趙桂清

摘 要：闡述了提高初中生數(shù)學(xué)靈活解題能力的實(shí)踐與探索過(guò)程以及對(duì)實(shí)踐過(guò)程的反思，主要分以下四個(gè)層面展開(kāi)：正視現(xiàn)狀，結(jié)合教學(xué)實(shí)際，開(kāi)發(fā)探究意向；珍惜“機(jī)遇”，整合教學(xué)預(yù)設(shè)，引發(fā)解題趨向；尊重個(gè)性，吻合解題心理，激發(fā)靈感指向；反思總結(jié)，符合“理念”標(biāo)準(zhǔn)，開(kāi)發(fā)智能方向。

關(guān)鍵詞：探究意向；解題趨向；靈感指向；智能方向

基于實(shí)踐探究和理論學(xué)的提煉，我們認(rèn)為在當(dāng)前新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施及改革的熱潮中，美國(guó)學(xué)者斯皮羅（R·J·Spiro）等人提出的認(rèn)知靈活性理論（Cognitire Flexibility Theory）對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)改革有著極其重要和積極的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)作用。我們?cè)噲D從心理信息加工的角度解釋靈活性解題的過(guò)程，以揭示學(xué)生在實(shí)際情況中靈活應(yīng)用知識(shí)的心理機(jī)制，從而探求出一套“結(jié)合實(shí)際，整合預(yù)設(shè)，吻合心理，符合標(biāo)準(zhǔn)”的方法，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生靈活解題的能力。本實(shí)踐過(guò)程分以下四層展開(kāi)：

1.正視現(xiàn)狀，結(jié)合教學(xué)實(shí)際，開(kāi)發(fā)探究意向

2.珍惜“機(jī)遇”，整合教學(xué)預(yù)設(shè)，引發(fā)解題趨向

3.尊重個(gè)性，吻合解題心理，激發(fā)靈感指向

4.反思總結(jié)，符合“理念”標(biāo)準(zhǔn)，開(kāi)發(fā)智能方向

斯皮羅（R·J·Spiro）等提出認(rèn)知靈活性理論（Cognitive Flexibility Theory）：學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷深化的過(guò)程。只有對(duì)知識(shí)形成深層次的理解，才能靈活地解決各種問(wèn)題。認(rèn)知靈活性理論不僅反對(duì)傳統(tǒng)的機(jī)械教學(xué)，也反對(duì)極端的行為主義教學(xué)方式。它主張，一方面要提供建構(gòu)理解所需要的基礎(chǔ)，同時(shí)又留給學(xué)生廣闊的建構(gòu)空間，讓他們針對(duì)具體情境采取適當(dāng)?shù)牟呗?。在我們所接觸的知識(shí)中，有規(guī)律可循，可以直接套用所學(xué)知識(shí)的就屬于結(jié)構(gòu)良好領(lǐng)域的知識(shí)，如用乘法口訣解數(shù)學(xué)題。但是，在現(xiàn)實(shí)生活中，大多數(shù)問(wèn)題都是沒(méi)有確定規(guī)律的，這就要求我們利用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合問(wèn)題情境，建構(gòu)新的理解方式和解決方案。斯皮羅（R·J·Spiro）等提出的認(rèn)知靈活性理論（Cognitive Flexibility Theory）繼承了建構(gòu)主義理論中關(guān)于學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)，重點(diǎn)解釋了如何通過(guò)多維理解的深化促進(jìn)知識(shí)的靈活遷移應(yīng)用。

一、正視現(xiàn)狀，結(jié)合教學(xué)實(shí)際，開(kāi)發(fā)探究意向

本人從教十二年，一直身臨教學(xué)第一線。近幾年發(fā)現(xiàn)，我校數(shù)學(xué)青年教師雖然備課比較認(rèn)真，程序清楚，且有一定的篇幅，但備課程序千篇一律，教師用自己組織的語(yǔ)言極少，多數(shù)教師的教案預(yù)設(shè)單一，缺乏靈活性解題的意識(shí)和策略。下面是一個(gè)從教兩年的青年教師備一堂習(xí)題課中一道例題的教案。我們從中可以看出其備課（預(yù)設(shè)）的質(zhì)量究竟如何？

