王斌華

(長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，西安 710064)

管道流固耦合振動問題蘊含豐富、復雜的動力學內(nèi)容而備受關注，研究其振動特性具有廣泛的工程背景及重要應用價值。目前，對懸臂管流固耦合系統(tǒng)振動研究大多局限于單節(jié)臂管道振動特性［1］，或雖考慮多節(jié)臂管道振動，但僅研究剛性輸液管道耦合系統(tǒng)［2］，未考慮管道彈性變形對耦合系統(tǒng)的動力學影響。工程應用中，如噴漿機、混凝土泵車及高空消防車等均采用流體輸送管道附在多節(jié)柔性臂的結構設計，且節(jié)臂系統(tǒng)常位于振動基礎上，因此開展多節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)基座振動分析有重要工程價值。已有對此類機械多節(jié)臂桿結構的動力學研究［3－4］及振動控制研究［5－7］，但模型中未考慮流固耦合與基座振動因素。

本文結合柔性多體動力學［8－9］與流固耦合動力學理論，利用懸臂輸液管Lagrange方程建立基座振動作用時雙節(jié)柔性懸臂管流固耦合系統(tǒng)動力學方程，分析節(jié)臂姿態(tài)變化、節(jié)臂長度及平均流速對流固耦合系統(tǒng)振動影響。

1 耦合系統(tǒng)運動微分方程

雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)基座振動模型見圖1。方程建立基于假設:每節(jié)懸臂管全長范圍內(nèi)具有統(tǒng)一內(nèi)徑及截面屬性，材料各向同性;已知懸臂管材料彈性模量 E，截面慣性矩 I1、I2，單位長度質(zhì)量 ρp1、ρp2，管長l1、l2;管內(nèi)為無粘不可壓縮液體，液體單位長度質(zhì)量ρf1、ρf2;流速U(t)，任一點流體流速方向相切于該處彈性變形管軸線，平行于單位切矢量;忽略流體－懸臂管系統(tǒng)內(nèi)外結構阻尼及懸臂管剪切變形;懸臂管振動時管軸線不可伸長。懸臂管位于豎向振動基礎上，建立絕對坐標系x0o0y0與連體坐標系xioiyi( i=1，2，3)，o1點豎向振動位移為v(t)，x1o1y1固定于振動基礎上，懸臂管1管單元產(chǎn)生沿x2軸、y2軸位移分別為u1、w1，懸臂管2的管單元產(chǎn)生沿x3軸、y3軸位移分別為u2、w2。

圖1 雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)基座振動模型Fig.1 Dynamic model of the two cantilever pipes on vibration foundation

由圖1(b)可知，坐標系x2o2y2中，懸臂管1上任意管單元p1位置矢量為

在坐標系x0o0y0中，懸臂管1上任意管單元p1位置矢量為

管單元p1速度矢量為

式中:B為從連體坐標系x1o1y1到絕對坐標系x0o0y0的平移變換矩陣;A1為動坐標系 x2o2y2到動坐標系x1o1y1的方向余弦矩陣，即

式中:β1為x2軸與x1軸夾角。

坐標系x0o0y0中懸臂管1內(nèi)流體單元速度矢量為

式中:2τ→f1為流體單元在坐標系x2o2y2中的切矢量，即

懸臂管2上管單元速度矢量為

式中:β2為坐標系x3o3y3的x3軸與坐標系x1o1y1的x1軸夾角。

在坐標系x0o0y0中，懸臂管2內(nèi)流體單元的速度矢量為

式中:3τ→f2為流體單元在坐標系x3o3y3中切矢量，即

因此，懸臂管1動能為

懸臂管1勢能為

懸臂管1內(nèi)流體動能為

懸臂管1內(nèi)流體勢能為

懸臂管2動能為

懸臂管2勢能為

懸臂管2內(nèi)流體動能為

懸臂管2內(nèi)流體勢能為

用假設模態(tài)法，兩節(jié)柔性臂在各自連體坐標系橫向位移可表示為里茲基函數(shù)的線性組合［10－11］，即

式中:qkr(t)為對應φkr(x)的廣義坐標，φkr(x)為k節(jié)臂桿r階基函數(shù);N為里茲基函數(shù)階數(shù)，據(jù)研究對象的固有頻率、激擾頻率確定此處N=2即可獲得滿意的近似。前兩階基函數(shù)［12］為

據(jù)文獻［1］，懸臂輸液管系統(tǒng)Lagrange方程為

式中:→r 為懸臂管末端位置矢量(圖1(a))，即

且

將式(9)～式(16)及式(20)、(21)代入式(19)，采用里茲基函數(shù)線性化表示節(jié)臂的橫向變形，整理得懸臂管流固耦合動力學方程為

式中:M，C，K，F(xiàn)分別為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣及載荷列陣;q為廣義坐標列陣。

對時變系數(shù)微分方程組一般采用逐步積分的數(shù)值方法求解，本文用Newmark－β法，用MATLAB編寫程序，通過數(shù)值計算求得任意時刻廣義坐標q(t)，代入式(17)即可獲得懸臂管動態(tài)響應。

