常志朋，程龍生

(1. 安徽工業(yè)大學商學院，安徽 馬鞍山 243002；2. 南京理工大學經濟管理學院，江蘇 南京 210094)

灰模糊積分關聯度決策模型

常志朋1，程龍生2

(1. 安徽工業(yè)大學商學院，安徽 馬鞍山 243002；2. 南京理工大學經濟管理學院，江蘇 南京 210094)

灰關聯度決策模型是在假設屬性之間彼此相互獨立的基礎上構建的，但是在很多實際問題中屬性之間往往存在一定的交互作用，從而導致灰關聯度決策模型失效。針對這一問題，引入模糊積分理論，構建了灰模糊積分關聯度決策模型。為求解該模型，定義了基于屬性權重和屬性間交互度的默比烏斯變換系數，來計算2可加模糊測度，其中屬性權重通過序關系分析法和施密特正交馬田系統(tǒng)共同確定，屬性間的交互關系和交互度由專家確定。以廉租房保障家庭經濟狀況評估為例，對灰模糊積分關聯度決策模型和灰關聯度決策模型進行比較驗證，驗證結果表明灰模糊積分關聯度決策模型的決策結果更加科學合理，有較好的應用價值。

灰關聯度；模糊積分；施密特正交馬田系統(tǒng)；默比烏斯變換；序關系分析法

1 引言

灰關聯度[1]是灰關聯分析的基礎，其基本思想是根據序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷序列是否聯系緊密，曲線越接近，相應序列之間關聯度就越大，反之就越小[2]。由于灰關聯度對樣本的數量和分布規(guī)律不做要求，并且計算簡便，故廣泛應用于多屬性決策[3]、因素分析[4]等領域。自從國內學者鄧聚龍教授首次提出鄧氏關聯度以來，大量文獻從不同角度提出了很多灰關聯度模型，如周期關聯度[5]、相似關聯度[6]、振幅關聯度[7]和凸關聯度[8]等。但是這些關聯度模型的研究重點主要集中在灰關聯系數的構建上，而如何將這些灰關聯系數進行有效集成，相關研究則較少。目前主要采用加權平均的方式對灰關聯系數進行集成，這種集成方式本質上是以各個屬性具有線性獨立關系為假設前提的，但是在實際應用中這樣的假設條件很難成立。例如，對一個保障家庭的經濟狀況進行評估，評估屬性分別為“家庭消費水平x1”、“家庭年均收入x2”、“家庭成員工作狀況x3”、“家庭總資產x4”，屬性的權重暫設定為0.10、0.30、0.25和0.35。通過分析可知，屬性x2和x4具有一定的重復性，如果能合并成一個屬性，那么合并后的屬性在評估過程中會更加凸顯自己的作用；屬性x1和x4具有明顯的互補性，這兩個屬性結合在一起能充分說明保障家庭的經濟狀況，即w1∪w4>0.45。因此在確定屬性重要程度時，如果不考慮屬性之間客觀存在的交互性，而是簡單的假設認為屬性之間是相互獨立，互不影響的，那么將導致評估結果失真。模糊積分[9]是定義在模糊測度基礎上的非線性集成算子[10]，它能夠考慮屬性間存在的交互性，從而為解決上述問題提供了有效工具。為此，本文結合模糊積分理論構建了灰模糊積分關聯度決策模型。

2 模型構建

設A1,A2,…,Am為m個候選方案，X={x1,x2,…,xn}為方案的屬性集，候選方案Ak關于屬性xi的評價值為ak(xi)，由此可以得到m個候選方案關于n個屬性的評價矩陣為A=[ak(xi)]m×n，考慮到屬性不同量綱對評價結果的影響，需要對效益型和成本型屬性數據進行規(guī)范化處理，具體公式如下：

(1)

(2)

規(guī)范化后的評價矩陣為Y=[yk(xi)]m×n，現在要選出最優(yōu)方案。

定義1[11]設X={x1,x2,…,xn}為屬性集，P(X)是X的冪集，集函數g:P(X)→[0,1]滿足下面兩個條件：

1)g(φ)=0，g(X)=1；

2)K∈P(X)，T∈P(X)，K?T則g(K)≤g(T)；

稱g是P(X)上的一個模糊測度。

1996年Grabisch[12]從偽布爾函數[13]和黙比烏斯變換[14]出發(fā)提出了k可加模糊測度，并在此基礎之上定義了2可加模糊測度。2可加模糊測度具有較強的表示能力，其計算公式如下[12]：

