●何 燈 李云杰 (福清第三中學(xué) 福建福清 350315)

似是而非 錯(cuò)在哪里
——談2個(gè)相似不等式的推廣及證明

●何 燈 李云杰 (福清第三中學(xué) 福建福清 350315)

問題［1］已知a，b，c為滿足a+b+c=1的正數(shù)，求證:

(《中學(xué)數(shù)學(xué)》第231號(hào)問題)

宋慶老師在其微博中歸納了式(1)的多種證明，并給出了其姊妹不等式:已知a，b，c為滿足a+b+ c=1的正數(shù)，求證:

文獻(xiàn)［2］利用換元法給出上述姊妹不等式的新證，并利用此證法將式(1)和式(2)推廣為:

命題1 已知a，b，c為滿足a+b+c=1的正數(shù)，n∈R且n＞1，k∈R且k≥0，求證:

筆者發(fā)現(xiàn)式(3)對(duì)任意k≥0不恒成立，如令a=b→0+，c→1，k→0+，若原式成立，則必有得，這與條件矛盾，顯然文獻(xiàn)［2］中的換元證法存在問題.為了說明問題所在，現(xiàn)將文獻(xiàn)［2］中針對(duì)式(1)的證明摘抄如下:

證明［2］設(shè)，其中a＞0，i=1，2，3，則i

上述推理過程似乎很自然，究竟錯(cuò)在哪里?在證明不等式時(shí)，常用到分析法和綜合法，而分析法又稱執(zhí)果索因法，顧名思義，即從證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知、定理、定義、公理等).考查文獻(xiàn)［2］的證明，在使用了冪平均不等式之后，實(shí)際上是將問題轉(zhuǎn)化為證明(此為待證不等式)，而上述證明過程中已認(rèn)定此不等式成立，從而證明了犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

下面筆者給出式(3)和式(4)的修正、推廣及證明.命題2 已知a，b，c為滿足a+b+c=1的正數(shù)，n∈R且n＞0，k∈R，則當(dāng)時(shí)，式(3)成立;當(dāng) k≥0時(shí)，式(4)成立.

當(dāng)k≥0時(shí)，由均值不等式得

即式(4)成立.

［1］ 宋慶.數(shù)學(xué)奧林匹克問題高231［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2008(8):47.

［2］ 王煒.兩個(gè)相似不等式的統(tǒng)一證明及推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015(1):20-23.