案例一：解法單一

如圖1，已知AB是⊙O的直徑，線段MN切⊙O于點(diǎn)P，AD⊥MN于點(diǎn)D，BC⊥MN于點(diǎn)C，求證：AB=AD+BC。

教師講解：連結(jié)OP

事后我同這位青年教師交流，問(wèn)她對(duì)這道題是否預(yù)設(shè)過(guò)多種解法，這位小老師紅著臉羞愧地對(duì)我說(shuō)：“某老師，因?yàn)檫@道練習(xí)題我在備課時(shí)患了感冒，所以只是做出一個(gè)答案就去講課了?！蔽易穯?wèn)：“那么，你事后有否思考過(guò)究竟有幾種方法，并且最簡(jiǎn)單的為哪種？”小教師只是微笑搖頭……

為引起青年教師的重視，我并沒(méi)有指責(zé)小老師，而是以此題為教材，同青年教師一起學(xué)習(xí)了習(xí)題的重要性和靈活解題的必要性。習(xí)題作為課本的有機(jī)組成部分之一，蘊(yùn)藏著豐富的內(nèi)涵和背景，教學(xué)中若能充分挖掘課本習(xí)題的潛在功能，進(jìn)行一題多解和一題多變，定會(huì)收到事半功倍的教學(xué)效果。其實(shí)，以上習(xí)題共有七種解法：（其他六種見(jiàn)下圖）

以上六種情況的思路分析為：①圖2先證矩形，再證OP是三角形的中位線。②圖3為證明兩組三角形全等。③圖4先證四邊形為矩形。④圖5先證四邊形為平行四邊形。⑤圖6先證OP為三角形的中位線，再證兩個(gè)三角形全等。⑥圖7先證AD∥OP∥BC。

[討論反思]縱觀以上七種解法，證實(shí)在認(rèn)知靈活性理論的指導(dǎo)下，每種思路都各具特色，涉及的知識(shí)點(diǎn)有平行截割定理、全等三角形、直角三角形、梯形的判定或性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)、弦切角等知識(shí)，很顯然，通過(guò)一題多解，學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性大有長(zhǎng)進(jìn)。

案例二：思維僵持

有一次教師引用了2002年杭州市中考數(shù)學(xué)試題作為訓(xùn)練題：

時(shí)鐘在8：30時(shí)，時(shí)針與分針成（ ）度角。

這是一道典型的實(shí)際問(wèn)題的試題，據(jù)錢(qián)江晚報(bào)報(bào)道，該題杭州市考生的錯(cuò)誤率達(dá)33.4%。該教師見(jiàn)報(bào)后，隨即讓初一的學(xué)生做這道題，錯(cuò)誤率達(dá)50%，這么簡(jiǎn)單的一道題，錯(cuò)誤率卻如此之高，究其原因：其一，學(xué)生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)；其二，“動(dòng)態(tài)生成”知識(shí)與能力成現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。多數(shù)學(xué)生認(rèn)為：分針在“6”，時(shí)針在“8”時(shí)，就急切地認(rèn)為是60°，忘了8時(shí)30分，時(shí)針轉(zhuǎn)到8和9中間，所以是60+15=75°。

事后教師在課堂上問(wèn)做錯(cuò)的同學(xué)為什么會(huì)錯(cuò)，有一位同學(xué)真切地說(shuō)：“老師，這道題我主要是沒(méi)有再想一想，急于求成的緣故?！?/p>

針對(duì)以上兩個(gè)案例，我們深切地反思：在農(nóng)村初中大多數(shù)學(xué)生因受知識(shí)面、學(xué)習(xí)心理及學(xué)習(xí)環(huán)境的影響，思維的靈活性較差，這主要是由于我們教師在平時(shí)教學(xué)時(shí)沒(méi)有靈活解題的意識(shí)和指向性訓(xùn)練。為轉(zhuǎn)變現(xiàn)狀，我以靈活性理論為指導(dǎo)，在本校的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中給學(xué)生注入“靈活的激素”，讓學(xué)生的解題過(guò)程滋生活力和生機(jī)。

