摘 要：該文遵循循序逐增原理，從對邊形數(shù)、棱錐體數(shù)以及其點與點之間連線形成的三角形的量的循序逐增現(xiàn)象研究中，求得其循序逐增規(guī)律。應用拓撲原理，可將邊形數(shù)置換為扇形圖表達，將棱錐體數(shù)置換為圓形圖表達，發(fā)現(xiàn)了棱錐體數(shù)與邊形數(shù)之間的相近相同規(guī)律。

關鍵詞：邊形數(shù) 棱錐體數(shù) 三角形 循序逐增規(guī)律 拓撲原理

中圖分類號：O123 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）02（c）-0041-06

關于邊形數(shù)、棱錐體數(shù)，《數(shù)學史通論》（李建文等譯，由高等教育出版社出版）的第二章和第五章都有記述。筆者依照循序逐增原理，對邊形數(shù)、棱錐體數(shù)以及其點與點之間連線形成的三角形的量的循序逐增現(xiàn)象進行了研究，找到了它們各自的循序逐增規(guī)律。

1 邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

邊形數(shù)是指以點為記號，以起點為始點，循著圖形的邊形的有序擴延而形成的邊形點數(shù)（如圖1是三邊形數(shù)圖）。對于邊形數(shù)，公元1世紀希臘數(shù)學家尼可馬科斯曾作研究。筆者只是遵循循序逐增原理，從邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象來論證邊形數(shù)循序逐增的規(guī)律性。

1.1 三邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

圖1是三邊形數(shù)圖。圖2是三邊形點數(shù)規(guī)律表。從圖1、圖2看出，三邊形起點為1，之后擴延的邊形點數(shù)，是循著自然數(shù)“2，3，4，5……”的規(guī)律有序逐增，其數(shù)列差為1。假如將每次擴延邊形的點的第一個點設為1，那么，就會發(fā)現(xiàn)三邊形擴延邊形的點數(shù)，是循著“1+（1*1），1+（2*1），1+（3*1）……”的規(guī)律有序逐增，而被乘數(shù)“1、2、3……”，正好與擴延次序的“1、2、3……”相吻合。據(jù)此，可求得三邊形數(shù)的規(guī)律，其定理為：

三邊形數(shù)=1+[1+（1*1）]+[1+（2*1）]+[1+（3*1）]+…+[1+（n*1）]

（式中n表示擴延次數(shù)）

1.2 四邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

圖3是四邊形數(shù)圖。圖4是四邊形點數(shù)規(guī)律表。從圖3、圖4看出，四邊形起點為1，之后擴延的邊形點數(shù)，是循著奇數(shù)“3，5，7……”的規(guī)律有序逐增，其數(shù)列差為2。

假如將每次擴延邊形的點的第一個點設為1，那么，就會發(fā)現(xiàn)四邊形擴延邊形的點數(shù)，是循著“1+（1*2），1+（2*2），1+（3*2）……”的規(guī)律有序逐增，而被乘數(shù) “1、2、3……”，正好與擴延次序的“1、2、3 ……”相吻合。據(jù)此，可求得四邊形數(shù)的規(guī)律，其定理為：

四邊形數(shù)=1+[1+（1*2）]+[1+（2*2）]+[1+（3*2）]+…+[1+（n*2）]

（式中n表示擴延次數(shù)）

1.3 五邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

圖5是五邊形數(shù)圖。圖6是五邊形點數(shù)規(guī)律表。從圖5、圖6看出，五邊形起點為1，之后擴延的邊形點數(shù)，是循著“4，7，10……”的規(guī)律有序逐增，其數(shù)列差為3。假如將每次擴延邊形的點的第一個點設為1，那么，就會發(fā)現(xiàn)五邊形擴延邊形的點數(shù)，是循著“1+（1*3），1+（2*3），1+（3*3）……”的規(guī)律有序逐增，而被乘數(shù)“1、2、3 ……”，正好與擴延次序“1、2、3……”相吻合。據(jù)此，可求得五邊形數(shù)的規(guī)律，其定理為：

