●傅瑞琦 (金華市教育局教研室 浙江金華 321000)
提出問題是實現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的顯性表現(xiàn)
——“圖形的旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課”的教學(xué)實踐與思考
●傅瑞琦 (金華市教育局教研室 浙江金華 321000)
近日,筆者所在教研室組織了一次九年級復(fù)習(xí)教學(xué)研究活動,內(nèi)容是“圖形的旋轉(zhuǎn)”,其主題是“有效促進數(shù)學(xué)思考”.
“數(shù)學(xué)思考”作為一種“過程性目標”,是課堂教學(xué)組織實施的一個基本出發(fā)點,需要創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生在觀察探究、獨立思考、合作交流中經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”,通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和分析解決問題,形成數(shù)學(xué)的思維方式.“圖形旋轉(zhuǎn)”的復(fù)習(xí),其目的是回憶旋轉(zhuǎn)概念、識別旋轉(zhuǎn)圖形、運用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解決有關(guān)圖形變換問題,學(xué)會思考與表達,形成內(nèi)在的知識聯(lián)系,落實“數(shù)學(xué)思考”的目標.
為了使活動能夠聚焦話題,理解“數(shù)學(xué)思考”的內(nèi)涵,采用“同題異構(gòu)”的形式,2位教師選用同一個例題,力求經(jīng)過對教學(xué)素材不同的處理方式,產(chǎn)生不同的教學(xué)效果,引起聽課教師的關(guān)注,通過進一步地研究和探討,尋求復(fù)習(xí)教學(xué)的有效途徑.
例1 如圖1,E是正方形ABCD的邊CD上一點,延長CB至點F,使BF=DE,聯(lián)結(jié)AE,AF,能通過旋轉(zhuǎn)△ADE得到△ABF嗎?請說明理由.
本素材為浙教版教材“3.2圖形的旋轉(zhuǎn)”后的作業(yè)題,“在正方形背景下賦予旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容、呈現(xiàn)的基本圖形”為學(xué)生所熟悉,容易與三角形、四邊形和圓等知識相聯(lián)系,有很大的可塑性和進一步拓展的空間.
圖1
圖2
教師A
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧旋轉(zhuǎn)的概念、條件和性質(zhì)后,呈現(xiàn)例題:
例2 如圖2,在正方形ABCD中,E是邊CD上任意一點,將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABF.旋轉(zhuǎn)中心是哪一點?旋轉(zhuǎn)了多少度?旋轉(zhuǎn)角有哪些?
生1:旋轉(zhuǎn)中心是點A,旋轉(zhuǎn)了90°,旋轉(zhuǎn)角是∠DAB.
生2:還有∠EAF也是旋轉(zhuǎn)角.
師:若正方形ABCD的邊長是8,DE=6,點E在旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的路徑長是多少?生3:該路徑是一段弧長,其長度是5π.
師:△ADE在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的是什么圖形?你能求出它的面積嗎?小組討論3分鐘.
生4:△ADE在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的是以AE為半徑、圓心角為90°的扇形.
生5:不對,掃過的圖形是“扇形+△ADE”.
生4:不對,旋轉(zhuǎn)過程中不應(yīng)該包括△ADE.
面對2位學(xué)生的爭論,教師指出△ADE在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的部分應(yīng)該包括三角形,求解后呈現(xiàn)練習(xí),在學(xué)生練習(xí)鞏固中完成這節(jié)課的教學(xué).
教師B
圖3
例 3 如圖 3,在正方形ABCD中,E是CD邊上一點,將△ADE順時針旋轉(zhuǎn).
畫一畫 自己給定旋轉(zhuǎn)的角度,你能夠畫出圖形嗎?
想一想 如圖2,請你用直角三角板操作,觀察旋轉(zhuǎn)過程,從旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)出發(fā),你能夠提出什么問題嗎?
(學(xué)生畫圖,教師將一位學(xué)生的作品即圖2呈現(xiàn)在黑板上.)
生1:這一過程中,旋轉(zhuǎn)中心是什么?旋轉(zhuǎn)了多少度?旋轉(zhuǎn)角有哪些?
生2:旋轉(zhuǎn)后可以得到哪些等量關(guān)系?