二、珍惜“機(jī)遇”，整合數(shù)學(xué)預(yù)設(shè)，引發(fā)解題趨向

數(shù)學(xué)產(chǎn)生于實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)抽象、概括、演繹不斷發(fā)展。目前我們農(nóng)村初中的數(shù)學(xué)內(nèi)容與新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念相差甚遠(yuǎn)。新課程的基本理念中指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的，富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。”這就要求我們農(nóng)村初中教師從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，教學(xué)中創(chuàng)設(shè)有感染力的真實(shí)事件與真實(shí)問(wèn)題。讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界的真實(shí)環(huán)境與意境中去感受、去體驗(yàn)、去生成知識(shí)與靈活地解答數(shù)學(xué)題的能力，但事實(shí)上，我們的老師在這方面做得太少了。所以我們于2003年開(kāi)始，要求自己在設(shè)計(jì)題目、預(yù)設(shè)解題方法時(shí)，要努力設(shè)計(jì)出靈活多樣、新穎精悍、妙思巧解的經(jīng)典題、情景題和壓軸題，具體做到：（1）把數(shù)學(xué)知識(shí)“鑲嵌”于真實(shí)的解題情景中，使數(shù)學(xué)知識(shí)具有向心力、親和力。（2）把解題教學(xué)過(guò)程“融入”日?；顒?dòng)的意境之中，激發(fā)學(xué)生靈活思考，尋找多種思路，提高學(xué)生靈感思維和創(chuàng)造思維能力。

在具體實(shí)踐中，我們要求自己和有意愿實(shí)踐的數(shù)學(xué)教師在預(yù)設(shè)數(shù)學(xué)題內(nèi)容時(shí)求新、求活。

1.求新——提供新鮮的信息，激發(fā)解題生機(jī)

題材新：為了激發(fā)興趣，可根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)一些符合學(xué)生愛(ài)好的新題。如在教學(xué)一元一次方程的應(yīng)用時(shí)，我們布置了這樣一道題：

在2014年全國(guó)足球甲級(jí)A組的前九輪比賽中，大連萬(wàn)達(dá)隊(duì)保持不敗，共積分25分，按比賽規(guī)則：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，問(wèn)該隊(duì)共勝了幾場(chǎng)球？

這種短小精悍的新題，難度不大，可使一些“足球迷”即興求解，從而以這樣的新“產(chǎn)品”，以新引思，以新促思，以新成思。

2.求活——挖掘題目本身內(nèi)在的力量，注入解題的活力

（1）思維方法活：如在解圖形題時(shí)，根據(jù)課本習(xí)題，可故意隱去一些結(jié)論，讓學(xué)生去解答、猜想、證明，迎合學(xué)生希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、探索者的欲望，給他們創(chuàng)設(shè)一種“探索”的感受意境，使其在解題中感到樂(lè)趣無(wú)窮。

（2）思維成果活：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，為學(xué)生創(chuàng)造開(kāi)放的問(wèn)題條件，從而獲得不同的符合條件的結(jié)論。使不同層次的學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與解題，讓學(xué)生在自由寬松的課堂氛圍中，或自主探索，或合作交流，去收獲他們的參與成果。

杭州學(xué)軍中學(xué)聞杰老師觀摩課的再現(xiàn)：

現(xiàn)有各種形狀的公園若干個(gè)（如下圖），正多邊形公園的各個(gè)頂點(diǎn)處均設(shè)置有各具特色的亭子，現(xiàn)要在公園內(nèi)設(shè)計(jì)道路，使從每一個(gè)亭子出來(lái)可以走到任意另一個(gè)亭子（不經(jīng)過(guò)其他亭子），并且道路要盡可能短，哪家公司設(shè)計(jì)出的道路最短，哪家公司就中標(biāo)?，F(xiàn)在你們就是設(shè)計(jì)人員，可以自由組合成設(shè)計(jì)公司，比一比誰(shuí)的公司會(huì)中標(biāo)。

