黃朝峰

(長樂市教師進修學校，福建 長樂 350200)

隨著《義務教育數學課程標準(2011年版)》出臺，修訂教材不但在各內容領域增加了許多新的內容，而且對許多傳統(tǒng)內容的處理方式也發(fā)生了理念上的變化，這就對小學數學教師的素養(yǎng)提出了新的挑戰(zhàn)，許多教學疑難問題也因此“應運而生”。為此，福州市小學數學學科教研工作室進行廣泛征集和深入探討，發(fā)現有很大一部分疑難問題是由于教師的數學本體性知識缺失，以及對數學學科的特性認識不足而造成的。

一、關注數學知識的抽象性，把握好直觀與抽象之間的關系

抽象是數學的特點，數學抽象是簡約而理想化的，所以當事物經過數學抽象的符號化表示后，得到的數學概念與現實原型未必完全符合。當你忽視了數學抽象的特點，以具體代替抽象，以形式代替本質來理解和判斷時，就會走入“指鹿為馬”“李代桃僵”的誤區(qū)。

1.謹防具體代替抽象

數學抽象舍棄了現實對象的所有具體性質而只保留量的關系和空間形式，即只著眼于事物存在的數量關系和空間形式。所以經過數學抽象的符號化表征與具體事物還是存在本質的區(qū)別。

問題1 線段的對稱軸是1條還是2條?

簡析:線段的對稱軸是1條(如圖1)。因為點、線、面是幾何中高度抽象化的、不加定義的原始概念，點無大小，線無粗細，面無厚薄。即在幾何線的概念中舍棄了所有性質，只留下在一定方向上的伸長。如圖2，畫出2條對稱軸的顯然是被畫出的具體的線有粗細所迷惑，忘了它表征的抽象對象是沒有粗細的，所以不存在橫貫線段中間的這條對稱軸。

圖1

圖2

2.謹防形式代替本質

數學符號是數學的語言，具有一定的抽象性、簡約性和明確性。所以每個符號以及由符號組成的關系式的表征細節(jié)和定義前提都是表示內涵的重要部分。切不可忽視具體表征細節(jié)或定義前提，斷章取義地以形式代替本質來誤讀數學概念或關系。

問題2 圓的直徑一定，周長和圓周率成正比例。正方體的體積一定，它的底面積和高成反比例。對嗎?

教師應當對變量、函數的數學意義有深入理解，引導自己的數學思維從靜態(tài)向動態(tài)發(fā)展。著變化。按問題中所述

二、關注數學知識的整體性，把握好階段與整體之間的關系

數學作為科學具有相對嚴密、完整的知識體系，但作為教育學科卻要根據學段年級以及對象的認知發(fā)展規(guī)律制定相應的階段目標。因此，只有把握整體認識和階段定位之間的關系，才能做到既不超越階段越俎代庖，又不囿于階段以管窺天，為將來的學習發(fā)展留有余地。

1.避免整體苛求階段

考慮到不同學段孩子的年齡特點和認知規(guī)律，小學數學的范疇中對于同一個內容、分階段教學目標定位理應有所區(qū)別，教師應該研讀教材，理解教材的編排特點，準確把握不同學段和課時目標教學的度，避免超越階段拔高要求，還要避免各自為政，狹思短視，限制了學生進一步學習發(fā)展的空間。

問題3 數圖形時，“哪些是角”該如何計算?

簡析:爭議的焦點一是平角、周角以及介于兩者之間的“優(yōu)角”要不要計入?二是只計“圖形內”的角，還是圖形“內”“外”的角都要計入?

首先，“從一個頂點引出兩條射線，就組成一個角”已經明確角的組成部分。但根據學生的年齡特征，對不同度數的角，教材要求的程度是有不同的。二年級教材中介紹了直角、銳角、鈍角，在數角時應只限大于0度而小于180度的角。右圖中角3和角4合起來算一個新的角，那角1和角2合起來的平角先不要算，到四年級，教材中講到了平角、周角等知識，則可以將右圖中角1和角2組合而成的平角計入。應當指出，隨著學段升高，到了中學，對角的認識還會繼續(xù)拓展到任意角(正角、負角、零度角)。

又如配套練習中出現的習題如下:

左圖爭議的是角1和角2要算哪一個，角1是鈍角，但卻在“圖形外”;角2是在“圖形內”，但卻是個小學階段不介紹的“優(yōu)角”。

從教學參考書給出的答案中，可以看出其并不區(qū)分“圖形內”“圖形外”，筆者認為這樣的定位是合適的。一個圖形的歸類應當由其結構特征所確定，而與其所在的位置無關。例如一個正方形，無論它在其他圖形內還是外，都改變不了它是一個正方形的事實。

因此，在對相應年級的小學生講解角的時候，還是應當根據所要判斷的圖形自身的特征，并結合學生對角的認識的發(fā)展水平來確定。有了這樣的明確標準，這類問題的爭議就可以得到一個相對完滿而又富有教學操作性的解決。

2.避免片面臆測整體

德國數學家斯泰因梅茨認為:所有的數學真理都是相對的、有條件的。數學發(fā)展的三次危機和重構已經證明了這一點，每一次跨越都是由一種“舊真理”的打破和“新真理”的重建來實現。所以我們在數學教學時要樹立辯證發(fā)展的數學觀，既不能割裂部分與整體的聯系，盲人摸象，也不能機械地將階段片面的結論生搬硬套到整體數學學習內容上，鬧出古代《訓子》所諷刺的以為寫“三”是三橫，寫“萬”就是要劃一萬橫的“學三寫萬”的笑話。

問題4 直線比射線長，直線比線段長。這兩句話對嗎?

