王培順

數(shù)學(xué)證明中常常采用直接證法，由已知到結(jié)論，順理成章。然而對(duì)于間接證法的反證法，大多數(shù)同學(xué)不能深刻理解，難以走出直接證法的局限。其實(shí)，反證法可以解決直接證法難以解決的問(wèn)題。正面強(qiáng)攻不成，迂回包抄獲勝。

反證法的基本思想是：對(duì)于相互矛盾的兩個(gè)判斷，如果其中一個(gè)錯(cuò)了，那么另一個(gè)一定是對(duì)的，這是邏輯學(xué)上的排中律，不能同假，必有一真。據(jù)此，要證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題的成立，只要證明其反面是錯(cuò)誤的即可。

在教學(xué)中，為方便學(xué)生理解反證法，我用幾何命題的形式改編了幾則故事，收到了良好的效果，理解透徹、記憶深刻、激發(fā)興趣。

故事一：道旁苦李

王戎七歲的時(shí)候，和小朋友們一道玩耍，看見(jiàn)路邊有株李樹，結(jié)滿了熟透的李子，枝條都快被壓斷了。那些小朋友爭(zhēng)先恐后地跑去摘。只有王戎沒(méi)有動(dòng)。有人問(wèn)他為什么不去摘李子，王戎回答說(shuō)：“這一定是苦李子?！闭獊?lái)一嘗，果然是這樣。

故事到這，我用幾何命題的形式改編如下：已知：路邊李子樹上結(jié)滿了熟透的李子。求證：李子一定是苦的。

此時(shí)，懸念產(chǎn)生，讓學(xué)生討論，找出原因。

答案揭曉：證明：假設(shè)李子是甜的。那么這樹長(zhǎng)在大路邊上，熟透的李子早被路人摘光了?？墒恰敖Y(jié)滿了熟透的李子，枝條都快被壓斷了。”二者相矛盾。

所以，李子是苦的。

這個(gè)故事寫王戎小時(shí)候，善于動(dòng)腦筋，能根據(jù)有關(guān)現(xiàn)象進(jìn)行反正的推理判斷。他是一個(gè)聰明的孩子。

故事二：我“活”了

古代有一賢臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他過(guò)去有功，用抽紙片的形式?jīng)Q定他的命運(yùn)，用兩張紙片，一張寫“活”字，一張寫“死”字，抽到“活”字可赦免，而奸臣歹毒，命人在兩張紙片上都寫上“死”字。詭計(jì)被賢臣的朋友知道，告訴了賢臣。賢臣想了想，高興地說(shuō)：“我活了！”

賢臣據(jù)此做了一道幾何題：已知：兩張寫有“死”字的紙片，我抽取一張。求證：我“活”了。至此，疑團(tuán)頓生，讓學(xué)生開動(dòng)腦筋，自主解決或討論解決。

答案揭曉：證明：假設(shè)我“死”了。那么沒(méi)有抽到的紙片一定寫“活”字?？墒且?yàn)閮蓮埗际恰八馈弊?，所以沒(méi)有抽到的紙片一定是“死”字。此二者矛盾。所以我“活”了。

處決前抽紙片開始了，只見(jiàn)他抽出一張紙片誰(shuí)也不讓看就吞下了肚，監(jiān)斬官只好看剩下的紙片，剩下的字無(wú)疑是個(gè)“死”字，于是賢臣被赦免了。

賢臣為什么能死里逃生？賢臣巧妙運(yùn)用了反證法?！八馈弊值姆疵媸恰盎睢弊?。反正法也是一種逆向思維，習(xí)慣上是要看抽到的紙片，但是我偏要讓你看沒(méi)有抽到的紙片。

故事三：聰明的女兒

3歲的女兒不聽(tīng)話，媽媽說(shuō)：“再不聽(tīng)話把你扔出去，再撿一個(gè)回來(lái)?！?/p>

小女孩調(diào)皮地說(shuō)：“你肯定不能把我扔出去。”接著又說(shuō)了一句話，母親啞口無(wú)言。

故事用幾何命題的形式改編如下：

已知：把不聽(tīng)話的孩子扔出去，再撿一個(gè)孩子回來(lái)。

求證：不聽(tīng)話也不能扔出去。

為什么？小女孩接下來(lái)說(shuō)的話是什么？讓學(xué)生想一想、猜一猜、說(shuō)一說(shuō)。

答案揭曉：證明：假設(shè)不聽(tīng)話的孩子就扔出去。那么扔出去的孩子都是不聽(tīng)話的。所以撿回來(lái)的孩子也是不聽(tīng)話的?！叭映鋈ゲ宦?tīng)話的”“撿回來(lái)不聽(tīng)話的”二者矛盾。所以不聽(tīng)話也不能扔出去。小女孩接下來(lái)說(shuō)的話應(yīng)該是：“你撿回來(lái)的孩子也一定是不聽(tīng)話的?！比龤q小孩就如此聰明，會(huì)用反正的思想駁倒母親。我們要努力學(xué)習(xí)了。

把幾則故事改變成幾何命題形式并給予反正法的證明，使學(xué)生通過(guò)事實(shí)形象地理解了反證法的思想。再結(jié)合例題歸納出反證法的基本步驟：（1）反設(shè)——假設(shè)原命題的反面成立。（2）歸謬——從反設(shè)開始推理，得出矛盾結(jié)果?？梢耘c已知或事實(shí)或定理矛盾。（3）存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。

反證法能提高學(xué)生的演繹推理能力，豐富學(xué)生的解題思路，尤其在后續(xù)的學(xué)習(xí)中起著不可忽視的作用，雖然在初中教材中所占篇幅很少，但還是要學(xué)，不應(yīng)輕視。數(shù)學(xué)的教學(xué)不要只顧眼前的“考點(diǎn)”，而要打造出有后進(jìn)的學(xué)生。數(shù)學(xué)強(qiáng)，學(xué)生強(qiáng)，求學(xué)的路就長(zhǎng)。

編輯 溫雪蓮