第一作者李永華男，博士，副教授，1972年生

通信作者桂國慶男，博士，教授，1966年生

絕對位移直接求解虛擬激勵法采用附加振型求解的理論研究

李永華1，桂國慶2,1，廖宇1

(1.南昌大學建筑工程學院，南昌330031； 2.井岡山大學建筑工程學院，江西吉安343009)

摘要：為提高已有絕對位移直接求解虛擬激勵法的求解效率及精度，對結構支座節(jié)點附加大質量塊并釋放支座約束，采用基于附加振型的振型分解法進行求解，附加振型來源于附加大質量塊。對附加振型、常規(guī)振型的振型特性和振型貢獻及計算效率進行了理論分析，分析表明：通過構建少量附加振型就可精確捕獲結構擬靜位移，且只需采用與相對運動法同等數量的常規(guī)振型就可精確捕獲結構動態(tài)相對位移，與Wilson位移輸入模式的絕對位移振型分解法相比，在保證計算精度的條件下可大大減少絕對位移求解所需的振型數。此外，對附加振型絕對位移求解法阻尼誤差進行了理論分析，指出了附加振型法不存在由于阻尼假定不同而引起的誤差，計算精度及效率均優(yōu)于基于完全法的絕對位移直接求解法。

關鍵詞：附加振型；虛擬激勵法；絕對位移直接求解；振型分解；誤差分析

基金項目：國家自然科學

收稿日期：2013-10-09修改稿收到日期：2014-04-30

中圖分類號:TU311.3文獻標志碼：A

Pseudo excitation method based on directly solving absolute diaplacements with addtional modes

LIYong-hua1,GUIGuo-qing1,2,LIAOYu1(1.School of Architecture and Civil Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China; 2. School of Architecture and Civil Engineering, Jinggangshan University, Ji’an 343009, China)

Abstract:Structures were solved using the pseudo excitation method with additional modes through adding big masses on support nodes in order to improve the calculation accuracy and efficiency of the old pseudo excitation method based on directly solving absolute displacements. The additional modes were caused by the added big masses. The contribution and characterisitics of additional modes and the conventional ones as well as the calculation efficiency of the new algorithm were analyzed. It was shown that constructing only few additional modes can capture the pseudo-static displacement responses of structures accurately, and adopting the same number of conventional modes obtained with the relative motion method can capture the same accurate dynamic relative displacement responses of structures; compared with the displacement input model presented by Wilson, the proposed method can lead to a significant reduction of the required modes for solving absolute displacements with the same accuracy; the calculation errors caused by different damping assumings don’t exist in the new algorithm, so it is superior to the old pseudo excitation method based on directly solving absolute displacements in accuracy and efficiency.

Key words:additional modes; pseudo excitation method; directly solving absolute displacement; mode decomposition; error analysis

李永華[1]提出了一種隨機振動絕對位移直接求解的虛擬激勵法，該方法通過在基底附加大質量塊直接對絕對位移進行一次性求解，避免了在構建虛擬激勵的過程中需提取整體結構質量和剛度矩陣的繁瑣，且可在通用有限元軟件中直接實現,大大方便了多點激勵隨機振動工程應用[2-4]，該算法已得到較好的應用和發(fā)展。Wilson[5]采用位移輸入模式進行絕對位移求解時，發(fā)現振型分解法需要大量甚至全部高階振型組合才能達到所需的計算精度，受此影響李永華等在研究過程中，沒有采用振型分解法進行求解，而是采用完整矩陣法(以下簡稱完全法)進行諧響應求解。

絕對位移直接求解的虛擬激勵法在采用完全法進行求解時面臨兩個問題：①計算時間：隨機振動虛擬激勵法需對大量離散頻率點(上百或上千個)構建虛擬諧響應求解，當結構自由度較大時，采用完全法諧響應求解時間較長；②誤差問題：誤差問題分為兩方面，一方面是由于瑞利阻尼與振型阻尼之間的轉換所引起的誤差:采用完整矩陣法求解時，需形成整體結構阻尼矩陣(通常采用瑞利阻尼模型構建)，而瑞利阻尼系數只能由兩階自振頻率和對應的阻尼比來確定，如指定ξi=ξi+1=0.05后，則更高振型(>i+1)或更低振型(