(3)

式(3)中mi是單個屬性xi的默比烏斯變換系數，它是一種全局重要程度，mij是兩兩屬性{xi,xj}的默比烏斯變換系數，它表示屬性xi和xj之間的交互程度。

Choquet模糊積分[9]是定義在模糊測度基礎上的一種非線性函數，Grabisch[10]提出將其作為一種集成算子來處理屬性間具有交互作用的決策問題。為使灰關聯度能夠處理屬性間的交互作用，本文利用Choquet模糊積分定義了灰模糊積分關聯度。

定義2 設Yk={yk(xi)|i=1,2,…,n}為評價矩陣Y的行向量，表示候選方案Ak關于屬性集X的評價向量，稱之為系統(tǒng)的行為序列，Y0={Y0(xi)|i=1,2,…,n}為n個屬性最大值組成的序列，稱之為參考序列，令：

(4)

為參考序列Y0與行為序列Yk關于屬性xi的灰關聯系數，其中：

稱：

(5)

為序列Y0與Yk的灰模糊積分關聯度，其中(i)為按照γ0k(x(1))≤γ0k(x(2))≤…≤γ0k(x(n))排序后的下標，X(i)={x(i),x(i+1),…,x(n)}，γ0k(x(0))=0，ρ∈(0,1)為分辨系數，一般取0.5。

定理1 灰模糊積分關聯度滿足灰色關聯四公理：

1)規(guī)范性：0<∫γ(Y0,Yk)dg≤1，∫γ(Y0,Yk)dg=1?Y0=Yk；

2)整體性：∫γ(Yk,Ys)dg≠∫γ(Ys,Yk)dg，k≠s；

3)偶對稱性：∫γ(Yk,Ys)dg=∫γ(Ys,Yk)dg?Y={Yk,Ys}；

4)接近性：|y0(xi)-yk(xi)|越小，γ0k(xi)越大。

證明：

1)規(guī)范性。根據式(4)知，若Δk(xi)=Δmin可知γ0k(xi)=1；若Δk(xi)≠Δmin可知Δk(xi)>Δmin，從而(Δmin+ρΔmax)<(Δk(i)+ρΔmax)，故0<γ0k(xi)≤1。再由定義2可知：

0=γ0k(x(0))<γ0k(x(1))≤γ0k(x(2))≤…≤γ0k(x(n))≤1，??X(n)?X(n-1)?…?X(2)?X(1)

進而，根據模糊測度的有界性和單調性可以得到：

0=g(φ)

(6)

進一步根據式(4)知，若Y0=Yk則γ0k(x1)=γ0k(x2)=…=γ0k(xn)，即：

γ0k(x(0))=γ0k(x(1))=γ0k(x(2))=…=γ0k(x(n))

當γ0k(x(0))=γ0k(x(1))=γ0k(x(2))=…=γ0k(x(n))=1時，

∫γ(Y0,Yk)dg=[1-0]g(X(1))+[1-1]g(X(2))+…+[1-1]g(X(n))=g(X(1))

又g(X(1))=g(X)=1，故∫γ(Y0,Yk)dg=1。綜上，規(guī)范性成立。

因此，∫γ(Yk,Ys)dg≠∫γ(Ys,Yk)dg，k≠s。

γks(x1)=γks(x2)=…=γks(xn)=γsk(x1)=γsk(x2)=…=γsk(xn)

∫γ(Yk,Ys)dg=∫γ(Ys,Yk)dg

4)接近性。顯然成立。證畢。

3 模型求解

3.1 定義默比烏斯變換系數

求解灰模糊積分關聯度的關鍵是確定模糊測度，根據公式(3)可知，通過定義默比烏斯變換系數mi和mij可以計算2可加模糊測度。由于mi是一種全局重要程度，因此在定義mi時不僅要考慮屬性xi的相對重要程度，還要考慮屬性xi在所有屬性中的重要程度；在定義mij時既要考慮屬性xi和xj的相對重要程度和在所有屬性中的重要程度，還要考慮屬性xi和xj之間的交互度。為此，本文對默比烏斯變換系數mi和mij進行了如下定義：

定義3 設X={x1,x2,…,xn}為屬性集，W={w1,w2,…,wn}為屬性集X的權重集，單個屬性xi和兩兩屬性{xi,xj}的默比烏斯變換系數分別為

(7)

