卯青葉

摘要：由于居民消費價格指數受多方面因素的影響，單純地采用GM（1，1）模型無法準確地進行預測，因此，文章提出改進GM（1，1）模型。首先，以2009～2013年居民消費價格指數為基礎，通過建立普通GM（1，1）模型對2009～2013年居民消費價格指數進行模擬，發(fā)現模擬值與真實值之間存在差異較大;其次，基于普通GM（1，1）模型對殘差進行修正，求解得到改進后的GM（1，1）模型，并對改進后模型進行可行性驗證;最后，根據求解得出的改進GM（1，1）模型，對未來幾年居民消費價格指數進行預測。結果表明，該預測方法是可行的，為其他相關預測提供了一種理論依據。

關鍵詞：居民消費價格指數;GM（1，1）模型;殘差修正;預測

一、引言

CPI是居民消費價格指數（consumer price index）的縮寫。它作為一種宏觀經濟指標，反映了居民家庭購買商品能力以及服務價格水平波動情況。居民消費價格指數不僅影響著人民群眾的生活，而且也關乎著整個國民經濟價格體系。作為經濟分析、決策和國民經濟核算的一個重要指標，它的變動率從某種程度上反映出通貨膨脹或緊縮的情況。因此，居民消費價格指數與居民生活息息相關且影響著居民生活水平，有必要對其進行預測分析。

近年來許多學者對居民消費價格指數進行了研究。比如，卞集利用GARCH模型對我國居民消費價格指數的波動性進行了研究，結果表明我國居民消費價格指數所代表的通貨膨脹是通貨膨脹的Granger原因，而非其波動性;曹曉俞利用時間序列模型對居民消費價格指數進行分析研究，并從中選出預測精度相對較高的模型對我國未來一段時間內的居民消費價格指數水平進行了預測;李加兵等通過數理統計模型對居民消費價格指數進行了應用研究，并對周期項的預測效果進行了改善;于揚依據ARMA（p，q）模型的內在機理導出了其點預測和區(qū)間預測的計算公式，并對我國居民消費價格指數進行了短期預測;李隆玲等建立了ARIMA模型對2014年中國居民消費價格指數進行了預測分析，并檢驗了預測模型的精度。以上學者都為居民消費價格指數的預測分析做出了貢獻，然而從精度上考慮，這些學者所建模型的精度不是很高，因此預測值和真實值之間將會有一定的差距，為了進一步提高預測精度，有必要對模型加以改進。

為進一步提高預測精度，縮小預測值與真實值之間的差距，本文提出對普通GM（1，1）模型進行殘差修正，并檢驗改進模型的可靠度，如果模型符合預測要求，則可以用來預測未來幾年居民消費價格指數。

二、基于殘差修正的GM（1，1）模型建立的方法與步驟

（一）傳統GM（1，1）模型的建立

傳統GM（1，1）模型的步驟主要分為五步來完成。

1. 原始數據累加。設原來數據序列為

X（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}（1）

式中x（0）（i）≥0，i=1，2，…，n。將原始數據進行一次累加生成，一則可以弱化它的隨機性，二則可以加強其規(guī)律性，從而得到生成后的序列為

X（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}（2）

式中x（1）（k）=∑ki=1x（0）（i），k=1，2，…，n。

2. 均值生成。將累加后的數列（2）按照公式（3）作緊鄰平均值，可得如下序列。

Y（1）={y（1）（1），y（1）（2），…，y（1）（n）}

Y（1）（k）= [x（1）（k）+x（1）（k-1）]，k=2，3，…，n（3）

3. 傳統GM（1，1）模型的建立。根據X（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}建立GM（1，1）模型，則對應的白化微分方程為

+ax （t）=ux （1）=x （1）（4）

式中a、u為待辨識參數。通過常微分方程理論中Laplace變換的方法，可以求得方程（4）的解析式為

X（1）（t）=[x（1）（1）-a/u]e-a（t-1）+a/u（5）

運用最小二乘法可以估計出a、u值為

a^=[a，u]T=（BTB）-1BTyN（6）

式中

B=- [x （1）+x （2）]? ? ?1- [x （2）+x （3）]? ? ?1┇ ? ? ? ?┇ ? - [x （n-1）+x （n）] 1 （7）

yN=[x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）]T（8）

將a、u最小二乘法解代入方程（5），可以得到近似解，即

X^（1）（t）[x（1）（1）-a/u]e-a（t-1）+a/u（9）

取其離散形式可得式（10），即

X^（1）（k）=[x（1）（1）-a/u]e-a（k-1）+a/u，k=1，2，…，n（10）

然后將其還原為原來數列，即GM（1，1）模型的動態(tài)預測模型，為

X^（0）（k+1）=X^（1）（k+1）-X^（1）（k）（11）

4. 對模型進行可靠性檢驗?；疑到y模型通常有三種檢驗方法：殘差合格（相對誤差）、關聯合格、后驗差合格，一般相對誤差檢驗方法使用較為廣泛。其精度檢驗等級見表1。

（二）殘差修正后的改進模型

傳統GM（1，1）模型經過可靠度檢驗后，如果相對誤差比較大或關聯度不強，此時傳統GM（1，1）模型不能準確用來預測，則需要對模型進行殘差修正。然而殘差數據如果不滿足非負遞增的條件，直接使用GM（1，1）模型將會導致很大的誤差，從而使模型失效，需要先將原始殘差數據修正為非負遞增數據。

如果數列中有負值，需要進行多次累加，但累加后不一定能達到目的;使用累加法有時即使獲得了非負數列，但數列不遞增，此時采用GM（1，1）模型也會導致很大的誤差。因此本文提出了一種解決此問題的方法。

設原來殘差數列為ε（0）（i），且含負值，其中b為數據列中數值最小的項，即

b=min（ε（0）（i））（12）

很明顯b是負值。可設a（j）=b，1≤j≤n.