趙銀慶[3]在絕對位移直接求解過程中，嘗試了采用振型分解法進行求解，發(fā)現采用全部振型進行組合時，絕對位移直接求解的虛擬激勵算法與傳統(tǒng)虛擬激勵算法計算結果基本一致。但采用少量振型進行組合時兩種算法計算結果是否一致并沒有進行比較,也缺少相關的理論分析。如果必須采用大量或全部振型進行組合才能達到所需的計算精度，采用振型分解絕對位移直接求解法就沒有任何優(yōu)勢。

張林等[9]采用大質量法，對FR-4印制板進行算例分析時,發(fā)現是否選取與質量點的剛體運動對應的振型決定了結果是絕對解,還是對質量點的相對解。

本文在上述文獻研究的基礎上，擬進一步從理論上分析絕對位移直接求解的虛擬激勵法，當采用振型分解進行求解時面臨的兩個核心問題：①達到工程應用所需的精度，需要的振型數量;②由于振型分解算法通常采用振型阻尼，在振型阻尼模型下，絕對位移直接求解的虛擬激勵法與傳統(tǒng)的虛擬激勵算法由于阻尼假定不一致會引起一定誤差。

1基本思路

多點激勵地震響應求解過程中，動力方程求解方法可分為相對運動法和絕對位移直接求解法。相對運動法將結構內部節(jié)點絕對位移分為擬靜位移和動態(tài)位移兩部分分別進行求解，這里擬靜位移為支座移動引起的內部節(jié)點位移，動態(tài)位移為支座移動導致的內部節(jié)點產生的慣性力所引起的內部節(jié)點位移[10-11]。

眾所周知，地震作用物理上是由于地面的振動，帶動上部結構發(fā)生振動，無論是一致激勵還是多點激勵，地面實際上是運動的，圖1為上述兩種算法之間的物理模型與動力學計算模型示意圖。

圖1　物理模型與動力學計算模型示意圖 Fig.1 Comparison of physical and dynamic model

一致地震動作用下，通常不采用絕對位移直接求解法進行求解，而是采用相對運動法進行求解,如圖1(a)所示，即固定支座，將地震動加速度作用施加于結構內部節(jié)點上，以內部節(jié)點與支座節(jié)點之間的相對位移(動態(tài)位移)為變量建立動力方程。

相對運動法的最大優(yōu)點是：由于動力方程中不含擬靜位移，只有動態(tài)相對位移，而動態(tài)相對位移在物理上與振型密切相關，多數建筑結構在地震作用下的動力響應，動態(tài)相對位移主要由低階振型確定，高階振型對結構響應的貢獻不顯著。因此，通常只需采用較少數量的低階振型的貢獻就可得到工程所需的計算精度(90%以上的振型參與質量)，大大提高了計算效率[12]。

絕對位移直接求解法有3種加載形式，如圖1(b)所示，其中:a模式為常見的Wilson位移輸入模式，即把地震作用轉化為首層力和首層彎矩進行施加，詳細理論見文獻[5]第22章；b模式為位移直接輸入模式，多數商用有限元軟件都不支持位移直接輸入模式的振型分解求解法，相關算法理論及誤差分析詳見文獻[8]；c模式為本文重點研究的大質量法輸入模式。

Wilson位移輸入模式必須采用大量甚至全部高階振型才能達到絕對位移響應所需的計算精度,下面分別從物理和數學上來進行分析：

(1)由于絕對位移中包含擬靜位移，而擬靜位移在物理上與振型無關，只與結構剛度矩陣有關，與結構質量矩陣并沒有任何關系，因而物理上無法保證采用少數低階振型的組合就可確保擬靜位移計算結果的精度。