定理2 由式(7)計算的模糊測度為2可加模糊測度，要滿足如下約束條件[12]：

1)m(φ)=0；

2)mi≥0，?i∈X；

證明

1)m(φ)=0顯然成立；

又因為-1≤ξij≤1且0≤wj≤1，故

-wj≤ξijwj≤wj，i≠j

(8)

再將式(8)兩邊對j求和得：

(9)

對式(9)兩邊同乘wi得：

(10)

再將式(10)兩邊對i求和得：

(11)

綜上，由于P>0且wi≥0可知，mi=wi/P≥0。

故

3.2 計算2可加模糊測度

計算屬性權重既要考慮決策者的主觀偏好信息又要考慮決策數據的客觀信息，為此我們將分別計算屬性的主觀權重和客觀權重，然后融合為屬性的綜合權重。關于屬性的主觀權重υi(i=1,2,…,n)，本文采用序關系分析法[15]計算，該方法不需要進行一致性檢驗計算較為簡便。另外，由于屬性權重是一種可加測度，是在屬性之間彼此獨立的基礎上確定的，因此在確定客觀權重?i(i=1,2,…,n)時，要先消除屬性間存在的相關性。然而，目前常用的一些客觀賦權法，如熵權法[16]、離差最大化法[17]等在確定屬性權重時都不能消除屬性間客觀存在的相關性。針對這一問題，本文利用施密特正交馬田系統(tǒng)(Mahalanobis-TaguchiGramSchmidt,MTGS)[18]的降維原理提出了一種能夠消除屬性間相關性的客觀權重計算方法，具體方法如下：

為了測度屬性在MTGS分類過程中的重要程度，需要用基準樣本的均值和標準差去標準化待測樣本，即

(12)

馬氏距離是MTGS的類別判斷尺度，根據矩陣Z可以計算第k個待測樣品的馬氏距離：

(13)

由于屬性之間可能存在較強的相關性，導致相關系數矩陣S不可逆，無法計算馬氏距離。為解決這一問題，MTGS通過對Z中的列向量進行施密特正交來消除屬性之間的相關性。

記Zi=[z1(xi),z2(xi),…,zm(xi)]T，Vi=[v1(xi),v2(xi),…,vm(xi)]T，施密特正交化的過程如下[19]：

(14)

得施密特正交化矩陣V=[vk(xi)]m×n。經過施密特正交后，屬性間的相關性被消除，因此矩陣V的相關系數矩陣變?yōu)?/p>

馬氏距離進而變?yōu)椋?/p>

(15)

在MTGS中，一般用望大型或望小型信噪比來測度任意子屬性集K的重要程度，這里主要討論望小型信噪比形式：

(16)

表1 屬性xi和xj的交互度打分尺度

當用式(16)測度單個屬性xi(i=1,2,…,n)的重要程度時，MTGS便可以達到降維的目的，這時第k個樣品的馬氏距離為:

(17)

為確保單個屬性的信噪比非負，需要對式(17)進行規(guī)范化:

(18)

因此，單個屬性xi(i=1,2,…,n)的重要程度為:

(19)

將式(19)進行歸一化得到屬性的客觀權重:

(20)

最后，將屬性xi的主觀權重υi和客觀權重?i融合為屬性的權重:

(21)

屬性xi和xj之間的交互關系和交互度，可以根據專家經驗和偏好對n個屬性進行成對分析，若屬性xi和xj之間具有互補性，交互度ξij>0且ξij越大互補性越強；若屬性xi和xj之間具有重復性，交互度ξij<0且ξij越小重復性越強；若屬性xi和xj之間彼此獨立，交互度ξij=0。交互度ξij的打分標準可以參考表1。

4 案例應用與分析

以廉租房保障家庭退出評估為例來說明本決策模型的使用方法。我國實施廉租房制度以來，越來越多的低收入人群解決了住房問題，但是隨之而來的“拒退”和“騙租”現象導致廉租房退出機制失靈，大量公共資源被占用。為全面評估保障家庭的經濟狀況，做到應退盡退，某市從“消費水平x1”、“家庭年均收入x2”、“家庭成員工作狀況x3”、“家庭總資產x4”4個維度對5個保障家庭的經濟狀況進行全面評估，其中x1的數據通過社區(qū)評估獲得，x2，x3和x4的數據通過保障家庭申報獲得。具體評估數據如下：