在本案例中，學(xué)生沒(méi)有現(xiàn)成的題目可以模仿，也沒(méi)有現(xiàn)成的方法可以利用，只是問(wèn)題的條件開(kāi)放，結(jié)論也不唯一。因此可以吸引人人參與，只要根據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)去設(shè)計(jì)，都有自己的方案。如圖，在眾多的設(shè)計(jì)中只有少數(shù)是中標(biāo)的。當(dāng)然最主要的還是學(xué)生自主地去比較，去發(fā)現(xiàn)，去感悟，其實(shí)垂直不一定是最短的，對(duì)角線也不是最短的，最終通過(guò)實(shí)驗(yàn)、探究、對(duì)比，才能歸納出解決的策略，從而使問(wèn)題的思路明朗化，學(xué)生的思維沿著不同的方向展開(kāi)，最終得到不同的答案。

三、尊重個(gè)性，吻合解題心理，激發(fā)靈感指向

在指導(dǎo)學(xué)生實(shí)際解題過(guò)程中，時(shí)常受知識(shí)面、心理環(huán)境、思維能力等因素的影響，使解題思維受阻，我們就從分析解題思路入手，靈活求變求解，明確轉(zhuǎn)化求解，親歷動(dòng)手求解等方法，盡快使思維走出困境，以下是三點(diǎn)處理策略。

1.改變形式，靈活多變

靈活性原則要求在編選例題時(shí)，要注意題目解法的多樣性、思維方式的多面性和題目的多變性，通過(guò)這種題型的訓(xùn)練，使學(xué)生具備靈活應(yīng)變能力。

以應(yīng)用題為例，題目中的呈現(xiàn)形式以單純的文字為載體，把條件與問(wèn)題呈線性排列。而現(xiàn)實(shí)可能是表格式、圖畫(huà)式等這些二維或多維的呈現(xiàn)形式。因此，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中可能的呈現(xiàn)形式，進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帯?/p>

如：在教學(xué)以下題目時(shí)，我們可以把題目的情景變換一下，把解題的內(nèi)容與生活內(nèi)容相融合，把二次函數(shù)的應(yīng)用轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生得到的是實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題的雙向轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，學(xué)生形成的是實(shí)在的數(shù)學(xué)意識(shí)，這樣運(yùn)用鮮活的題材、靈活的解題方法，備受全體學(xué)生的青睞。

有一拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度是16m，跨度為40m，現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里（如圖所示），若在離跨度中心M點(diǎn)5m處垂直豎立一鐵柱支撐橋拱，問(wèn)這鐵柱有多高？

2.改靜為動(dòng)，孕育靈犀

近幾年來(lái)，有的數(shù)學(xué)題應(yīng)該用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，才有解題“靈犀”。

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（2，O），⊙O′與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，B、C、E三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，3），（0，b），且0

（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)和經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的解析式。

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上移動(dòng)時(shí)，直線BE與⊙O′有哪幾種位置關(guān)系；并求出每種位置關(guān)系時(shí)b的取值范圍。

解：（1）易見(jiàn)A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），直線BC的解析式為y=3x+3

說(shuō)明：從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)尋求結(jié)論成立的各種情形是探索性題型的一個(gè)重要特征，也是必須掌握的一種數(shù)學(xué)思維方法。

3.改變路徑，捕捉靈感

在教學(xué)中我們常常發(fā)現(xiàn)由于學(xué)生對(duì)課本知識(shí)的片面理解，在解決問(wèn)題時(shí)僅憑直覺(jué)或經(jīng)驗(yàn)，而習(xí)慣于照搬照抄，更嚴(yán)重的是由于缺乏具體實(shí)踐，在碰到實(shí)際問(wèn)題時(shí)往往抓不住本質(zhì)而無(wú)從入手。對(duì)如何促進(jìn)學(xué)生靈活性解題進(jìn)行了有益的嘗試和探索。