(2)從數學上講，任何n個線性無關的n維向量都可以是向量空間Rn的一個基[13]，也就是說，如果想用常規(guī)振型來表示空間結構的擬靜位移，空間結構有n個自由度，就必須采用n個振型去組合，數學上才能保證計算精度，這就解釋了Wilson教授的算例中，即使是一個很簡單的結構模型，采用Wilson位移輸入模式時，需要大量甚至全部振型才能達到絕對位移所需的計算精度。

從上面分析可以看出，采用Wilson位移輸入模式，想通過少量振型的組合來獲取結構的絕對位移是行不通的，必須進行一定的修正[14]。

大質量法輸入模式的振型與Wilson位移輸入模式的振型是不同的，由于大質量塊的引入，相應的支座約束被取消，增加了部分振型(本文稱這部分增加的振型為附加振型，支座固定模式的結構振型為常規(guī)振型)，故振型參與的理論基礎不一樣。本文的基本思路為：

(1)能否通過釋放結構支座自由度約束并附加大質量單元構建少量附加振型，且這些附加振型就能精確捕獲結構的全部擬靜位移，其余的常規(guī)振型只需貢獻結構的動態(tài)相對位移。

(2)由于常規(guī)振型只需貢獻動態(tài)位移，這就類似于相對運動法中的動態(tài)位移計算，能否采用與相對運動法相同數量的常規(guī)振型組合就能得到相同精度的動態(tài)相對位移。

2附加振型的特性分析

2.1　單自由度結構的振型特性分析

先以一單自由度結構為例進行振型特性分析，其計算模型如圖2所示。

圖2　彈簧-質量模型圖 Fig.2 Spring-mass model

圖2中，模型A為支座固定的單自由度彈簧-質量體系；模型B取消了支座約束，在支座處附加大質量塊M(取m、k的105以上[9])，同時釋放支座水平方向的自由度約束；模型C在模型B的基礎上取消了質量塊m的質量。

三種模型下彈簧-質量模型的自振頻率分別為：

(2)模型B的質量和剛度矩陣分別為：

式中，頻率ω下標a表示附加頻率，余同。

(3)模型C的質量和剛度矩陣分別為：

通過對上述三種模型的自振頻率分析可以看出：

(1)模型B由于在支座處增加了兩個大質量塊，故多出了兩階振型，本文稱多出的兩階振型為附加振型。當大質量塊M質量大于內部質量塊m質量的105倍時，模型B的常規(guī)振型頻率ω1與模型A的頻率ω1基本一致，誤差小于萬分之一，這個誤差在工程應用中是完全可以接受的。

(2)模型C由于取消了內部節(jié)點質量塊，只有2階附加振型，且附加振型頻率與模型B的附加振型頻率完全一致，均為低階頻率。

對于鋼筋混凝土結構，阻尼比約為5%，鋼結構約為2%～3%，由于結構的阻尼比較小，因此計算結構的自振頻率時，可以不考慮阻尼比的影響。

2.2　多自由度結構的振型特性分析

假設一個空間多自由度結構體系，內部質點數為s,自由度為p，支座質點數為t,自由度為q，如圖3所示，采用上述3種計算模型進行分析。

圖3　多自由度結構模型 Fig.3 Structural model with multi-degree of freedom

圖3中，模型A為常規(guī)結構體系模型，支座節(jié)點固定,內部質點質量為mi,自由度為p；模型B取消支座約束，在支座節(jié)點附加大質量塊Mi,大質量塊質點自由度為q，整個結構自由度為p+q；模型C在模型B的基礎上取消了內部節(jié)點質量，只留下支座節(jié)點質量Mi，整個結構質點自由度為q。

對于具有n個質點自由度的結構，共有n階振型，且振型間有以下關系：

(1)

(2)

