qū)間

由于傳感器數(shù)量有限，土木結(jié)構(gòu)環(huán)境振動試驗通常分為多個測試組實現(xiàn);每個測試組包含參考點和移動點，參考點連續(xù)測試，而移動點僅在相應(yīng)的測試組進行測試。因此，會產(chǎn)生多個測試組數(shù)據(jù);在進行模態(tài)參數(shù)識別時，利用SSI-cov可以分析每個測試組的數(shù)據(jù)，進而得到多組模態(tài)頻率和阻尼比。為了衡量多個測試組識別的模態(tài)參數(shù)的整體大小和離散程度，引入數(shù)學期望和標準差。假設(shè)總計有m個測試組，由m個測試組識別的模態(tài)參數(shù)構(gòu)成總體樣本，結(jié)構(gòu)第r階固有頻率fr、阻尼比 ξr的數(shù)學期望和標準差分別為 E(fr)和σ(fr)、E(ξr)和 σ(ξr);該階頻率和阻尼比在 95%保證率下的總體置信區(qū)間分別為(E(fr)±2σ(fr))和(E(ξr)±2σ(ξr));如果置信區(qū)間越大，則表明由多個測試組數(shù)據(jù)確定的模態(tài)參數(shù)不確定度越高;反之，置信區(qū)間越小，表明識別的模態(tài)參數(shù)越精確。對于未落入置信區(qū)間的模態(tài)參數(shù)，可以認為其不可信。具體分析造成其不可信的原因包括:該階模態(tài)在環(huán)境荷載下未被激勵起、傳感器誤差等。

由于環(huán)境荷載的隨機性，各測試組下橋梁結(jié)構(gòu)被激勵程度難以做到完全相同，但是可以近似假定各組數(shù)據(jù)識別的模態(tài)參數(shù)滿足正態(tài)分布，即由多個測試組的識別的第r階固有頻率和阻尼比應(yīng)滿足正態(tài)分布，每個樣本構(gòu)成的經(jīng)驗累積分布函數(shù)(Empirical CDF)和正態(tài)分布的累積分布函數(shù)(Normal CDF)之間應(yīng)良好的吻合，即有:

式中:Fm(f)表示 Empirical CDF，而 F(f;E(fr)，σ(fr))表示Normal CDF;NUM表示括號內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù);“～”表示相似。

3 基于敏感性分析的不確定度估計

在利用SSI-cov識別系統(tǒng)矩陣A、C過程中，由于一些因素影響，導致系統(tǒng)矩陣的真實值難以識別，識別只是真實值的估計A^、C^。這些影響因素包括:① 假定環(huán)境激勵為白噪聲所帶來的誤差;② 對實際上是連續(xù)狀態(tài)的結(jié)構(gòu)離散化成隨機狀態(tài)模型所造成的誤差;③ 求解過程的計算誤差;④ 對時域系統(tǒng)階次的過高或者過低的估計。進一步通過輸出協(xié)方差的表達式來說明系統(tǒng)矩陣難以真實估計，式(2)給出的輸出協(xié)方差Λi的表達式，將其寫作求和形式為:

式中，N為采樣數(shù);式(7)說明只有在采樣數(shù)逼近無窮大時，輸出協(xié)方差才能無限接近其真實值;然而，在實際工程測試過程中，采樣數(shù)不可能為無窮大，只有用一個相對較大的值來求解輸出協(xié)方差的估計值

由SSI-cov的理論可知，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣C可以表示為可觀矩陣Oi的表達式，因此要求解系統(tǒng)矩陣的不確定度，首先要求可觀矩陣Oi受外界擾動后的不確定度?？捎^矩陣的一階擾動ΔOi可表示為:

式中:U、S分別為Toeplitz矩陣奇異值分解后的正交矩陣和對角矩陣;ΔU、ΔS分別表示受外界誤差影響后的正交矩陣和對角矩陣的一階擾動。此時，問題轉(zhuǎn)化為如何估計ΔU和ΔS。需要指出的是，這里忽略了可觀矩陣二階及其以上的高階擾動。狀態(tài)矩陣A的一階擾動可以表達為:

文獻［15］在分析系統(tǒng)矩陣對可觀矩陣一階擾動的敏感性基礎(chǔ)上，推導了系統(tǒng)矩陣的一階擾動，并分析出因外界擾動引起的試驗模態(tài)參數(shù)的方差。由于整個分析過程考慮了模型誤差及測試誤差，且識別時所用的是單個測試組的時域響應(yīng)數(shù)據(jù);因此分析得到的模態(tài)參數(shù)的方差能夠表征單個測試組數(shù)據(jù)識別的模態(tài)參數(shù)的不確定度。