五邊形數(shù)=1+[1+（1*3）]+[1+（2*3）]+[1+（3*3）]+…+ [1+（n*3）]

（式中n表示擴延次數(shù)）

1.4 六邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

圖7是六邊形數(shù)圖。圖8是六邊形點數(shù)規(guī)律表。從圖7、圖8看出，六邊形起點為1，之后擴延的邊形點數(shù)，是循著“5，9，13……”的規(guī)律有序逐增，其數(shù)列差為4。假如將每次擴延邊形的點的第一個點設為1，那么，就會發(fā)現(xiàn)六邊形擴延邊形的點數(shù)，是循著“1+（1*4），1+（2*4），1+（3*4）……”的規(guī)律有序逐增，而被乘數(shù)“1、2、3……”，正好與擴延次序的“1、2、3……”相吻合。據(jù)此，可求得六邊形數(shù)的規(guī)律，其定理為：

六邊形數(shù)=1+[1+（1*4）]+[1+（2*4）]+[1+（3*4）]+…+[1+（n*4）]

（式中n表示擴延次數(shù)）

求證邊形數(shù)的循序逐增定理

從上證明可知：三邊形擴延邊形的點數(shù)，是循著“1+（1*1），1+（2*1），1+（3*1）……”的規(guī)律有序逐增，乘數(shù)“1”正是三邊形的3-2之差；

四邊形擴延邊形的點數(shù)，是循著“1+（1*2），1+（2*2），1+（3*2）……”的規(guī)律有序逐增，乘數(shù)“2”正是四邊形的4-2之差；

五邊形擴延邊形的點數(shù)，是循著“1+（1*3），1+（2*3），1+（3*3）……”的規(guī)律有序逐增，乘數(shù)“3”正是五邊形的5-2之差；

六邊形擴延邊形的點數(shù)，是循著“1+（1*4），1+（2*4），1+（3*4）……”的規(guī)律有序逐增，乘數(shù)“4”，正是六邊形的6-2之差。

依照歸納法，得出結論，式中乘數(shù)正是邊形的邊的量減去2之差。據(jù)此，將邊形的邊的量以“邊”的漢語拼音第一個字母“B”來表示，那么，邊形數(shù)的定理為：

邊形數(shù)=1+[1+1*（B-2）]+[1+2*（B-2）]+[1+3*（B-2）]+…+[1+n*（B-2）]

（式中n表示擴延次數(shù)，B表示邊形的邊的量）

2 邊形數(shù)的點與點之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

事實表明，多邊形圖是由若干大三角形組成的整體。而大三角形又由若干小三角形組成。據(jù)此，筆者將邊形數(shù)的點與點之間以直線相連形成為（?。┤切?，從中發(fā)現(xiàn)三角形的量的循序逐增規(guī)律。

2.1 三邊形數(shù)的點與點之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

圖9是將圖1（三邊形數(shù)圖）中的點與點之間以直線相連形成為三角形（簡稱為“點之間形成的三角形”）的圖。圖10是反映圖9的三角形的量的統(tǒng)計表。從圖9、圖10看出，三邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量，隨著有序擴延，是循著奇數(shù)“1、3、5、7……”的規(guī)律逐增，其數(shù)列差為2。筆者研究結果表明，奇數(shù)“1、3、5、7……”的循序逐增規(guī)律實際上是兩個自然數(shù)循序相加之和，即：1=1+0，3=2+1，5=3+2，7=4+3，……根據(jù)此規(guī)律，筆者又將三邊形的整體設定為1個大三角形的整體，那么，可求得三邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

三邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*1]+[（2+1）*1]+[（3+2）*1]+[（4+3）*1]+……+[（n+n-1）*1]

（式中n表示擴延次數(shù)）

2.2 四邊形數(shù)的點與點之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

圖11是將圖3（四邊形數(shù)圖）中的點與點之間以直線相連形成為三角形的圖。圖12是反映圖11的三角形的量的統(tǒng)計表。從圖11看出，圖11（即四邊形）是由2個圖9（即大的三角形）組成的整體。因此，從圖12看出，四邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量，其每次有序擴延，均是三邊形的2倍，以此可求得四邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

四邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*2]+[（2+1）*2]+[（3+2）*2]+[（4+3）*2]+……+[（n+n-1）*2]

（式中n表示擴延次數(shù)）

2.3 五邊形數(shù)的點與點之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

圖13是將圖5（五邊形數(shù)圖）中的點與點之間以直線相連形成為三角形的圖。圖14是反映圖11的三角形的量的統(tǒng)計表。從圖13看出，圖13（即五邊形）是由3個圖9（即大的三角形）組成的整體。因此，從圖14看出，五邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量，其每次有序擴延，均是三邊形的3倍，以此可求得五邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

五邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]

（式中n表示擴延次數(shù)）

2.4 六邊形數(shù)的點與點之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

圖15是將圖7（六邊形數(shù)圖）中的點與點之間以直線相連形成為三角形的圖。圖16是反映圖15的三角形的量的統(tǒng)計表。從圖15看出，圖15（即六邊形）是由4個圖9（即大的三角形）組成的整體。因此，從圖16看出，六邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量，其每次有序擴延，均是三邊形的4倍，以此可求得六邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

六邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]

（式中n表示擴延次數(shù)）

求證邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增定理

從上證明中已知：

三邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為“0+[（1+0）*1]+[（2+1）*1]+[（3+2）*1]+[（4+3）*1]+……+[（n+n-1）*1]”，其式中的乘數(shù)“1”，正是三邊形的3-2（即B-2）之差；

四邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為“0+[（1+0）*2]+[（2+1）*2]+[（3+2）*2]+[（4+3）*2]+……+[（n+n-1）*2]”，其式中的乘數(shù)“2”，正是四邊形的4-2（即B-2）之差；

五邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為“0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]”， 其式中的乘數(shù)“3”，正是五邊形的5-2（即B-2）之差；

六邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為“0+[（1+0）*4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]”，其式中的乘數(shù)“4”，正是六邊形的6-2（即B-2）之差。

依照歸納法，求得邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為：

邊形數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=“0+[（1+0）*（B-2）]+[（2+1）*（B-2）]+[（3+2）*（B-2）]+[（4+3）*（B-2）]+……+[（n+n-1）*4]”（式中B是表示邊形的邊的量，n表示擴延次數(shù)）

邊形數(shù)可置換為扇形圖來表達

從上證明中已知，三邊形是由1個大三角形組成的整體，四邊形是由2個大三角形組成的整體，五邊形是由3個大三角形組成的整體，六邊形是由4個大三角形組成的整體，余此類推。根據(jù)此規(guī)律，邊形數(shù)完全可以圖17來表達，應用拓撲原理，邊形數(shù)又可置換為扇形圖來表達，見圖18。

3 棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

數(shù)學家尼可馬科斯在研究邊形數(shù)的基礎上，進一步研究了棱錐體數(shù)。筆者對棱錐體數(shù)的研究，自然是從循序逐增原理的角度來研究的。筆者研究結果表明，當將棱錐體數(shù)以平面的圖來表達時，實質是不同于前文邊形數(shù)的另一種邊形數(shù)，即以點為記號，其起點既是始點又是中心點，依照邊形的要求有序向周邊畫點擴延而形成的邊形點數(shù)（如圖19是三棱錐體數(shù)圖）。

3.1 三棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

圖19是反映三棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的例圖，圖20是三棱錐體點數(shù)統(tǒng)計表，圖21是三棱錐體的“點之間形成的三角形”的量的統(tǒng)計表。

從圖19、圖20看出，圖21隨著三棱錐體的有序擴延，其增加點數(shù)的數(shù)列是循著“1*3，2*3， 3*3，4*3……”的規(guī)律逐增，此乘數(shù)的“3”，正是三棱錐體的“3”。據(jù)此，可求得三棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，其定理為：

