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        對一道賽題的證法探究與推廣

        2015-06-01 12:25:49馬占山五原中學(xué)寧夏固原756000
        中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2015年11期
        關(guān)鍵詞:馬占山固原賽題

        ●馬占山 (五原中學(xué) 寧夏固原 756000)

        對一道賽題的證法探究與推廣

        ●馬占山 (五原中學(xué) 寧夏固原 756000)

        題目 設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),且xyz=1,求證:

        這是第39屆IMO預(yù)選試題,本文主要對該賽題的解法作一些探究并進(jìn)行加強(qiáng)和推廣.

        當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取到等號(hào).

        證法2 不等式(1)等價(jià)于

        由x4+1≥2x2,可得x4≥2x2-1;又由,得x3≥3x-2,從而

        要證明不等式(2)成立,只需要證明下面不等式成立:

        注意到

        從而

        當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取到等號(hào).

        對不等式(1)的左邊3項(xiàng)x,y,z的次數(shù)進(jìn)行探究得到下面2個(gè)命題:

        命題1 設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),且xyz=1,則

        證明 該不等式等價(jià)于4(x2+y2+z2)+4(x+y+z)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx).

        注意到 4(x2+y2+z2)+4(x+y+z)≥4(xy+yz+zx)+4(x+y+z),

        因此只需證明4(xy+yz+zx)+4(x+y+z)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx),即

        證明 該不等式等價(jià)于4(x3+y3+z3)+4(x2+y2+z2)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx).

        4(x3+y3+z3)+4(x2+y2+z2)≥4(3x+3y+3z-6)+4(xy+yz+zx)=12(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-24,

        因此,只需證明12(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-24≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx),即

        至此,我們自然會(huì)將不等式(1)推廣為

        推廣1 設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),且xyz=1,n是正整數(shù),則

        證明 當(dāng)n=1,2,3時(shí),前面已經(jīng)證明,下面證明當(dāng)n≥4時(shí)成立.此不等式等價(jià)于4(xn+1+yn+1+zn+1)+4(xn+yn+zn)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx).

        因此 xn+1+yn+1+zn+1≥x2+y2+z2.

        同理可得 xn+yn+zn≥x+y+z,

        于是 4(xn+1+yn+1+zn+1)+4(xn+yn+zn)≥4(x2+y2+z2)+4(x+y+z),下面的證明過程同命題1(略).

        利用證法1又可以將不等式(1)進(jìn)行推廣,即

        證明 由三元均值不等式可得

        同理可得

        以上3個(gè)式子相加得

        當(dāng)λ=1時(shí),即為文首的IMO預(yù)選試題.

        不等式(1)可加強(qiáng)為

        由對不等式(1)的證明過程又可得到

        等價(jià)于x+y+z≥3.在條件xyz=1下,由三元均值不等式知顯然成立.

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