2 數(shù)值仿真

雙節(jié)懸臂管參數(shù)為:臂長l1=l2=0.75 m，節(jié)臂1慣性矩 Ip1=5.208 ×10－10m4，節(jié)臂2 慣性矩 Ip2=3.125×10－10m4，節(jié)臂1 密度 ρp1=0.675kg/m，節(jié)臂 2 密度ρp2=0.405kg/m，彈性模量 E=6.895 ×1010Pa，流體密度 ρf1= ρf2=0.154kg/m。

選取節(jié)臂的3種姿態(tài)進行振動響應分析，姿態(tài)角分別為:姿態(tài)1(β1=0°，β2=0°)，姿態(tài) 2(β1=52°，β2=－28°)，姿態(tài)3(β1=80°，β2=0°)。

2.1 流體平均流速影響分析

基座振動位移為 v(t)=0.0015 sin(0.6πt)(m)，選取流體流速分別為 U1(t)=2+0.1sin(0.6πt)(m/s)、U2(t)=5+0.1sin(0.6πt)(m/s)及 U3(t)=10+0.1sin(0.6πt)(m/s)進行分析，結果見圖3。由圖3可知，①平均流速相同時節(jié)臂系統(tǒng)姿態(tài)變化使系統(tǒng)振動響應變化較大，說明姿態(tài)角變化對雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)影響顯著;②節(jié)臂系統(tǒng)姿態(tài)不變時，隨平均流速增加姿態(tài)1動態(tài)響應幅值逐漸減小，姿態(tài)2、3動態(tài)響應幅值減小后再增大，但平均流速的提高會增加流體流動產(chǎn)生的激勵作用，使3種姿態(tài)的振動響應均值提高，且對水平姿態(tài)1可達較高的工作流速不使振動響應幅值過大。

圖3 不同平均流速時節(jié)臂振動響應Fig.3 Vibration response of arms with different flow velocity

2.2 節(jié)臂長度影響分析

基座振動位移為 v(t)=0.0015 sin(0.6πt)(m)，選取節(jié)臂長度參數(shù)分別為:① 臂長參數(shù)1(L1=0.5 m，L2=1.0 m);② 臂長參數(shù)2(L1=0.75 m，L2=0.75 m);③ 臂長參數(shù) 3(L1=1.0 m，L2=0.5 m)，姿態(tài)變化后節(jié)臂動態(tài)響應見圖4。由圖4可知，① 在每種固定姿態(tài)下，改變節(jié)臂長度使其末端振動響應變化顯著。因節(jié)臂長度變化會改變振動系統(tǒng)質(zhì)量分布，引起系統(tǒng)固有頻率變化，因此振動響應幅值、頻率均發(fā)生變化;② 由圖4(b)知，L1=1.0 m，L2=0.5 m 時節(jié)臂間彎矩振動幅值最小。因此，采用節(jié)臂間彎矩作為主動控制力時該系統(tǒng)所需控制力較小，說明進行節(jié)臂系統(tǒng)振動控制設計時，優(yōu)化臂架長度可降低系統(tǒng)控制能量。

圖4 不同節(jié)臂長度時節(jié)臂振動響應Fig.4 Vibration response of arms with different arm length

3 試驗研究

為驗證理論模型的正確性，在振動臺上進行雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)動態(tài)響應試驗，對比研究節(jié)臂2末端實測振動加速度與仿真計算值。為控制設定的基座振動參數(shù)，將雙節(jié)懸臂管模型夾持在SDS－500型液壓伺服動靜試驗機上，由工控機控制伺服油缸振動位移為 v(t)=0.0015 sin(0.6πt)(m)，加速度傳感器選ARF－20A，采集系統(tǒng)為DH5927。通過定量泵控制流速為U=3.82 m/s。試驗照片見圖5，試驗、仿真結果對比見圖6。由圖6對比分析可知，姿態(tài)變化時測試曲線與仿真曲線的峰谷出現(xiàn)時刻基本對應，且曲線變化規(guī)律及幅值基本相同，說明該理論模型合理。

圖5 試驗照片F(xiàn)ig.5 Test photos

圖6 加速度計算與測試結果對比圖Fig.6 Acceleration results comparison between calculation and test

4 結論

基于柔性多體動力學與流固耦合動力學理論，利用懸臂輸液管Lagrange方程建立雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)基座振動力學方程，研究節(jié)臂姿態(tài)、平均流速及節(jié)臂長度對流固耦合系統(tǒng)振動影響。結論如下:

(1)節(jié)臂姿態(tài)與長度變化對雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)振動響應影響顯著。

(2)提高平均流速可增加流體產(chǎn)生的激勵作用，提高雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)振動響應均值，且對水平姿態(tài)，具有較高的穩(wěn)定工作流速。

(3)節(jié)臂長度變化影響節(jié)臂2約束端振動彎矩，因此進行節(jié)臂系統(tǒng)振動控制設計時，優(yōu)化臂架長度可降低系統(tǒng)控制能量。

(4)通過雙節(jié)懸臂管流固耦合系統(tǒng)振動臺試驗與仿真分析對比，驗證所建動力學模型的正確性，該模型可用于雙節(jié)懸臂管系統(tǒng)主動控制研究。

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