步驟1 計算屬性的綜合權重

υ1=0.1910，υ2=0.3668，υ3=0.1365，υ4=0.3057

2)計算屬性的客觀權重

首選，按照屬性的重要性對評價矩陣A中的列向量進行重新排序，進而構建基準樣本矩陣，然后利用式(14)得施密特正交矩陣:

再利用式(18)得規(guī)范化馬氏距離矩陣:

最后，利用式(20)計算單個屬性的客觀權重為:

?1=0.1993，?2=0.2737，?3=0.2594，?4=0.2676

3)利用式(21)計算屬性的綜合權重

w1=0.1489，w2=0.3927，w3=0.1385，w4=0.3200

步驟2 確定兩兩屬性間的交互度

對屬性x1，x2，x3和x4之間存在交互關系進行分析，經過專家反復討論，參考表1的交互度打分尺度，得到兩兩屬性{xi,xj}之間的交互度，具體見表2。

表2 兩兩屬性間的交互度

表3 默比烏斯變換系數

表4 2可加模糊測度

步驟3 利用式(7)計算屬性的默比烏斯變換系數，見表3。

步驟4 利用式(3)計算2可加模糊測度，見表4。

步驟5 計算灰關聯系數矩陣:

首先利用式(1)對評價矩陣A進行規(guī)范化，然后利用式(4)計算灰關聯系數矩陣為

步驟6 利用式(5)計算各決策方案的灰模糊積分關聯度分別為:

∫γ(Y0,Y1)dg=0.6088，∫γ(Y0,Y2)dg=0.6436，∫γ(Y0,Y3)dg=0.7266

∫γ(Y0,Y4)dg=0.4263，∫γ(Y0,Y5)dg=0.4807

故A3?A2?A1?A5?A4，保障家庭A3經濟狀況最好，需要退出廉租房。

為同灰關聯度進行比較，本文基于評價矩陣A采用熵權法[16]計算屬性的客觀權重，屬性的主觀權重仍然采用MTGS計算的結果，然后利用式(21)計算綜合權重為:

γ(Y0,Y1)=0.8121，γ(Y0,Y2)=0.5487，γ(Y0,Y3)=0.7080

γ(Y0,Y4)=0.4091，γ(Y0,Y5)=0.4475

故用灰關聯度計算的排序為A1?A3?A2?A5?A4，保障家庭A1經濟狀況最好，需要退出廉租房。

從排序結果看，兩種模型計算得到的最好經濟狀況保障家庭并不一致，導致這種結果出現的主要原因是灰關聯度并沒有考慮屬性間存在的交互作用，而是簡單假設屬性之間是獨立的，這樣一方面夸大了具有重復性屬性集的作用，另一方面又弱化了具有互補性屬性集的作用，從而導致同本文方法的排序結果不一致。本文方法逐對分析了兩兩屬性之間的交互關系，使各屬性集的重要程度得到充分體現，從而使決策結果更加科學、合理。

5 結語

灰關聯度決策模型一般采用線性加權平均算子對灰關聯數進行集成，因此屬性之間要滿足線性獨立關系約束。但是在很多實際問題中，線性獨立約束條件很難滿足，屬性之間往往具有一定的重復性或互補性，從而大大降低了灰關聯度的決策效果。為破解灰關聯度的線性獨立約束，本文引入非線性集成算子Choquet模糊積分構建了灰模糊積分關聯度決策模型，并證明了該決策模型滿足灰關聯四公理。關于該模型的求解，本文定義了一種基于屬性權重和屬性間交互度的默比烏斯變換系數，證明結果表明利用該系數計算的模糊測度是2可加模糊測度。為兼顧決策者的主觀偏好信息和決策數據的客觀信息，屬性的權重采用主客觀權重融合的方式確定。主觀權重采用不需要進行一致性檢驗的序關系分析法計算；關于客觀權重的計算，為避免屬性相關性對權重的影響，本文根據施密特正交馬田系統(tǒng)的降維原理，提出了一種能夠消除屬性相關性的客觀權重計算方法。案例應用驗證表明：灰模糊積分關聯度相對于灰關聯度可以更好地反映屬性集在決策過程中的作用，決策結果更加科學合理。

[1] 鄧聚龍. 灰色系統(tǒng)的基本方法[M]. 武漢：華中理工大學出版社, 1987.

[2] 劉思峰，黨耀國，方志耕，等. 灰色系統(tǒng)理論及其應用[M]. 北京: 科學出版社, 2010.