如：最短路徑問(wèn)題研究。

問(wèn)題情境：在一筆直運(yùn)河t的河岸同側(cè)有兩村莊A、B，它們相距5km，它們距河岸分別為3km和7km，現(xiàn)在河邊修建一抽水站需8.25萬(wàn)元（含設(shè)備購(gòu)置和人工費(fèi)），管道及鋪設(shè)費(fèi)為每米24.5元，為使費(fèi)用最少，抽水站應(yīng)建在河岸邊何處，費(fèi)用為多少？

生1：（搶先站起來(lái)）兩點(diǎn)之間線段最短，只要作出A關(guān)于直線t的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，再連結(jié)A′B，設(shè)A′B與直線t的交點(diǎn)為點(diǎn)C，在C處修建抽水站費(fèi)用最省。

師：費(fèi)用是多少？

生1：我還沒(méi)算過(guò)，不太好算。（同學(xué)們哈哈大笑，都鼓掌表示贊同）

師：有算出來(lái)的嗎？（學(xué)生開(kāi)始畫(huà)圖，或同桌、或前后開(kāi)始討論）

生2：老師！我們認(rèn)為那樣作并不是最短的。我們過(guò)A點(diǎn)作t的垂線，垂足為D，AD+AB好像短一些，我們測(cè)量過(guò)。（又是一陣大笑）

師：真的嗎？你們的想法不錯(cuò)！請(qǐng)每個(gè)同學(xué)都算出其中一種作法的結(jié)果。

生1：用作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方法結(jié)果為AC+BC=km，約是10.44km。

生2：用作垂線的方法我們也算出來(lái)了：AD+AB=8km。

師：真的要短一些呀！

生2：作垂線要少用約59.78元，總費(fèi)用約為82559.78元。我們贏了！

“不可思議！”“怎么會(huì)這樣？”……

師：作垂線的同學(xué)是怎么想到的？

生2：上次我們家翻修水管時(shí)我去看過(guò)了，水管多數(shù)是從一戶(hù)家庭到另一戶(hù)家庭，并不都需要與自來(lái)水廠直接相連。

師：不錯(cuò)！其實(shí)我們學(xué)過(guò)找最短路徑的方法也不少，但是數(shù)學(xué)知識(shí)與方法有它們的適用范圍，希望同學(xué)們多觀察生活中的事物，并做到靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

生：（齊聲）好！

師：剛才同學(xué)們都表現(xiàn)得很好。下面再看一個(gè)問(wèn)題：A、B兩村莊在運(yùn)河兩岸，相距11.8km，且距離河岸分別為8km和3km，河寬100米。為節(jié)省資金，河上鋪設(shè)段應(yīng)與河岸垂直，修建抽水站與管道鋪設(shè)費(fèi)用同上。問(wèn)抽水站應(yīng)建于何處費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為多少？

在一段時(shí)間的沉寂后有學(xué)生開(kāi)始畫(huà)圖了，而且這么做的同學(xué)很快多起來(lái)，有的還自發(fā)地組在一起討論。

生1：連接AB，再找被河兩岸所截線段的中點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)畫(huà)垂線就可以找到。

師：你確定嗎？

生1：我只是想到這個(gè)方法，不知道行不行。

師：你的想法很大膽，請(qǐng)先試試。還有不同想法嗎？

生2：我們按比例畫(huà)出河流，定出兩村莊位置，然后取了幾個(gè)點(diǎn)，記錄相應(yīng)位置與相應(yīng)路徑的長(zhǎng)度，大致找出了位置，但沒(méi)看出有什么特別。

生2：我們用皮筋試過(guò)了，也找到了位置。看來(lái)看去，好像平行。

師：是嗎？怎樣才能說(shuō)明你們是對(duì)的呢？

生2：還沒(méi)想好。

生3：老師，我們這里有高手，他說(shuō)可以試一試。

師：好??！請(qǐng)到前面來(lái)，讓同學(xué)們見(jiàn)識(shí)一下高手。（此生畫(huà)好圖，很快找到修建地點(diǎn)）

生3：是平行的時(shí)候吧！

師：是AA′∥BB′的時(shí)候嗎？誰(shuí)能用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解釋?zhuān)俊?/p>