簡析:這兩句話都不對。主要是混淆了有限與無限的區(qū)別，誤以有限臆測無限。

數學中的有限與無限既有聯系又有區(qū)別，其辯證發(fā)展的密切聯系在此不予贅述，其質的區(qū)別主要有二:一是無限集合中“部分可以等于整體”(如德國著名數學家康托爾認為正整數集和正偶數集的元素可以建立“一一對應”關系);二是“有限”情況成立的許多命題，對于“無限”情況不再成立。

這兩個命題都涉及“無限”，所以不能機械的以“有限”的眼光來判斷。首先，有限長才有長度，才可比長短。而直線和射線都是無限長的，不存在誰長誰短的問題。其次，比長短要有確定長度，直線可無限延伸屬于無限的量，線段在未確定長度之前也是“無限的量”(如不存在最長的線段)，所以直線與未確定的線段之間也是無法比較長短的。

三、關注數學知識的應用性，把握好生活與數學之間的關系

數學源于生活，高于生活，又應用于生活。所以要理性地看待數學與生活之間的聯系，既不能盲目地將數學等同于生活，將生活中習以為常的俗稱俚語當做科學嚴謹的數學概念來誤用。又不能將數學游離于生活現實背景之外，斷章取義、生搬硬套，純粹的鉆牛角尖。

1.勿將數學等同于生活

數學概念多源于生活語言，但是有些數學概念經數學上重新定義后，其意義存在差異甚至截然不同。例如，生活中的高具有“鉛垂效應”，單指豎直方向的頂點到某個水平方向的平面的距離，而數學概念中的高不以方向為判斷要素。所以，切不可因數學與生活的密切聯系而簡單地將數學等同于生活。

問題5 質量與重量，路程與距離，有區(qū)別嗎?

簡析:從科學定義嚴謹來說，兩者有區(qū)別。

質量和重量是完全不同的兩個物理量，區(qū)別如下:(1)定義不同。質量是物體慣性的量度，它是任何物體都固有的一種屬性。重量則反映了物體所受重力的大小，它是受地球的吸引而引起的。(2)質量是標量，重量是矢量。(3)牛頓力學中的質量是一個恒量，重量則隨物體所處的緯度和高度的不同而變化。(4)質量和重量的單位在國際單位制里，質量的單位是千克，重量的單位是牛頓。

雖然在生活和學習中，我們常常遇到對“質量”和“重量”兩種說法混淆的情況，但是作為教師對這二者的區(qū)別應有理性的認識，由于在小學的學習中，學生還沒有了解到更多關于力學的知識，所以教材上盡量不使用“重量”這個說法，而統(tǒng)一使用“質量”及相應的克、千克、噸等質量單位來計量。

同樣，路程與距離也是有區(qū)別的。(1)距離是描寫空間的不同位置兩點的數學量或者物理量。因此，如果距離不與物體聯系，那么這個距離就不是路程。(2)現實中，距離是最短的路程，路程不一定等于距離。(3)如果路程是對運動體而言的，那么距離就是對靜止體而言的。因此，沒有運動也就沒有路程。

但是，同樣出于此時學生認知限制，設計題目時要注意，對小學生不要太苛求，更不要去考查學生對其中區(qū)別的掌握。

2.勿將數學游離于現實

數學知識的現實性不容忽視，很多數學問題的都隱含有具體的現實背景而存在，當你脫離了現實背景這個前提，斷章取義，就會對一些數學問題產生誤識。這種脫離了現實背景，以純粹代替指定的誤識常見于概率問題。

問題6 如何讓學生理解“世界上每天都有人出生”等生活中的可能性事件?

簡析:上述問題必須基于數學應用與客觀現實來理解。這里所說的“一定”“不可能”“可能”是概率論中的術語，是指當我們多次觀察自然現象和社會現象后，會發(fā)現在一定的條件下，許多事情必然會發(fā)生，許多事情必然不會發(fā)生，還有許多事情是可能發(fā)生的。所以，我們討論的事件一般指的是客觀事件，同時，又是在我們經驗范圍內發(fā)生的事件。如學生提出的“如果太陽系爆炸了，‘地球每天都在轉動’這句話就不是一定的。”屬于超出人類認識經驗的說法，教師應予以正確引導。又如，“世界上每天都有人出生”是一定的。這樣的事件超出了學生的認識范圍而無法理解，這時教師應提供一些證據幫助學生理解。如可以通過本地區(qū)或全國、全世界每天有多少嬰兒出生的數據使學生認識到世界上每天一定有人出生。

實踐證明，這些超越小學生認識經驗的客觀事件對于他們來說理解有困難，所以修訂版教材先選取了一些學生熟悉的、操作性強的生活情境作為教學素材，讓學生經歷可能性知識的形成過程，豐富對不確定現象的體驗，初步了解現實世界中存在著的不確定現象。然后將這些問題放在本單元末的“生活中的數學”中，一方面可以加深學生對所學數學知識的理解，另一方面也使他們感受到可能性知識與生活的聯系，以培養(yǎng)學生的應用意識。

綜上所述，很多數學教學疑難問題是由于對數學知識的抽象性、整體性和應用性認識不足造成的，教師只有認真研讀教材，提升自身素養(yǎng)，把握好直觀與抽象、階段與整體、生活與數學之間的辨證關系，才能悠然地撐“理性”之篙，向數學疑難更深處漫溯。

［1］全國中小學教師繼續(xù)教育網.2011年版課程標準解讀(小學數學)［M］.北京:中國輕工業(yè)出版社，2012.

［2］丁國忠.三年級上冊教學疑難問題解答［EB/OL］.http://wenku.baidu.com/view/6e284d78102de2b d960588b4.html.