三棱錐體數(shù)=1+《1*3》+（2*3）+（3*3）+（4*3）+…… +（n*3）

（式中n表示擴延次數(shù)）

現(xiàn)求三棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。從圖19、圖21看出，隨著三棱錐體的有序擴延，其“點之間形成的三角形”的量，循著“[（1+0）*3]，[（2+1）*3]，[（3+2）*3]，[（4+3）*3]+……”的規(guī)律逐增。式中乘數(shù)“3”，正是三棱錐體的“3”。與三邊形相比，式中乘數(shù)多“2”（即3-1=2），從中可知其每次有序擴延的三角形的量，比三邊形多“（n+n-1）*2”個。由此可求得三棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

三棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]

（式中n表示擴延次數(shù)）

3.2 四棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

圖22是反映四棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的例圖，圖23是四棱錐體點數(shù)統(tǒng)計表，圖24是四棱錐體的“點之間形成的三角形”的量的統(tǒng)計表。

從圖22、圖23看出，隨著四棱錐體的有序擴延，其增加的點數(shù)是循著“1*4，2*4，3*4，4*4……”的規(guī)律逐增，此乘數(shù)的“4”，正是四棱錐體的“4”。據(jù)此，可求得四棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，其定理為：

四棱錐體數(shù)=1+《1*4》+（2*4）+（3*4）+（4*4）+……+（n*4）（式中n表示擴延次數(shù)）現(xiàn)求四棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。從圖22、圖24看出，隨著四棱錐體的有序擴延，其“點之間形成的三角形”的量，循著“[（1+0）*4]，[（2+1）*4]，[（3+2）*4]，[（4+3）*4]+……”的規(guī)律逐增。式中乘數(shù)“4”，正是四棱錐體的“4”。與四邊形相比，式中乘數(shù)多“2”（即4-2=2），從中可知其每次有序擴延的三角形的量，比四邊形多“（n+n-1）*2”個。由此可求得四棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律，其定理為：

四棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]

（式中n表示擴延次數(shù)）

3.3 五棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

圖25是反映五棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的例圖，圖26是五棱錐體點數(shù)統(tǒng)計表，圖27是五棱錐體的“點之間形成的三角形”的量的統(tǒng)計表。

從圖25、圖26看出，隨著五棱錐體的有序擴延，其增加點數(shù)的數(shù)列是循著“1*5，2*5，3*5，4*5……”的規(guī)律逐增，此乘數(shù)的“5”，正是五棱錐體的“5”。據(jù)此，可求得五棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，其定理為：

五棱錐體數(shù)=1+《1*5》+（2*5）+（3*5）+（4*5）+……+（n*5）（式中n表示擴延次數(shù)）

現(xiàn)求五棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。從圖25、圖27看出，隨著五棱錐體的有序擴延，其“點之間形成的三角形”的量，循著“[（1+0）*5]，[（2+1）*5]，[（3+2）*5]，[（4+3）*5]+……”的規(guī)律逐增。式中乘數(shù)“5”，正是五棱錐體的“5”。與五邊形相比，式中乘數(shù)多“2”（即5-3=2），從中可知其每次有序擴延的三角形的量，比五邊形多“（n+n-1）*2”個。由此可求得五棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

五棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*5]+[（2+1）*5]+[（3+2）*5]+[（4+3）*5]+……+[（n+n-1）*5]

（式中n表示擴延次數(shù)）

3.4 六棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

圖28是反映六棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的例圖，圖29是六棱錐體點數(shù)統(tǒng)計表，圖30是六棱錐體的“點之間形成的三角形”的量的統(tǒng)計表。

從圖28、圖29看出，隨著六棱錐體的有序擴延，其增加點數(shù)的數(shù)列是循著“1*6，2*6，3*6，4*6……”的規(guī)律逐增，此乘數(shù)的“6”，正是六棱錐體的“6”。據(jù)此，可求得六棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，其定理為：六棱錐體數(shù)=1+《1*6》+（2*6）+（3*6）+（4*6）+ ……+（n*6）（式中n表示擴延次數(shù)）

現(xiàn)求六棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。從圖28、圖30看出，隨著六棱錐體的有序擴延，其“點之間形成的三角形”的量，循著“[（1+0）*6]，[（2+1）*6]，[（3+2）*6]，[（4+3）*6]+……”