問(wèn)題解決后，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情空前高漲，他們希望今后的各學(xué)科都采用這樣的教學(xué)方式。其實(shí)學(xué)生是在不知不覺(jué)中體驗(yàn)了科學(xué)研究的一般過(guò)程，從中體現(xiàn)了自身的價(jià)值。在學(xué)生興奮之余，我要求各小組將本次活動(dòng)作一次總結(jié)，并相互交流，說(shuō)說(shuō)本次活動(dòng)中所遇到的困難以及積累了哪些經(jīng)驗(yàn)與收獲，為今后活動(dòng)做準(zhǔn)備。

通過(guò)本次活動(dòng)的成功舉行，啟發(fā)學(xué)生要多觀察社會(huì)，了解社會(huì)，并努力用所學(xué)知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。只有這樣才能鍛煉自己的能力，體現(xiàn)自己的價(jià)值，并從中提高實(shí)踐能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

[反思感悟]從教十二年，課本改革的頻率大約是每4～5年進(jìn)行一次，所以我已經(jīng)歷了兩次改革，以往的改革呼聲挺大，力度甚小，真可謂是“雷聲大，雨點(diǎn)小”，但唯有這兩次新課程改革且是“雷聲大，雨點(diǎn)也大”。經(jīng)過(guò)多種渠道的培訓(xùn)、多樣刊物的學(xué)習(xí)、多層理論的指點(diǎn)，我深切地感受到，農(nóng)村初中的數(shù)學(xué)教學(xué)斷然不能停留在傳統(tǒng)的“說(shuō)教”方法上，而應(yīng)當(dāng)進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)、體驗(yàn)性學(xué)習(xí)和實(shí)行靈活性解題……實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的多樣化。

幾年來(lái)，通過(guò)廣泛深入的理論學(xué)習(xí)和活動(dòng)開(kāi)展，在眾多師生的參與下，學(xué)生不僅提高了問(wèn)題意識(shí)，培養(yǎng)了合作精神與靈活性意識(shí)，更重要的是加深了對(duì)社會(huì)的了解，形成了一種對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)的憂(yōu)患意識(shí)和社會(huì)責(zé)任感，同時(shí)教師也從中開(kāi)闊了視野，更新了教學(xué)觀念，對(duì)我校數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高起到了舉足輕重的作用。

以下是（一般或較差學(xué)生）運(yùn)用靈活性理論進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的具體事例。

[鏡頭1]在一次用求根公式解答應(yīng)用題的課堂巡視中，有這樣一道題：

浙江工業(yè)大學(xué)招生人數(shù)在兩年內(nèi)從3000名增加到3630名。求浙工大招生數(shù)平均每年增長(zhǎng)百分之幾？

題目一出來(lái)，全班同學(xué)伏案疾書(shū)，幾個(gè)逞強(qiáng)的學(xué)生示意已做好了，我俯身看了好幾名學(xué)生的，隨后等大多數(shù)學(xué)生都完成了，附解法：

在課堂上我問(wèn)同學(xué)：你能把100（1+x）2=121直接開(kāi)方嗎？

學(xué)生：??！我怎么這樣糊涂。我回憶起來(lái)，當(dāng)時(shí)我一看到這題就認(rèn)為用公式法解比較牢靠，所以沒(méi)有先去開(kāi)方。

從以上解答過(guò)程和上課回答情況看，我們農(nóng)村學(xué)生對(duì)所學(xué)法則、公式記憶比較準(zhǔn)確、熟練，對(duì)一般解題程序也比較清晰，有一定的“套路”，但對(duì)解題靈活性方面缺乏意識(shí)和認(rèn)識(shí)，總喜歡按部就班，常走彎路、偏路，花費(fèi)時(shí)間多，學(xué)習(xí)效率差。

