陳瑤 耿姝 朱佳梅

摘 要：隨著科技的發(fā)展，線性變換是高等代數(shù)研究的一個(gè)主要對(duì)象，也在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域里有著廣泛應(yīng)用，如，DFT、DCT、WT等。在數(shù)字信號(hào)處理中，對(duì)解決數(shù)據(jù)的變換、量化過程中的誤差失真等具有重要的作用，非常適用于無真的數(shù)據(jù)處理，如，語音或圖像的無損壓縮?？梢?，線性變換的矩陣在電子信息領(lǐng)域有著廣闊的發(fā)展前景和重要的科學(xué)研究?jī)r(jià)值。該文主要研究元線性變換的矩陣表示，給出元線性變換、重矩陣的定義，導(dǎo)出元線性變換在一個(gè)基上的矩陣表示的定理并予以證明，最后結(jié)合線性變換的矩陣表示方法和性質(zhì)指出其在高等代數(shù)學(xué)和在電子信息領(lǐng)域中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：線性變換 ?向量空間 ?矩陣 ?矩陣的跡 ?重矩陣

中圖分類號(hào)：O151 ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）10（c）-0244-03

線性變換是代數(shù)學(xué)的重要理論，線性變換的矩陣給維向量空間的線性變換以具體刻劃，使線性變換的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為矩陣的運(yùn)算。反之，也把矩陣問題轉(zhuǎn)化為線性變換來處理，二者是同一事物的兩種表現(xiàn)形式。維向量空間的線性變換的全體構(gòu)成的向量空間與數(shù)域上階矩陣全體構(gòu)成的向量空間同構(gòu)，將向量空間的問題轉(zhuǎn)換為矩陣的問題來處理是代數(shù)學(xué)的重要理論。數(shù)字信號(hào)處理中，原始數(shù)據(jù)是整型數(shù)據(jù)，而線性變換的變換系數(shù)通常是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，變換結(jié)果要量化為整型數(shù)據(jù)。在這過程中通常會(huì)產(chǎn)生誤差，且誤差會(huì)破壞變換的可逆性，因而不能保證使數(shù)據(jù)無失真恢復(fù)。針對(duì)這一問題，很多科學(xué)家進(jìn)行了研究，其基本思想是分析線性變換的變換矩陣，將滿足條件的變換矩陣進(jìn)行分解，使其能用一系列基本的整型可逆變換矩陣的乘積來表示，這樣就可以根據(jù)該線性變換構(gòu)造一個(gè)與其性能相似且整型可逆線性變換理論分析及試驗(yàn)結(jié)果表明，可逆線性變換的整型化會(huì)使變換后的數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)范圍最小[1]，非常適合于無真的數(shù)據(jù)處理?？梢?，線性變換的矩陣在電子信息領(lǐng)域有著廣闊的研究前景。

1 元線性變換的矩陣定義

定義1.1 設(shè)為維向量空間，是上的任意一組基，又設(shè)一變換，對(duì)于任意給定的的個(gè)向量，有

，其中為常數(shù)，.稱為上的元線性變換[2].

注：在某一組基下的元線性變換用表示。

定義1.2 設(shè)與是從個(gè)數(shù)中重復(fù)選取個(gè)數(shù)的兩個(gè)排列，如果存在：，使得，…，，，則稱小于。

從個(gè)數(shù)中重復(fù)選取個(gè)數(shù)的所有排列共有個(gè)，由定義對(duì)它們從小到大排序.由上述進(jìn)行的個(gè)序組，來定義基排序。

定義1.3 設(shè)是數(shù)域上的維向量空間，是的一組基，是分別從中重復(fù)選取的個(gè)向量，若序組小于，那么則稱基序組小于基序組。

定義1.4 設(shè)是數(shù)域上的維向量空間，是的一組基，是的一個(gè)元線性變換，若任意一個(gè)基序組的像在基下的矩陣為，即

;

將作用在所有的基序組上，按定義1.3從小到大順序分別將所對(duì)應(yīng)的矩陣按列方向排列，所組成的階矩陣，叫做元線性變換在基下的矩陣：

當(dāng)時(shí)，與一元線性變換的矩陣相一致。

2 元線性變換的矩陣表示

首先給出重矩陣的定義：

定義2.1 設(shè)向量是中的任一向量，有

，

'為在基下坐標(biāo)，

那么稱 的一階重矩陣;

二階重矩陣;

的重矩陣;

下面給出元線性變換在基下具體的矩陣表示。

定理：設(shè)為維向量空間，是上的任意一組基，是上的元線性變換，對(duì)任意給定上的個(gè)向量，有：

，;

定理證明：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。

當(dāng)時(shí)，即是一元線性變換。

設(shè)線性變換在基下的矩陣為，則

任意一個(gè)向量都有

;

其中為向量在基下的坐標(biāo)，所以

結(jié)論顯然成立，且一元線性變換在基下的矩陣，

當(dāng)時(shí)，設(shè)向量和，因?yàn)?/p>

，

，

則

其中，'為向量在基上的坐標(biāo)，。

設(shè)，，則

現(xiàn)假定時(shí)成立，即

下面證明時(shí)也成立，由定義知

所以由假設(shè)

其中為階矩陣，，那么

……

。

定理成立，當(dāng)，即

;

則元線性變換在基下的矩陣為。

3 線性變換矩陣的應(yīng)用

線性變換的矩陣不僅在電子信息領(lǐng)域具有重要的作用，在代數(shù)學(xué)方面也應(yīng)用廣泛，例如：求線性變換跡，由已知矩陣求線性變換，已知線性變換的矩陣求基的方法等?？梢?，線性變換的矩陣在科技領(lǐng)域有著廣闊的發(fā)展前景。

4 結(jié)語

研究元線性變換的矩陣表示，給出元線性變換和重矩陣的定義，進(jìn)一步導(dǎo)出元線性變換矩陣的具體表示，通過對(duì)定理的證明，驗(yàn)證結(jié)論是具有一定意義的，最后結(jié)合線性變換的矩陣的表示方法和性質(zhì)指出線性變換的矩陣在高等代數(shù)學(xué)和在電子信息領(lǐng)域上的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] Blvd.W.Montreal.Journal of computer science and technology[J].Quebec，1997.

[2] 張強(qiáng).元線性變換的矩陣表示[J].工科數(shù)學(xué)，1997，13（4）：128-132.

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[4] 白述偉.高等代數(shù)選講[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2000：238-245.

[5] David C.Lay.Linear Algebra and Its Applications[J].John Smith，1989.