式中，γj為第j階振型的振型參與系數，xji為j振型i質點水平相對位移，mi為第i個質點質量，r為質點數。

式(1)是抗震設計中常見的基本公式[15]，式(2)為振型參與質量計算公式[11]，是式(1)的另一種表現形式，但式(2)具有明顯物理意義。對于n個自由度結構體系，當選擇所有振型(n個振型)參與組合時，振型參與質量為100%。

下面對模型A、B、C的振型特性進行分析：

(1)先對模型A進行分析：

A模型內部質點數為s，自由度數為p，結構共有p階常規(guī)振型，由式(1)可知:

(3)

(2)再對模型C進行分析：

模型C內部質點數為0，支座質點數為t，結構雖然有p+q個節(jié)點自由度，但只有q個質點自由度。由結構動力學相關知識可知:q個質點自由度的結構只有q階振型。為了與后述模型B分析結果進行比較，振型編號為p+1,p+2,…，p+q，支座質點編號為要s+1,s+2,…，s+t。

由式(1)可知，對于模型C：

(4)

(3)最后對B模型進行分析：

B模型內部質點數為s，內部質點自由度為p，支座質點數為t，支座質點自由度為q，故結構體系共有p+q階振型，由式(1)可得：

(5)

將上式振型參與系數具體化并拆分后可寫成：

(6)

當附加質量Mi遠大于內部節(jié)點質量mi時，模型B內部節(jié)點的質量mi可近似忽略，模型B與模型C的附加振型形狀應基本相同，所以式(6)可寫為：

(7)

將式(4)代入式(7)右邊第二項可得：

(8)

式中，

將式(8)移項整理可得：

(9)

要使式(9)恒成立，只有：

(10)

從式(10)可以看出：模型B前p階常規(guī)振型中，支座節(jié)點處位移恒為零，這與支座固定模型A的常規(guī)振型一致。

從上面分析可以得出如下結論：當大質量塊的質量遠大于內部質量點的質量時，模型B的附加振型與模型C的附加振型基本一致；模型B的常規(guī)振型與模型A的常規(guī)振型基本一致。

2.3　振型參與系數分析

文獻[7]在式(18)、式(23)已經推導了隨機地震動激勵下虛擬動態(tài)位移的計算公式，從文獻[7]中上述兩式可以看出：與振型分解反應譜法一樣，結構虛擬動態(tài)位移主要由結構的振型參與系數和振型形狀確定。

前面已經得出了模型B的常規(guī)振型中支座處位移為零，與模型A的常規(guī)振型基本一致；模型B的附加振型與模型C的附加振型基本一致，現對三種模型的振型參與系數進行對比分析。

從以上分析可以看出，模型B的常規(guī)振型與模型A的常規(guī)振型的振型參與系數基本一致；模型B的附加振型與模型C的附加振型的振型參與系數基本一致。

3基于附加振型的虛擬激勵求解方法

絕對位移直接求解的虛擬激勵法采用附加振型進行求解時，虛擬激勵的構建與文獻[1]基本一致，故不再贅述，現重點闡述附加振型的求解原理。

3.1　附加振型求解過程分析

為便于理解，現把圖3中空間結構模型C抽象成圖4所示等效模型圖，由于模型C中內部節(jié)點沒有質量，故可將模型C等效成大質量塊間采用廣義彈簧連接的結構體系，如圖4所示。

圖4　模型C等效模型圖 Fig.4 Equivalent model of model C

(11)

由于模型C中不考慮內部節(jié)點質量,所以附加振型數量只需由支座節(jié)點附加大質量塊的自由度數來確定。雖然也需要全部附加振型參與計算才能保證擬靜位移的計算精度，但對于大型實際工程來說，附加大質量塊數遠小于結構內部質量點數(比如大跨度橋梁，支座附加大質量塊自由度數遠遠小于內部質點自由度數)，相應的附加振型的數量遠小于常規(guī)振型的數量，所以采用附加振型來計算擬靜位移，計算效率遠高于Wilson位移輸入模式。