[鏡頭2]有一長(zhǎng)AB=3，寬BC=2，高CC′=4的長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，在A處一只蜘蛛想要去吃C′處的一只蒼蠅的最短路徑是多少？

我嘗試不作講解，而是先出示題目，要求學(xué)生分組討論。

學(xué)生甲：沿AB′→C′的路徑最短，為5+2=7。

學(xué)生乙馬上說(shuō)：我認(rèn)為過(guò)AHC′路線最短。

我不動(dòng)聲色地問(wèn)：為什么？

學(xué)生乙：根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，我想把正方形A′B′C′D′豎起來(lái)，使它和長(zhǎng)方形ABB′A′在同一平面上，如圖乙，則AC′就是最短的，它的長(zhǎng)度為，學(xué)生的思維終于突破了常規(guī)的想象，我不由大聲叫好。卻不料又有一學(xué)生站起來(lái)說(shuō)，我認(rèn)為過(guò)AGC′更短，如圖丙，最短長(zhǎng)度是，大家紛紛叫好，我又因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生分析，如果AB=a，BC=b，CC′=c，則沿長(zhǎng)方體表面A到C′的最短距離是多少。學(xué)生通過(guò)討論計(jì)算，歸納總結(jié)得，當(dāng)a最大時(shí)，最短距離是，當(dāng)b最大時(shí)，最短距離是，當(dāng)c最大時(shí)，最短距離為。

這使我深深地體會(huì)到，學(xué)生的靈活性只有在自由寬松的課堂教學(xué)氛圍中才能發(fā)揮，一言堂的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)絕對(duì)是靈活性思維的殺手。

針對(duì)上述問(wèn)題不難看出，在我們農(nóng)村初中學(xué)生中，對(duì)認(rèn)知靈活性的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用確實(shí)比較膚淺。就連教師也缺乏意識(shí)，這正印證了美國(guó)學(xué)者斯皮羅（R·J·SpiFO）等人提出的認(rèn)知靈活性理論（Cognitire Flexblity Theory）在我們數(shù)學(xué)解題中的重要性。

四、反思總結(jié)，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)，開(kāi)發(fā)智能方向

經(jīng)過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，我們的活動(dòng)具有可行性和實(shí)效性，同時(shí)也印證了以下理論和理念的正確性。

第一，印證了認(rèn)知靈活性理論所蘊(yùn)含的原則的正確性

1.廣泛性原則

在教學(xué)活動(dòng)中使用多種方法表征知識(shí)，如多種模式、多種類(lèi)比或多種角度等，以使更準(zhǔn)確地反映復(fù)雜知識(shí)的多種特性。

2.靈活性原則

強(qiáng)調(diào)在多種背景中揭示知識(shí)的相互關(guān)聯(lián)性和網(wǎng)絡(luò)性，使學(xué)習(xí)者對(duì)復(fù)雜的內(nèi)容領(lǐng)域形成豐富而靈活的理解。

3.多樣性原則

在某一應(yīng)用或問(wèn)題解決任務(wù)中促使學(xué)習(xí)者組裝相關(guān)的抽象概念與個(gè)體案例知識(shí)，這意味著教學(xué)必須不止一次地涵蓋內(nèi)容，必須使學(xué)習(xí)者觀看概念的大量實(shí)例，考察概念意義的多樣性，從而達(dá)成較為全面的理解。

第二，符合“社會(huì)建構(gòu)主義”理論

首先，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)者知識(shí)的獲取不是通過(guò)教師傳授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境下，借助他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過(guò)意義建構(gòu)的方式而獲得。也就是說(shuō)，學(xué)習(xí)者是信息加工的主體，是意義的主動(dòng)建構(gòu)者。