[3] 金佳佳，米傳民，徐偉宣，等. 考慮專家判斷信息的灰色關聯極大熵權重模型[J]. 中國管理科學. 2012, 20(2): 135-143.

[4] 衛(wèi)海英，張蕾，梁彥明，等. 多維互動對服務品牌資產的影響——基于灰關聯分析的研究[J]. 管理科學學報. 2011, 14(10): 43-53.

[5] 施紅星，劉思峰，方志耕，等. 灰色周期關聯度模型及其應用研究[J]. 中國管理科學. 2008, 16(3): 131-136.

[6] 馬保國，成國慶. 一種相似性關聯度公式[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐. 2000, (7): 69-71.

[7] 施紅星，劉思峰，方志耕，等. 灰色振幅關聯度模型[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐. 2010, 30(10): 1828-1833.

[8] 吳利豐，王義鬧，劉思峰. 灰色凸關聯及其性質[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐. 2012, 32(7): 1501-1505.

[9]IshiiK,SugenoM.Amodelofhumanevaluationprocessusingfuzzymeasure[J].InternationalJournalofMan-MachineStudies. 1985, (22): 19-38.

[10]GrabischM.Fuzzyintegralinmulticriteriadecisionmaking[J].FuzzySetsandSystems. 1995, 69(3): 279-298.

[11]SugenoM.Theoryoffuzzyintegralanditsapplications[D].Tokyo:TokyoInstituteofTechnology, 1974.

[12]GrabischM.K-orderadditivediscretefuzzymeasuresandtheirrepresentation[J].FuzzySetsandSystems. 1997, 92(2): 167-189.

[13]GrabischM,LabreucheC,VansnickJC.OntheextensionofPseudo-Booleanfunctionsfortheaggregationofinteractingcriteria[J].EuropeanJournalofoperationalResearch. 2003, 148(1): 28-47.

[14]ChateauneufA,JaffrayJY.Somecharacterizationsoflowerprobabilitiesandothermonotonecapacitiesthroughtheuseofmobiusinversion[J].MathematicalSocialSciences. 1989, 17(3): 263-283.

[15] 郭亞軍. 綜合評價理論、方法及應用[M]. 北京: 科學出版社, 2006.

[16] 邱菀華. 管理決策熵學及其應用[M]. 北京: 中國電力出版社, 2011.

[17] 徐澤水，孫在東. 一類不確定型多屬性決策問題的排序方法[J]. 管理科學學報. 2002, 5(3): 35-39.

[18]TaguchiG,ChowdhuryS,WuY.TheMahalanobis-Taguchisystem[M].NewYork:McGraw-Hill, 2001.

[19]TaguchiG,JugulumR.TheMahalanobis-Taguchistrategy:Apatterntechnologysystem[M].Hoboken,NewJersge:JohnWiley&Sons, 2002.

GreyFuzzyIntegralCorrelationDegreeDecisionModel

CHANG Zhi-peng1，CHENG Long-sheng2

(1. School of Business, Anhui University of Technology, Maanshan 243002,China;2.School of Economics & Management, Nanjing University of Science &Technology, Nanjing 219004,China )

In grey correlation degree decision model (GRCM), it is assumed that all the attributes are mutually independent. However, in real decision making problems, the interaction often exists between attributes which leads GRCM to lose effectiveness. For this problem, the fuzzy integral theory is introduced and grey fuzzy integral correlation degree decision model (GRFICM) is established. To solve the model, the Mobius transformation coefficients based on weights and interaction degrees are defined to calculate 2-order additive fuzzy measures. In Mobius transformation coefficients, the weights are determined by the rank correlation analysis method and Mahalanobis-Taguchi Gram-Schmidt jointly, and the interaction relations and interaction degrees are judged by experts. An evaluation of the financial situation of low-rent housing safeguard family is provided as a practical case in order to validate GRCM and GRFICM by comparing. The validation results show that GRFICM makes the decision results more scientific and reasonable, and is more worth of spreading.

grey correlation degree; fuzzy integral; Mahalanobis-Taguchi Gram-Schmidt; Mobius transformation; rank correlation analysis method

2013-05-14；

2014-08-31

國家自然科學基金資助項目(71271114，71303004)；教育部人文社會科學青年基金資助項目(12YJK630005)

常志朋(1978-)，男(漢族)，吉林榆樹人，安徽工業(yè)大學商學院副教授，博士，研究方向：多屬性決策、管理綜合評價等.

1003-207(2015)11-0105-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.11.013

C931

A