設

ε′（0）（i）=ε（0）（i）+|b|=ε（0）-b，i=

1，2，…，n（13）

則可得到非負數列ε′（0）（i）。然后經過累加得到

ε（1）（i）= ε′（0）（k）（14）

數列ε（1）（i）雖然是非負的，但當j>1時，由于ε′（0）（i）=ε（0）（i）-b=0，該數列并不是嚴格遞增，需要對數列進行再次累加得到非負遞增數列，即

ε（2）（i）= ε（1）（k）（15）

以ε（2）（i）為基礎建立模型可得到預測值ε^（2）（i）

ε^（2）（i）=[ε（1）（1）-a/u]e-a（i-1）+a/u，i=1，2，…，n（16）

式中ε（1）（1）=ε（2）（1）

可以根據對初始值的改進算法，將初始值ε（1）（1）改進后得

ε^（2）（i）=[ε（1）（1）+θ-a/u]e-a（i-1）+a/u，i=1，2，…，n（17）

式中θ= -x（0）（1）+ ，p= ε（1）（k）e-a（k-1），q=（1-ea）

獲得預測值ε^（2）（i）后仍需要經過累減和降值還原

ε^（1）（i）=ε^（2）（i）-ε^（2）（i-1）ε^（1）（1）=ε^（2）（1）i=2，3，…，n（18）

ε^（0 ）（i）=ε^（1）（i）-ε^（1）（i-1）ε^（0）（1）=ε^（1）（1）i=2，3，…，n（19）

ε^（i）=ε^（0）（i）-|b|=ε^（0）（i）+b，i=1，2，…，n（20）

最后得到的ε^（i）就是原來數列ε^（0）（i）的預測值。

三、案例分析

以2009～2013年居民消費價格指數為相關數據，建立火災損失的GM（1，1）模型以及殘差改進后的GM（1，1）模型，并檢驗模型的可靠性，然后利用改進后的模型預測未來三年的相關數據。原始數據如表2所示。

（一）居民消費價格指數普通預測模型

根據上面公式，可以計算得到a=-0.0351，u=-0.0021，則得到時間響應函數為

x^（1）（k+1）=502.46e0.0351k+16.54，k=0，1，…，n

則根據模型可得模擬值及殘差值如表3所示。

經檢驗平均相對誤差為α=0.21，根據表1可得，該模型不合格，因此無法作為預測模型進行預測。

（二）居民消費價格指數的改進預測模型

由表3可以看出，普通GM（1，1）模型模擬出的數值與真實值之間的殘差值較大，因此有必要對殘差值進行改進，縮小與真實值之間差距。此時，可以把殘差值作為初始值，進行二次GM（1，1）模型的建立。殘差數據如表4所示。

根據公式（12）至（20），可以得到殘差值GM（1，1）模型的a=-0.0051，u=-0.011，則

ε^（1）（i+1）=0.321e0.0051i+0.5，i=1，2，…，n

結合前文中的預測模型，可得殘差修正后的模型如下：

x^（1）（k+1）=502.46e0.0351k+0.321e0.0051i+17.04，k=1，2，…，n

由殘差修正后的模型可得新模擬值與殘差值如表5所示。

經檢驗平均相對誤差為α=0.0072，根據表1可得，該模型符合標準，可以進行預測。則2014～2016年居民消費價格指數分別為602.3、612.5、618.7。2009～2013年居民消費價格指數普通GM（1，1）模型模擬值與改進后模型模擬值比較，如圖1所示。

四、 結論

如果數據波動較大時，普通灰色模型不能準確模擬真實值，此時為進一步提高精度，可以進行殘差修正，發(fā)現殘差模修正過的模型模擬出的值與真實值更加接近，經檢驗改進后的GM（1，1）模型驗證結果較好，且對居民消費價格指數的預測精度相對較高，因此可用來預測未來幾年的居民消費價格指數。從預測結果可以看出，居民消費價格指數在不斷上漲，說明物價在不斷上漲，如果政府不采取合理措施及時控制居民消費價格指數的上漲，將很大可能導致通貨膨脹。

參考文獻：

[1]卞集.我國居民消費價格指數的波動性研究[J].金融經濟，2010（12）.

[2]曹曉俞.居民消費價格指數的時間序列模型分析[J].華北金融，2012（07）.

[3]李加兵，常飛，田云飛.數理統計模型對居民消費價格指數的應用研究[J].2014（16）.

[4]于揚.居民消費價格指數近期預測[J].經濟論壇，2013（09）.

[5]李隆玲，田甜，武拉平.中國居民消費價格指數預測[J].農業(yè)展望，2014（07）.

[6]景國勛，施式亮.系統安全評價與預測[M].北京：中國礦業(yè)大學出版社，2009.

[7]陳寶智.系統安全評價與預測[M].北京：冶金工業(yè)出版社，2005.

（作者單位：河南理工大學能源科學與工程學院）