陳靜

摘 要： 本文通過(guò)梳理馬爾可夫鏈自提出以來(lái)至今的一些理論發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)者們對(duì)它能建立一個(gè)初步的認(rèn)知，同時(shí)著重介紹了灰色馬爾可夫鏈理論的優(yōu)點(diǎn)和一般馬爾可夫鏈建模的步驟，最后探討了它在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的一些具體應(yīng)用，以及此模型本身的不足和缺陷，指出轉(zhuǎn)移矩陣的確定才是馬爾可夫鏈應(yīng)用中最關(guān)鍵的步驟。

關(guān)鍵詞： 馬爾科夫鏈；建模；轉(zhuǎn)移矩陣

1.國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

從最早馬爾科夫提出滿足某一性質(zhì)的特殊隨機(jī)變量序列，經(jīng)過(guò)百余年的發(fā)展，因其已知現(xiàn)在，將來(lái)與過(guò)去無(wú)關(guān)[1]的良好性質(zhì)，馬爾科夫鏈 在實(shí)踐運(yùn)用中逐漸發(fā)展了它的堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)。在這些理論研究過(guò)程中最為突出的是由德國(guó)數(shù)學(xué)家N.Winer在20世紀(jì)20年代提出的，到目前仍在探求的布朗運(yùn)動(dòng)。1951年左右，隨著隨機(jī)微分方程理論的建立，馬爾可夫過(guò)程的研究取得了新的進(jìn)展，在A.H.Kolmogorov的著作《概率論的解析方法》中，馬爾可夫鏈第一次被應(yīng)用到微分方程中。20 世紀(jì)50 年代我國(guó)著名數(shù)學(xué)家王梓坤院士率先將馬爾可夫過(guò)程的理論引入國(guó)內(nèi)，目前我國(guó)馬爾可夫理論研究已經(jīng)處于世界前沿水平，同時(shí)在平穩(wěn)過(guò)程、極限定理、鞅論、多參數(shù)馬爾可夫過(guò)程等方面也都有比較深入的研究。隨著馬爾可夫過(guò)程理論的不斷豐富，在實(shí)際應(yīng)用中也不斷看到他的身影。這些應(yīng)用通常是對(duì)系統(tǒng)已有信息的獲取，通過(guò)建立系統(tǒng)的狀態(tài)分類和轉(zhuǎn)移概率矩陣，來(lái)預(yù)測(cè)在現(xiàn)有狀態(tài)下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間變化，系統(tǒng)將會(huì)達(dá)到的狀態(tài)。比如將馬爾科夫鏈綜合應(yīng)用到存儲(chǔ)策略的庫(kù)存優(yōu)化模型中，通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣，預(yù)測(cè)出產(chǎn)品未來(lái)的銷售量和儲(chǔ)存量[2]。

2.應(yīng)用馬爾科夫鏈建立數(shù)學(xué)模型解決相應(yīng)問(wèn)題的建模步驟

由于在馬爾可夫理論中未來(lái)的情況只受當(dāng)前的影響，而過(guò)去的狀況無(wú)關(guān)，因此如何確定從現(xiàn)在狀態(tài)到未來(lái)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣至關(guān)重要。實(shí)證中，我們通常采用以下步驟來(lái)建立數(shù)學(xué)模型[3]。

（1） 結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)及其處于初始狀態(tài)的概率。數(shù)學(xué)上我們通常表示為：初始狀態(tài)：S= {0，1，2，…}；初始概率：π0=（P0，P1，…，Pn，…）期中Pi≥0（i=0.1.2…）表示系統(tǒng)處在狀態(tài)i的概率。

（2） 通過(guò)試驗(yàn)或者數(shù)據(jù)資料來(lái)計(jì)算狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率，同時(shí)基于轉(zhuǎn)移概率確定一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中Pij表示經(jīng)由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率。

其中Pij（n）=P{Xn=j│X0=i}即經(jīng)由狀態(tài)i，n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率。利用n步轉(zhuǎn)移概率矩陣即可確定系統(tǒng)所處各狀態(tài)的最終概率，即：πn=π0P（n）。

（3）對(duì)于某些性質(zhì)優(yōu)良的馬爾科夫鏈，利用穩(wěn)態(tài)收斂定理可以說(shuō)明系統(tǒng)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的運(yùn)行后可以達(dá)到平穩(wěn)分布，并且系統(tǒng)將保持此平穩(wěn)分布。

（4）利用馬爾可夫鏈得到的結(jié)果，對(duì)于未來(lái)的發(fā)展?fàn)顩r做出科學(xué)合理的預(yù)測(cè)，并采取措施來(lái)防范可能出現(xiàn)的不好的結(jié)果。

3.馬爾科夫鏈在理論與實(shí)際中的應(yīng)用

3.1 灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型 。自1982年鄧聚龍教授提出灰色系統(tǒng)理論以來(lái)， 灰色預(yù)測(cè)模型作為其重要組成部分引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注?；疑到y(tǒng)理論在概念上改變了隨機(jī)性問(wèn)題的處理方法，對(duì)那些信息不明確、不安全的灰色體系，灰色系統(tǒng)理論有很好的應(yīng)用，其要點(diǎn)在于把系統(tǒng)中的隨機(jī)性當(dāng)作一個(gè)灰色的部分而不是一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，從而將灰色過(guò)程當(dāng)作一定區(qū)間、一定時(shí)區(qū)上變化的隨機(jī)過(guò)程。

