●馬占山 (五原中學(xué) 寧夏固原 756000)

對一道賽題的證法探究與推廣

●馬占山 (五原中學(xué) 寧夏固原 756000)

題目 設(shè)x，y，z是正實(shí)數(shù)，且xyz=1，求證:

這是第39屆IMO預(yù)選試題，本文主要對該賽題的解法作一些探究并進(jìn)行加強(qiáng)和推廣.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取到等號(hào).

證法2 不等式(1)等價(jià)于

由x4+1≥2x2，可得x4≥2x2－1;又由，得x3≥3x－2，從而

要證明不等式(2)成立，只需要證明下面不等式成立:

注意到

從而

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取到等號(hào).

對不等式(1)的左邊3項(xiàng)x，y，z的次數(shù)進(jìn)行探究得到下面2個(gè)命題:

命題1 設(shè)x，y，z是正實(shí)數(shù)，且xyz=1，則

證明 該不等式等價(jià)于4(x2+y2+z2)+4(x+y+z)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx).

注意到 4(x2+y2+z2)+4(x+y+z)≥4(xy+yz+zx)+4(x+y+z)，

因此只需證明4(xy+yz+zx)+4(x+y+z)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx)，即

證明 該不等式等價(jià)于4(x3+y3+z3)+4(x2+y2+z2)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx).

4(x3+y3+z3)+4(x2+y2+z2)≥4(3x+3y+3z－6)+4(xy+yz+zx)=12(x+y+z)+4(xy+yz+zx)－24，

因此，只需證明12(x+y+z)+4(xy+yz+zx)－24≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx)，即

至此，我們自然會(huì)將不等式(1)推廣為

推廣1 設(shè)x，y，z是正實(shí)數(shù)，且xyz=1，n是正整數(shù)，則

證明 當(dāng)n=1，2，3時(shí)，前面已經(jīng)證明，下面證明當(dāng)n≥4時(shí)成立.此不等式等價(jià)于4(xn+1+yn+1+zn+1)+4(xn+yn+zn)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx).

因此 xn+1+yn+1+zn+1≥x2+y2+z2.

同理可得 xn+yn+zn≥x+y+z，

于是 4(xn+1+yn+1+zn+1)+4(xn+yn+zn)≥4(x2+y2+z2)+4(x+y+z)，下面的證明過程同命題1(略).

利用證法1又可以將不等式(1)進(jìn)行推廣，即

證明 由三元均值不等式可得

同理可得

以上3個(gè)式子相加得

即

當(dāng)λ=1時(shí)，即為文首的IMO預(yù)選試題.

不等式(1)可加強(qiáng)為

由對不等式(1)的證明過程又可得到

等價(jià)于x+y+z≥3.在條件xyz=1下，由三元均值不等式知顯然成立.