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)以學(xué)習(xí)者為中心，把“情境”“協(xié)作”“會(huì)話(huà)”“意義建構(gòu)”作為學(xué)習(xí)環(huán)境中的四大要素。強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)環(huán)境中的情境必須有利于學(xué)習(xí)者建構(gòu)有意義的情境，使學(xué)習(xí)者真正進(jìn)入教學(xué)的真實(shí)情境，通過(guò)學(xué)習(xí)者的協(xié)作，對(duì)學(xué)習(xí)資料的搜索與分析探究，提出問(wèn)題，提出設(shè)想和進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律以及對(duì)某些學(xué)習(xí)成果的評(píng)價(jià)。在這個(gè)過(guò)程中，同時(shí)強(qiáng)調(diào)組織學(xué)習(xí)者運(yùn)用語(yǔ)言和文字向他人表述，讓每個(gè)學(xué)習(xí)者的思維智慧為整個(gè)學(xué)習(xí)群體所共享，從而實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)的最終目標(biāo)，對(duì)學(xué)期內(nèi)容有深刻而全面的理解和掌握。

其次，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決模式符合人類(lèi)的一般認(rèn)識(shí)過(guò)程，即從個(gè)別到一般再到個(gè)別，從具體到抽象再到具體，從感性到理性再到感性，培養(yǎng)學(xué)生洞察生活的能力，在理性與感性的互相包容中體會(huì)到了數(shù)學(xué)的價(jià)值。

再次，符合學(xué)生認(rèn)知的心理過(guò)程。

最后，符合數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)。

第三，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)理念

實(shí)踐證明，我們的實(shí)踐探究符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。幾年來(lái)，印證了我們的解題教學(xué)實(shí)踐是符合新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的方向及理念的。

在實(shí)踐中我們也獲得了一些成效和感想，具體表現(xiàn)為：

1.有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和教學(xué)質(zhì)量

幾年來(lái)的數(shù)學(xué)嘗試使學(xué)生不僅對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚興趣，而且數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量也得到明顯的提高。如學(xué)生吳xx、沈xx，雖然參加活動(dòng)時(shí)間尚不長(zhǎng)，但其解題能力有了很大的提高，兩人均獲得了片競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，如今正蓄勢(shì)待發(fā)，準(zhǔn)備取得更好的成績(jī)。本人從教12年，每學(xué)期任教的兩個(gè)班數(shù)學(xué)在平均分、及格率及后三分之一方面明顯優(yōu)于區(qū)常模，位居學(xué)校前列，由此可見(jiàn)，采用較為靈活的教學(xué)方法，克服傳統(tǒng)的題海戰(zhàn)術(shù)及應(yīng)試教學(xué)，已被眾多學(xué)生認(rèn)可。

2.有利于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力

幾年的教學(xué)實(shí)踐證明，通過(guò)對(duì)學(xué)生解題靈活性的培養(yǎng)，學(xué)生逐漸能將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，通過(guò)已學(xué)的知識(shí)，建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)化模型，能依據(jù)解決問(wèn)題的一般研究步驟及原則，去完成一個(gè)在課本上無(wú)法找到現(xiàn)存解決方法的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和開(kāi)拓精神，提高了學(xué)生適應(yīng)社會(huì)的能力。積極參與競(jìng)賽輔導(dǎo)，所帶學(xué)生在2010年至2012年的全國(guó)華杯賽中獲一等獎(jiǎng)的6人，二等獎(jiǎng)9人，三等獎(jiǎng)14人。

3.有利于提高學(xué)生研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的自信心

實(shí)踐表明，通過(guò)對(duì)靈活解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟的訓(xùn)練與指導(dǎo)，提高了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，學(xué)生對(duì)待實(shí)際問(wèn)題在心理上具有較大的承受力，從而增強(qiáng)了用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的信心和決心，使他們進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)的真正樂(lè)趣，更加喜歡數(shù)學(xué)。

綜上所述，授人以魚(yú)，不如授人以漁。在斯皮羅（R·J·Spiro）等人提出的認(rèn)知靈活性理論（Cognitire Flexibility Theory）指導(dǎo)下，科學(xué)靈活地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，無(wú)論對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的形成，還是學(xué)生的終生發(fā)展都具有實(shí)踐意義。

參考文獻(xiàn)：

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？誗編輯 趙飛飛