4 工程實例

以菜園壩長江大橋拱肋環(huán)境振動測試為例，來說明衡量SSI-cov識別的模態(tài)參數(shù)的不確定度的方法。菜園壩長江大橋(圖1)為公軌兩用橋，主橋為鋼桁梁、鋼箱系桿拱組合結(jié)構(gòu);主跨為420 m的提籃拱。拱肋的環(huán)境振動測試為全橋靜動力荷載試驗的一部分。下游側(cè)拱肋的環(huán)境振動試驗測點布置如圖2所示，共布置19個測點，均位于吊桿頂部;其中，測點15為參考點，連續(xù)測試。每個測試組由一個移動點和參考點組成，測試橋梁在環(huán)境隨機荷載作用下的加速度響應(yīng)，總計19個測試組。信號采集由INTCH動態(tài)信號采集儀完成，采樣頻率為20 Hz，采樣時間為3～5 min不等。

圖1 菜園壩長江大橋Fig.1 Caiyuanba yangtze river bridge

圖2 下游側(cè)拱肋測點布置Fig.2 Configuration of measuring points on the downstream arch rib

利用每個測試組的加速度響應(yīng)的協(xié)方差構(gòu)建Toeplitz矩陣，并利用SSI-cov識別其模態(tài)參數(shù)。圖3為利用測試組15數(shù)據(jù)所得到的穩(wěn)定圖。需要指出的是，由于參考點進行連續(xù)測試，采樣數(shù)較大，從式(7)可以看出，當采樣數(shù)逼近無窮時，輸出協(xié)方差逼近其真實值，因此由參考點構(gòu)建的輸出協(xié)方差更為精確，識別的穩(wěn)定圖也更為清晰，離散點較少。對每個測試組得到的穩(wěn)定圖拾取穩(wěn)定軸，獲取拱肋的模態(tài)參數(shù)，并按照文中介紹的方法計算19個測試組識別的頻率和阻尼比的數(shù)學期望及標準差，結(jié)果如表1所示;限于測試時間較短，并未識別出振型，因此論文以量化頻率和阻尼比的不確定度來進行問題的說明。從表中可以看到，拱肋前8階固有頻率的標準差較小，表明由19個測試組識別出的頻率整體上較穩(wěn)定，精確度較高;而阻尼比的標準差較大，表明阻尼比的不確定度高，反映了目前對結(jié)構(gòu)阻尼比計算假設(shè)仍需改進。以19個測試組識別得到的第三階固有頻率作為樣本，利用這19個樣本分別構(gòu)造經(jīng)驗累積分布函數(shù)和正態(tài)累積分布函數(shù)，如圖4所示;從圖中可以看到，Empirical CDF和Normal CDF之間吻合良好，表明由19個測試組得到的第三階固有頻率基本符合正態(tài)分布，這也反映了各組測試組在環(huán)境隨機荷載下的拱肋的被激勵程度相當。

圖3 測試組15的穩(wěn)定圖Fig.3 Stabilization diagram of setup 15

圖4 第三階固有頻率的累積分布函數(shù)Fig.4 Cumulative distribution function of the 3rd natural frequency

表1 拱肋的前8階模態(tài)參數(shù)的數(shù)學期望及標準差Tab.1 Expectation and standard deviation of first 8 modal parameters of the arch

圖5 測試組15帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖Fig.5 Stabilization diagram with confidence intervals of setup 15

為了衡量單個測試組識別的模態(tài)參數(shù)的不確定度，利用文中介紹的基于可觀矩陣的敏感性分析計算識別的模態(tài)參數(shù)的方差;仍以測試組15為例，將計算出的頻率的方差繪制在穩(wěn)定圖上，構(gòu)造如圖5所示的帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖。限于量化單個測試組識別的頻率的不確定度的計算量較大的原因，這里的穩(wěn)定圖系統(tǒng)階次上限取為40。這也導致與圖3比較，穩(wěn)定軸略有差異。但不影響量化單個測試組識別的頻率不確定度作用說明。從圖5可以得出:① 用誤差圖表示的置信區(qū)間直觀的顯示了各穩(wěn)定點的可信程度，在穩(wěn)定軸清晰的穩(wěn)定點上，置信區(qū)間較小，可信程度高;在離散穩(wěn)定點處，置信區(qū)間較大，可信程度低;② 量化的單個測試組的不確定度可以用作剔除穩(wěn)定圖虛假模態(tài)的一個指標，即設(shè)定不確定度的大小，以刪除不可信的離散穩(wěn)定點，提高人工拾取穩(wěn)定軸的效率。

5 結(jié)論

通過構(gòu)建試驗模態(tài)參數(shù)整體置信區(qū)間以及量化單個測試組識別的模態(tài)參數(shù)不確定度，形成了對多測試組試驗識別的模態(tài)參數(shù)可信程度從整體到局部的評價;并將不確定度量化的結(jié)果用于穩(wěn)定圖中，構(gòu)造了帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖，有效地協(xié)助人工拾取結(jié)構(gòu)真實模態(tài);進一步利用菜園壩橋拱肋試驗數(shù)據(jù)驗證了論文的研究;可以得到如下結(jié)論:

(1)多個測試組數(shù)據(jù)識別的頻率和阻尼比的數(shù)學期望和標準差能夠反映其整體大小和離散程度;構(gòu)建95%保證率下的總體置信區(qū)間能夠反映識別的模態(tài)參數(shù)整體上的不確定度:即置信區(qū)間越小，不確定度越低，模態(tài)參數(shù)越精確;

(2)利用基于可觀矩陣敏感性分析計算得到模態(tài)參數(shù)的方差，能夠反映單個測試組數(shù)據(jù)識別的模態(tài)參數(shù)的不確定度:標準差越小，表明識別的模態(tài)參數(shù)不確定度越低，可信程度高;

(3)構(gòu)造的帶置信區(qū)間的穩(wěn)定圖有助于剔除虛假模態(tài)，協(xié)助人工拾取結(jié)構(gòu)真實模態(tài)。

［1］Peeters B，Ventrura C E.Comparative study of modal analysis techniques for bridge dynamic characteristics［J］.Mechanical System and Signal Processing，2003，17(5):965 －988.

［2］單德山，徐敏.數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間算法的橋梁運營模態(tài)分析［J］.橋梁建設(shè)，2011，06:16－21.SHAN De-shan，XU Min.Operational modal analysis of bridge structure based on data-driven stochastic subspace identification algorithm ［J］.Bridge Construction，2011，6:16－21.

［3］Chen W，Lu Z，Lin W，et al.Theoretical and experimental modal analysis of Guangzhou New TV Tower［J］.Engineering Structures，2011，33(12):3628 －3646.

［4］Magalhaes F，Cunha A.Explaining operational modal analysis with data from an arch bridge［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25(5):1431 －1450.

［5］Lardies J，Minhhgi T.Modal parameter identification of stay cables from output-only measurements［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25(1):133 －150.

［6］Ren W，Peng X，Lin Y.Experimental and analytical studies on dynamic characteristics of a large span cable-stayed bridge［J］.Engineering Structures，2005，27(4):535 －548.

［7］續(xù)秀忠，華宏星，陳兆能.基于環(huán)境激勵的模態(tài)參數(shù)辨識綜述［J］.振動與沖擊，2002，21(3):1 －5.XU Xiu-zhong，HUA Hong-xing，CHEN Zhao-neng.Review of modal parameter identification method based on ambient excitation ［J］.Journal of Vibration and Shock，2002，21(3):1－5.

［8］秦世強，蒲黔輝，施洲.環(huán)境激勵下大型橋梁模態(tài)參數(shù)識別的一種方法［J］.振動與沖擊，2012，31(2):95 －100.QIN Shi-qiang，PU Qian-hui，SHI Zhou.A method of modal parameters identification using ambient vibration measurements for a large-scale bridge［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(2):95 －100.

［9］宗周紅，BIJAYA.J，林友勤，等.西寧北川河鋼管混凝土拱橋的理論和實驗模態(tài)分析［J］.鐵道學報，2003，25(4):89－96.ZONG Zhou-hong，BIJAYA.J， LIN You-qin， et al.Experimental and analytical modal analysis of a CFT arch bridge over Xining Beichuan River［J］.Journal of the China Railway Society，2003，25(4):89 －96.

［10］Mevel L，Goursat M，Basseville M.Stochastic subspace-based structural identification and damage detection and localisationapplication to the Z24 bridge benchmark［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2003，17(1):143 －151.

［11］徐良，江見鯨，過靜珺.隨機子空間識別在懸索橋?qū)嶒災B(tài)分析中的應(yīng)用［J］.工程力學，2002，19(4):46 －49.XU liang，JIANG Jian-jing，GUO jing-jun.Application of stochastic subspace method to experimental modal analysis of suspension bridge［J］.Engineering Mechanics，2002，19(4):46－49.

［12］Brownjohn B，Magalhaes F，Caetano E，et al. Ambient vibration re-testing and operational modal analysis of the Humber Bridge ［J］.Engineering Structures，2010，32(8):2003－2018.

［13］Andersen P. Estimation of modal parameters and their uncertainties［R］. Dept. of Building Technology and Structural Engineering，Aalborg University，1998.

［14］Sim J，Qiu Z，Wang X.Modal analysis of structures with uncertain-but-bounded parameters via interval analysis［J］.Journal of Sound and Vibration.2007，303(1－2):29－45.

［15］Reynders E，Deroeck G.Uncertainty bounds on modal parameters obtained from stochastic subspace identification［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22(4):948－946.

［16］Pintelon R， Guillaume P， Schoukens J. Uncertainty calculation in(operational)modal analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(6):2359 －2373.

［17］Carden E P，Mita A.Challenges in developing confidence intervals on modal parameters estimated for large civil infrastructure with stochastic subspace identification［J］.Structural Control and Health Monitoring，2011，18(1):53－78.

［18］Van Overschee P，De Moor B.Subspace identification for linear systems:theory implementation applications［M］.Dordrecht，The Netherlands:Kluwer Academic Publishers，1996:57－91.

［19］Peeters B，Deroeck G.Reference-based stochastic subspace identification for out-put only modal analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，1999，13(6):855－878.