3.2　振型貢獻

基于附加振型的絕對位移直接求解虛擬激勵法采用模型B進行求解，模型B與模型A的常規(guī)振型形狀、振型參與系數基本一致；模型B與模型C的附加振型形狀、振型參與系數基本一致。

由于模型A的常規(guī)振型主要貢獻結構動態(tài)相對位移，模型C的附加振型主要貢獻結構擬靜態(tài)位移，所以模型B的常規(guī)、附加振型組合在一起可貢獻結構的絕對位移。

相對運動法采用常規(guī)振型來貢獻動態(tài)相對位移，采用靜力法求解擬靜位移；Wilson位移輸入模式采用常規(guī)振型來貢獻絕對位移；而基于附加振型的絕對位移直接求解法采用常規(guī)振型來貢獻動態(tài)相對位移，采用附加振型來貢獻擬靜位移，這是上述算法本質區(qū)別。

3.3　奇異剛度矩陣求解方法

基于附加振型的振型分解法在支座增加了大質量塊，且釋放了支座約束，故整體結構振型分析時多出了一些附加振型，且這些附加振型中有一些是剛體運動振型，這種情況在旋轉軸的扭轉振動，飛機或導彈的總體振動中很常見。在這一類結構振動分析時，總體剛度矩陣是奇異的或病態(tài)的，這給數值計算帶來困難，解決上述問題的最有效的方法就是特征值平移法，動力學教材中大多有該方法介紹，可參見文獻[16]。新版本ANSYS軟件在稀疏矩陣求解器中嵌入了該算法，能精確求解含病態(tài)矩陣的結構特征值和振型。

4基于附加振型求解的誤差分析

(12)

由于振型分解法是將多自由度體系結構解耦成互不耦聯的單自由度體系進行求解，對于單自由度體系，Ksb=-Kss，Csb=-Css，式中，Css=2ξωnM，所以式(12)可寫為：

(13)

(14)

(15)

從式(15)可以看出，基于附加振型絕對位移求解法與相對運動法之間不存在由于阻尼假定不同而引起的阻尼誤差。

5算例論證

算例采用一大跨度弦支穹頂，結構模型如圖5所示，跨度為120 m，采用ANSYS建模，上部網殼如圖5(a)所示，環(huán)向一共16圈桿件，下部預應力拉索由外到內隔圈布置，一共布置4圈環(huán)向預應力拉索(圖5(b))。網殼桿件單元采用Beam188模擬，撐桿與徑向拉桿采用Link8單元模擬，拉索采用Link10單元模擬，更多相關參數詳文獻[17]。分別采用計算模型A(固定支座模型)、計算模型B(支座附加大質量塊模型)、計算模型C(支座附加大質量塊，取消內部節(jié)點質量模型)三種計算模型進行分析。

圖5　大跨度弦支穹頂模型 Fig.5 Models of large-span suspend-dome

本算例為多支座結構，但行波地震激勵分析時并不需要在每個支座節(jié)點都附加大質量塊，而是將相鄰的支座節(jié)點先分為16組，每組節(jié)點自由度進行耦合，然后在每組增加一個可水平雙向運動的大質量塊，故模型B、模型C的附加振型都為32階，三種力學計算模型下的結構自振頻率見表1，表1給出了三種計算模型下的結構前8階附加振型頻率和前10階常規(guī)振型頻率，式中fa表示附加頻率，從表1可以看出，模型A只有常規(guī)振型頻率，模型B同時擁有附加振型與常規(guī)振型頻率，且模型A的常規(guī)振型頻率與模型B的常規(guī)振型頻率基本一致；模型C由于取消了內部節(jié)點質量，故只有附加振型，且模型B的附加振型頻率與模型C的附加振型頻率基本一致，這與前面的理論分析完全吻合，證明了前面理論分析的正確性。