的規(guī)律逐增。式中乘數(shù)“6”，正是六棱錐體的“6”。與六邊形相比，式中乘數(shù)多“2”（即6-4=2），從中可知其每次有序擴延的三角形的量，比四邊形多“（n+n-1）*2”個。由此可求得六棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

六棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*6]+[（2+1）*6]+[（3+2）*6]+[（4+3）*6]+……+[（n+n-1）*6]

（式中n表示擴延次數(shù)）

3.5 求證棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的循序逐增定理

先求證棱錐體數(shù)循序逐增定理。

已知，三棱錐體數(shù)=1+《1*3》+（2*3）+（3*3）+（4*3）+……+（n*3）；

四棱錐體數(shù)=1+《1*4》+（2*4）+（3*4）+（4*4）+……+（n*4）；

五棱錐體數(shù)=1+《1*5》+（2*5）+（3*5）+（4*5）+……+（n*5）；

六棱錐體數(shù)=1+《1*6》+（2*6）+（3*6）+（4*6）+……+（n*6）。

依照歸納法，得棱錐體數(shù)循序逐增定理為：

棱錐體數(shù)=1+《1*L》+（2*L）+（3*L）+（4*L）+……+（n*L）

（式中L表示棱的量，n表示擴延次數(shù)）

現(xiàn)求證棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量循序逐增定理。

已知，三棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]；

四棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]；

五棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*5]+[（2+1）*5]+[（3+2）*5]+[（4+3）*5]+……+[（n+n-1）*5]

六棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*6]+[（2+1）*6]+[（3+2）*6]+[（4+3）*6]+……+[（n+n-1）*6]

依照歸納法，得棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量定理為：棱錐體數(shù)的“點之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*L]+[（2+1）*L]+[（3+2）*L]+[（4+3）*L]+……+[（n+n-1）*L]

（式中L表示棱的量，n表示擴延次數(shù)）

3.6 棱錐體數(shù)可置換為扇形圖來表達

筆者研究結果表明，依照拓撲原理，遵循棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量，可以置換為圓形圖來表達。如圖31，是表達三棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的圓形圖；如圖32，是表達四棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的圓形圖；如圖33，是表達五棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量的圓形圖。其余略。

4 棱錐體數(shù)（含“點之間形成的三角形”的量）與邊形數(shù)的相近相同現(xiàn)象

在此，值得一提的，如將三棱錐體數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量，跟五邊形數(shù)及其“點之間形成的三角形”的量作比較，就會發(fā)現(xiàn)，三棱錐體的每一次擴延增加的點數(shù)比五邊形的每一次擴延增加的點數(shù)，只是1個點之差；三棱錐體的每一次擴延增加的三角形的量與五邊形的每一次擴延增加的三角形的量等同。同理，四棱錐體數(shù)跟六邊形數(shù)作比較，四棱錐體的每一次擴延增加的點數(shù)比六邊形的每一次擴延增加的點數(shù)，只是1個點之差，四棱錐體的每一次擴延增加的三角形的量與六邊形的每一次擴延增加的三角形的量等同。事實也表明，五棱錐體數(shù)跟七邊形數(shù)，六棱錐體數(shù)跟八邊形數(shù)……作比較，均存在這種相近相同的情況。對此，筆者認為，棱錐體數(shù)（含“點之間形成的三角形”的量）與邊形數(shù)這種相近相同現(xiàn)象，是數(shù)學中值得研究的一個問題。

參考文獻

[1] 張爾光.地圖與數(shù)學的組合、排列及三角矩陣[J].數(shù)學學習與研究，2011（19）：96-98.

[2] 張爾光.驗證“圖的僅需色數(shù)定理”的證明方法——著重于對平（球）體表面的圖的僅需色數(shù)驗證[J].數(shù)學學習與研究，2014（9）：124-125，127.

[3] 張爾光.圖的形成原理與圖的模式及圖的本質[J].科技創(chuàng)新導報，2010（17）：250-251，253.