師:你能回答嗎?
生3:旋轉(zhuǎn)中心是點A,旋轉(zhuǎn)了90°,旋轉(zhuǎn)角有∠EAF,∠DAB.
生4:有△ADE≌△ABF,AE=AF,△AEF是等腰直角三角形,∠AFE=∠AEF=45°等.
算一算 如果正方形邊長為8,DE=6,你能提出幾個問題讓大家求解嗎?獨立思考后,與同桌交流.
2分鐘后,學(xué)生匯報得到以下問題:
問題1 AE的長是多少?
問題2 EF的長是多少?
問題3 點E在旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的路徑長是多少?
問題4 線段AD掃過的面積是多少?
……
生5:在Rt△ADE中,AE=10;在等腰Rt△AEF中,點E在旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的路徑長是
師:除了在等腰Rt△AEF中可以求得EF,還有其他方法嗎?
生7:在Rt△EFC中,
師:類似問題3,你還可以提出什么問題?
生8:點D在旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的路徑長是多少?
師:類似問題4,你還可以提出什么問題?
生9:線段AE掃過的面積是多少?線段 DE掃過的面積是多少?
師:線段DE掃過的圖形與前2者是否一樣?你能畫出圖形嗎?
生10:線段DE掃過的圖形是圖4中陰影部分.
圖4
圖5
師:從剛才同學(xué)們提出問題的角度看,點旋轉(zhuǎn)后可以求其經(jīng)過的路徑長,線段旋轉(zhuǎn)后可以求其掃過的面積.你還可以提出什么問題?
生11:△ADE掃過的面積為多少?
師:△ADE掃過的圖形由哪幾部分組成呢?
生12:△ADE掃過的面積由△ADE與扇形EAF組成,面積是50π+24.
理一理 上述的問題解決過程中,你有哪些經(jīng)驗?
生13:旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等圖形,存在的等量關(guān)系計算時可以利用.
生14:旋轉(zhuǎn)畫圖的關(guān)鍵是找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.
……
議一議 以正方形的2條邊建立如圖5所示的直角坐標系,正方形ABOD的邊長為8,點E是y軸上一點,將△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°,AE與x軸交于點F.
師:你能提出什么問題讓大家思考?如果你感覺困難,可以在點E的坐標為(0,10)條件下提出問題,先獨立思考,再小組交流.
3分鐘后,小組匯報結(jié)果如下:
1)當點E(0,10)時:
問題5 求直線AF的解析式.
問題6 求AD與EF的交點G的坐標.
問題7 求△OEF的面積.
2)當點E在y軸上時:
問題8 若EF與線段AD交點為G,△AGF能否為等腰三角形?
……
生15:對于問題5,利用點A(-8,8)和F(-6,0)聯(lián)立方程組,就可以求出直線AF的解析式為y=-4x-24.生16:對于問題6,由于,即解得,所以點G的坐標是
師:我們先研究問題8,根據(jù)你的經(jīng)驗,△AGF為等腰三角形有幾種情況?
生17:根據(jù)頂點的不同分類,有AG=AF(圖6),GA=GF(圖7),F(xiàn)A=FG(圖8)這3種情況.
圖6
圖7
圖8
師:你是如何畫出這些圖形的?
生18:用三角板旋轉(zhuǎn)就會發(fā)現(xiàn)△AGF為等腰三角形時的各種情況.
師:下面我們重點研究圖8,你用什么方法求點E的坐標?
生19(方法1):如圖8,過點F作FH⊥AD于點H,設(shè)BF=DE=t,由△EGD∽△GHF得,即,解得,故 E(0,
師:還有其他方法嗎?
生21(方法3):由△DEG∽△ADE,利用DE2= DG·DA得到t2=(8-2t)×8.
師:問題7如何求?
生23:△OEF的面積是
師:對于△OEF的面積問題,我們發(fā)現(xiàn):當點E位于點D時(如圖6),△OEF的面積為正方形面積的一半,即為32,你能進一步提出問題嗎?
生24:點E是否還存在其他位置,使得△OEF的面積也為32?
師:說說你的求解思路,由于點E在y軸上,求解時還需要注意什么?