表1　弦支穹頂自振頻率

圖6為3種計算模型下的弦支穹頂結構振型對比，從圖6可以看出，模型A的前4階常規(guī)振型與模型B的前四階常規(guī)振型基本一致，模型B的前4階附加振型與模型C的前4階附加振型基本一致，模型C由于內部節(jié)點無質量，故在振型圖上沒有顯示出灰色的小質量塊點。

采用文中論述的基于附加振型的虛擬激勵法，對模型B進行行波地震激勵分析，視波速取600m/s，結構阻尼比取5%；然后采用ANSYS內嵌的傳統(tǒng)隨機振動分析模塊對模型A進行行波激勵分析，最后將上述兩種方法計算結果進行對比分析，需說明的是，ANSYS內嵌的傳統(tǒng)隨機振動分析模塊采用相對運動法求解，其計算精度等同于林家浩教授提出的傳統(tǒng)虛擬激勵法，只不過是計算效率很低。

圖6　3種模型下的弦支穹頂結構振型對比 Fig.6 Mode comparison of suspend dome with three dynamic models

圖7　白噪聲行波激勵下單元剪力、位移響應功率譜密度對比 Fig.7 Comparison of shear and displacement power spectrum density under traveling-wave excitation based on white noise model

在對A模型采用傳統(tǒng)隨機振動進行計算時，內力、位移響應取前38階常規(guī)振型的組合(38階常規(guī)振型參與質量能達95%以上)；傳統(tǒng)隨機振動方法求解過程在文獻[1]已進行了詳細的闡述，本文不再贅述。在采用基于附加振型虛擬激勵法對B模型進行計算時，擬靜力內力、位移響應取前32階附加振型的組合；動態(tài)內力、位移響應取前38階常規(guī)振型的組合，絕對內力、位移響應取前32階附加振型和前38階常規(guī)振型的組合，兩種算法下的單元內力和節(jié)點位移計算結果比較見圖7。

隨機抽取了15根桿件內力和節(jié)點位移進行了對比，發(fā)現兩種算法計算結果基本一致，圖7給出了2根桿件內力和2個節(jié)點的位移對比，圖7(a)為E1單元動態(tài)軸力響應功率譜密度對比；圖7(b)為E2單元絕對軸力響應功率譜密度對比；圖7(c)為N1節(jié)點絕對位移響應功率譜密度對比；圖7(d)為N2節(jié)點動態(tài)位移響應功率譜密度對比。從圖7可以看出，除圖7(b)中E2單元的絕對軸力響應功率譜在0.5Hz附近略有差別外，其余圖形的結構響應在兩種計算方法下的計算結果基本一致。從圖7還可以看出，大跨度弦支穹頂的結構內力或位移響應并不是完全由低頻控制，有時候高階振型的貢獻更大，不可忽略。

6結論

(1)絕對位移直接求解的虛擬激勵法可以采用完全法進行求解，也可采用基于附加振型的振型分解法進行求解，采用完全法求解通常采用瑞利阻尼，采用振型分解法時通常采用振型阻尼。

(2)采用完全法進行求解時，計算效率相對較低，且瑞利阻尼模型下，當結構阻尼較大,或當激勵頻率較低時，與傳統(tǒng)虛擬激勵法相比，兩種算法存在一定的質量阻尼誤差[7-8]。

(3)采用基于附加振型的虛擬激勵法求解時，構建少量附加振型組合就可精確獲得擬靜位移，選擇與傳統(tǒng)虛擬激勵法相同數量的常規(guī)振型組合就能獲得與之相同精度的動態(tài)位移。

(4)與傳統(tǒng)虛擬激勵法相比，基于附加振型的虛擬激勵法大大方便了工程應用，且只需求解一次，不存在阻尼誤差，計算效率高于傳統(tǒng)的虛擬激勵算法，計算精度與傳統(tǒng)虛擬激勵法相當。

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