薛燕

【摘要】圓錐曲線在高考數(shù)學(xué)中占據(jù)著舉足輕重的地位，而關(guān)于圓錐曲線定值問(wèn)題一直是高考命題中的一大熱點(diǎn).文[1]從2013年山東卷理科22題第（3）問(wèn)出發(fā)，推廣得到了圓錐曲線一個(gè)統(tǒng)一的性質(zhì).拜讀文[1]后，筆者深受啟發(fā)，將其結(jié)論進(jìn)行了深入推廣，研究了圓錐曲線的切線及特殊割線的斜率與焦點(diǎn)弦斜率之間的定值問(wèn)題，得到了一系列美妙的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；定值；斜率

一、問(wèn)題再現(xiàn)

橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為32，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2.設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個(gè)定值.

此題是2013年山東卷理科第22題，這道題以橢圓為載體，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式和換元法等知識(shí)，同時(shí)考查了數(shù)學(xué)探究能力.題目設(shè)計(jì)新穎，內(nèi)涵豐富，是研究性學(xué)習(xí)的好素材.文[1]對(duì)第（3）問(wèn)進(jìn)行了推廣，得到以下結(jié)論.

定理1 設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn).連接PF1，PF2，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得直線l與橢圓C相切，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，則1k·k1+1k·k2為定值-2a2b2.

定理2 設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線C上除實(shí)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn).連接PF1，PF2，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得直線l與雙曲線C相切，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，則1k·k1+1k·k2為定值2a2b2.

上述兩個(gè)定理亦可以推廣到拋物線，得到以下結(jié)論.

定理3 設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線交x軸于F1，焦點(diǎn)為F2.點(diǎn)P是拋物線C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得直線l與拋物線C相切，則1k·kPF1-1k·kPF2為定值1.

二、探究推廣

探究1：以上三個(gè)定理揭示了圓錐曲線切線的斜率與焦點(diǎn)弦的斜率之間存在定值關(guān)系.自然而然，我們會(huì)思考圓錐曲線割線的斜率與焦點(diǎn)弦的斜率之間是否也存在某種定值關(guān)系呢？顯然，若是任意割線的斜率與焦點(diǎn)弦的斜率之間很難找到定值關(guān)系.筆者借助TInspire CAS圖形計(jì)算器，將圓錐曲線的割線特殊化，探究過(guò)焦點(diǎn)的割線斜率與焦點(diǎn)弦的斜率之間是否存在某種定值關(guān)系呢？

探究2：因拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，定理4、5不能在拋物線中推廣.但筆者覺(jué)得意猶未盡，再次思考，還有哪些特殊割線的斜率與焦點(diǎn)弦的斜率存在定值關(guān)系呢？通過(guò)借助TInspire CAS圖形計(jì)算器，在圖形中拖動(dòng)割線l的位置，考慮用準(zhǔn)點(diǎn)（規(guī)定圓錐曲線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫準(zhǔn)點(diǎn)）代替焦點(diǎn)，研究當(dāng)割線經(jīng)過(guò)圓錐曲線準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)的情況，是否存在割線斜率與焦點(diǎn)弦斜率之間的定值關(guān)系呢？

定理6 設(shè)圓錐曲線Γ（焦點(diǎn)在x軸）的離心率為e，焦點(diǎn)F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)為G（規(guī)定在橢圓或雙曲線中左（右）焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)左（右）準(zhǔn)點(diǎn)），斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過(guò)圓錐曲線Γ的準(zhǔn)點(diǎn)G，并交圓錐曲線Γ于P，Q兩點(diǎn)，則1e2-k2·kkPF-kkQF為定值2.

上述定理證明方法與定理4類似，限于篇幅，不贅述.

探究3： 上述定理研究了割線經(jīng)過(guò)準(zhǔn)點(diǎn)的情況.固然，焦點(diǎn)和準(zhǔn)線是圓錐曲線最本質(zhì)的兩個(gè)幾何要素，而類焦點(diǎn)、類準(zhǔn)線知識(shí)為我們探索圓錐曲線的性質(zhì)提供了一個(gè)新的視角.筆者運(yùn)用類焦點(diǎn)、類準(zhǔn)線的知識(shí)將上述定理6又作了進(jìn)一步推廣.

我們將點(diǎn)F（t，0）、直線l：x=a2t稱為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）和雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的類焦點(diǎn)、類準(zhǔn)線（橢圓中0<|t|a），相應(yīng)的點(diǎn)Ga2t，0稱為類準(zhǔn)點(diǎn)；將點(diǎn)F（t，0）、直線l：x=-t（t>0）稱為拋物線y2=2px（p>0）的類焦點(diǎn)、類準(zhǔn)線，相應(yīng)的點(diǎn)G（-t，0）稱為類準(zhǔn)點(diǎn).

定理7 已知定點(diǎn)F和定直線l是圓錐曲線Γ（焦點(diǎn)在x軸）的一對(duì)類焦點(diǎn)和類準(zhǔn)線，過(guò)類準(zhǔn)點(diǎn)G作斜率為k（k≠0）的割線交圓錐曲線Γ于P，Q兩點(diǎn)，則

（1）當(dāng)圓錐曲線Γ為橢圓時(shí)，1b2t2-a2（a2-t2）k2·kkPF-kkQF為定值2ab；

（2）當(dāng)圓錐曲線Γ為雙曲線時(shí)，1b2t2+a2（a2-t2）k2·kkPF-kkQF為定值2ab；

（3）當(dāng)圓錐曲線Γ為拋物線時(shí)，1p-2tk2·kkPF-kkQF為定值2p.

三種圓錐曲線統(tǒng)一的定義（平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡）揭示了它們內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系；而對(duì)三種圓錐曲線如法炮制的研究方法，部分類似相通的幾何性質(zhì)正是內(nèi)在聯(lián)系顯現(xiàn)的外在統(tǒng)一.圓錐曲線內(nèi)在的和諧統(tǒng)一決定了它們還有更多優(yōu)美的性質(zhì)等待我們?nèi)ヌ骄颗c挖掘.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王鋒峰，戚有建.關(guān)于2013年山東卷理科壓軸題的思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（6）.