生25:旋轉(zhuǎn)三角板發(fā)現(xiàn),△OEF的位置除了如圖8所示的情況,還有圖9和圖10這2種情況,只要設(shè)點E(0,t),根據(jù)面積為32得到關(guān)于t的方程.
圖9
圖10
師:剛才我們研究Rt△OEF的數(shù)量關(guān)系,對于Rt△OEF,你還可以從哪些角度提出問題?
生26:點E在y軸上運動的過程中,以E,O,F(xiàn)為頂點的三角形與△ADE是否相似?
師:好,這是從相似角度提出問題,請畫出2個三角形相似的狀態(tài),具體求解可以課后完成.
生27:我發(fā)現(xiàn)有4種可能(如圖11~14所示):
圖11
圖12
圖13
圖14
師:你是如何畫的?怎樣才能做到全部找出來?
生28:用直角三角板,將直角頂點放在點A,旋轉(zhuǎn)一周,觀察點E的位置,來判斷2個三角形相似的可能性.
說一說 通過這節(jié)課的復(fù)習(xí),說說你對旋轉(zhuǎn)的理解,可以從哪幾個角度去總結(jié)?
教師引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容、性質(zhì)結(jié)論和思想方法等角度概括總結(jié).
3.1 就題論題,難于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考
教師A組織學(xué)生回憶旋轉(zhuǎn)概念、性質(zhì),使知識條理系統(tǒng)化,有層次地呈現(xiàn)問題,引導(dǎo)學(xué)生分析,在問題的逐步解決過程中,完成對旋轉(zhuǎn)的復(fù)習(xí).但在這一過程中,關(guān)注更多的是旋轉(zhuǎn)知識,忽視了學(xué)情,沒有按學(xué)生多發(fā)錯誤進行編擬,學(xué)生也就是按部就班地解答教師提出的問題.雖然也組織了學(xué)生合作交流,但辯論的焦點是三角形掃過圖形的認定,與旋轉(zhuǎn)本質(zhì)關(guān)聯(lián)不大.一問一答,更多的是進行即時思考,難于消除學(xué)生對旋轉(zhuǎn)知識的模糊認識或錯誤理解,來進一步認清知識的本質(zhì)和發(fā)展數(shù)學(xué)思考.
3.2 經(jīng)歷探究,讓學(xué)生真正體會知識的發(fā)展與聯(lián)系
教師B的教學(xué),其顯著特點是引導(dǎo)學(xué)生提出問題.在“想一想”動手操作中,教師引導(dǎo)學(xué)生從旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)角度提出問題;“算一算”引導(dǎo)學(xué)生從旋轉(zhuǎn)知識的直接應(yīng)用提出問題,在求解過程中建立知識之間的聯(lián)系;“理一理”引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題經(jīng)驗,體會其中的數(shù)學(xué)思想、研究方法,為進一步解決問題拓寬思路;“議一議”變定點為動點,讓學(xué)生從運動觀點提出問題進行思考,將旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(包括方法和技能)自然、順暢、扎實地聯(lián)系起來,并有序地延展,使知識得到深化發(fā)展;“說一說”引導(dǎo)反思,從概念、結(jié)論、方法和思想4個層面來總結(jié)概括,優(yōu)化對旋轉(zhuǎn)的認識,在深入思考的過程中,深化對數(shù)學(xué)知識的理解,規(guī)范思維的邏輯,做到“思之有法”,為以后的問題解決提供了思路和方法.通過6個問題的引導(dǎo),讓學(xué)生充分經(jīng)歷了“動手操作—自主探究—合作交流—概括歸納—拓展應(yīng)用”的過程,真正體會旋轉(zhuǎn)相關(guān)知識的發(fā)展、聯(lián)系和應(yīng)用.
因此,教師A的知識呈現(xiàn)形式平鋪直敘,難于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考;而教師B引導(dǎo)學(xué)生提出問題讓學(xué)生思考,曲徑通幽、引人入勝,很好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.