馬爾科夫鏈和灰色系統(tǒng)二者都可以直接對(duì)有關(guān)于時(shí)間序列的問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)?；诨疑到y(tǒng)理論的以上優(yōu)點(diǎn)，學(xué)者們將馬爾科夫鏈和灰色系統(tǒng)兩種預(yù)測(cè)模型相結(jié)合，形成了灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型。它兼顧了馬爾可夫鏈和灰色理論模型兩方面的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)具有無(wú)后效性以及那些信息不明確、不安全的“灰色體系”數(shù)據(jù)序列有著較高的預(yù)測(cè)精度。

3.2 馬爾可夫鏈應(yīng)用經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域應(yīng)用 。馬爾可夫鏈在經(jīng)濟(jì)等方面的預(yù)測(cè)是國(guó)內(nèi)外學(xué)者的主要研究?jī)?nèi)容，并已取得了多項(xiàng)學(xué)術(shù)成果，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域上的應(yīng)用主要集中在以下幾個(gè)方面：

（1）馬爾可夫鏈在預(yù)測(cè)產(chǎn)品銷售，市場(chǎng)份額及企業(yè)利潤(rùn)中有廣泛的應(yīng)用。這一類應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)是預(yù)測(cè)結(jié)果與以前的歷史數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)，只與最近一段時(shí)間的數(shù)據(jù)相關(guān)，并結(jié)合馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)預(yù)測(cè)以后的狀態(tài)。例如，曾維理應(yīng)用加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)了金星電子產(chǎn)品的銷售情況，為企業(yè)制定商品銷售策略—即如何投入最小，收益最大提供了有力的依據(jù)[4]。

（2）馬爾可夫鏈可以用來(lái)預(yù)測(cè)利率的變化。在當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，匯率的波動(dòng)一直很不穩(wěn)地，為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，有效地控制和調(diào)節(jié)匯率的波動(dòng)，馬爾科夫鏈在利率的波動(dòng)預(yù)測(cè)上有著廣泛的應(yīng)用。如使用馬爾可夫鏈的相關(guān)模型對(duì)人民幣的匯率變化作了預(yù)測(cè)和實(shí)證分析[5]。

（3） 馬爾可夫鏈可以用來(lái)分析和預(yù)測(cè)股市的走勢(shì)。中國(guó)股市的波動(dòng)具有隨機(jī)性，波動(dòng)的幅度很大。經(jīng)過(guò)學(xué)者們的檢驗(yàn)證實(shí)發(fā)現(xiàn)我國(guó)整個(gè)證券市場(chǎng)的股票價(jià)格變化是一個(gè)馬爾可夫過(guò)程，因此馬爾可夫鏈被引入來(lái)討論市場(chǎng)對(duì)證券投資的策略。如梁寶松等學(xué)者把馬爾可夫鏈的預(yù)測(cè)方法和基金投資相結(jié)合，得到了一種依據(jù)基金價(jià)格偏離程度來(lái)預(yù)測(cè)基金走勢(shì)的投資方法[6]。

（4）馬爾可夫鏈還可以通過(guò)地理信息、遙感等知識(shí)對(duì)如何規(guī)劃城市和農(nóng)村的土地進(jìn)行預(yù)測(cè)。例如，賈華、祝國(guó)瑞在1998年根據(jù)農(nóng)產(chǎn)品單產(chǎn)影響的無(wú)后效性，用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和灰色馬爾可夫鏈對(duì)農(nóng)作物土地的需求量進(jìn)行建模并加以預(yù)測(cè)，得到了較好的結(jié)論[7]。

4.總結(jié)與展望

馬爾可夫鏈模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的重點(diǎn)是確定轉(zhuǎn)移概率矩陣，因此為了保證預(yù)測(cè)的精確度，此模型應(yīng)用對(duì)原始數(shù)據(jù)有著較高的要求。然而在現(xiàn)實(shí)中要獲得大量真實(shí)的原始數(shù)據(jù)是有一定難度的。同時(shí)雖然灰色馬爾可夫鏈模型考慮到了信息不明確、不安全的灰色體系，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有著更廣泛的運(yùn)用，但是關(guān)于此預(yù)測(cè)模型的精準(zhǔn)度還需要從理論和經(jīng)驗(yàn)兩部分進(jìn)行補(bǔ)充完善。雖然如此，隨著交叉學(xué)科的迅猛發(fā)展和自身理論的不斷完善，相信未來(lái)馬爾科夫鏈將會(huì)在更多領(lǐng)域中有著更廣泛深入的應(yīng)用。 （作者單位：同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院）

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[5] 劉巖，劉芳.馬爾可夫鏈在人民幣匯率預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].中國(guó)管理信息，2007

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[7] 賈華，祝國(guó)瑞，土地利用規(guī)劃農(nóng)作物單產(chǎn)預(yù)測(cè)的灰色馬爾可夫鏈方法[J].武漢測(cè)繪科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1998