4.1 實施數(shù)學(xué)思考的主要途徑
旋轉(zhuǎn)的定義、旋轉(zhuǎn)的條件以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)成了一個完整的單元知識結(jié)構(gòu).而復(fù)習(xí)教學(xué),就是要把平時相對獨立的知識,以再現(xiàn)、整理、歸納的方式串起來,通過引領(lǐng)學(xué)生自己提出問題喚醒知識,進而加深對知識的理解.
1)動手操作,學(xué)會數(shù)學(xué)思考.圖形旋轉(zhuǎn)中回憶旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、復(fù)雜圖形中尋找相似三角形,都先讓學(xué)生動手操作,有了自己動手的親身經(jīng)歷,其思考過程是直觀、真實、可靠的,經(jīng)歷自己建構(gòu)知識的過程.
2)獨立思考,體會數(shù)學(xué)思考.教師 A一問一答,缺少的是獨立思考的時空,學(xué)生的回答是即時、淺薄的;教師B每一個問題的提出,都先讓學(xué)生獨立思考,如“算一算”中從計算角度提出問題,“議一議”從運動觀點提出問題,學(xué)生都有自己獨立思考的空間,在此基礎(chǔ)的交流,是思維的碰撞,容易產(chǎn)生共鳴,這樣為知識聯(lián)系、數(shù)學(xué)創(chuàng)新打下基礎(chǔ).
3)合作交流,完成數(shù)學(xué)思考.教師B在面對思考空間較大的問題時,如“議一議”中△AGF是等腰三角形存在性問題探究,引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考、交流后得出5種解決方法,體現(xiàn)思維的多元性;從數(shù)量上研究△OEF的面積問題,交流中引導(dǎo)學(xué)生操作,發(fā)現(xiàn)解的多樣性,進一步從形狀上研究△OEF的相似問題,從“操作中的發(fā)現(xiàn)”、“問題解決的不同思路”、“猜測得出的結(jié)論如何進行證明”、“在解題中你使用的方法”等角度進行交流,形成共識,從而獲得知識和經(jīng)驗,共同完成數(shù)學(xué)思考.
4)及時反思,發(fā)展數(shù)學(xué)思考.教師B在“理一理”中引導(dǎo)學(xué)生反思自己的解題過程,“說一說”從內(nèi)容、結(jié)論、方法和思想4個層面來引導(dǎo)學(xué)生反思.對于學(xué)生來說,這些及時的反思,能夠幫助他們舉一反三、觸類旁通、領(lǐng)悟方法,比做題、解題本身更能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.
在每一環(huán)節(jié)中,教師B在引領(lǐng)學(xué)生自己提出問題上下足功夫,從其教學(xué)效果看,讓學(xué)生提出問題,是一種有效的學(xué)習(xí)方法,是一種認知過程,也是一種認知策略,培養(yǎng)了學(xué)生積極思考的習(xí)慣,促進了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.
4.2 設(shè)計問題系列,引導(dǎo)學(xué)生有序提問
“數(shù)學(xué)方式的理性思維”的培養(yǎng),需要學(xué)生積極地參與到每一個學(xué)習(xí)活動過程中,需要教師設(shè)置符合學(xué)生認知規(guī)律的問題系列,在一個不斷進行問題提出、逐步探索、問題解決的過程中讓學(xué)生體驗、發(fā)現(xiàn)和歸納旋轉(zhuǎn)的特征以及解決問題的思維方法,學(xué)會提出問題.如“想一想”中的問題是操作后直接的知識聯(lián)系,“算一算”中的問題是旋轉(zhuǎn)知識的直接應(yīng)用,并在“理一理”中對求解思路進行反思,有了這些問題的鋪墊,在“議一議”中讓學(xué)生自己提出問題,并引導(dǎo)學(xué)生對等腰三角形、三角形面積最值以及相似三角形進行研究,特別是教師“你是如何尋找(相似三角形)?怎樣才能做到全部找出來?”等問題的引導(dǎo),不僅是反思解題的思路,更重要的是反思解決問題的過程.
在一組有層次、有梯度的問題引導(dǎo)下,學(xué)生思維循序漸進;在學(xué)生不斷提出問題、解決問題的過程中,讓學(xué)生充分感受到有序的數(shù)學(xué)思考,進而激活數(shù)學(xué)思維.