李云虎

[摘要]主要敘述了在解決平面幾何中“線段距離之和最短”這類問題時(shí)，經(jīng)常利用作對(duì)稱點(diǎn)的方法把折線問題轉(zhuǎn)化為線段的問題來處理.

[關(guān)鍵詞]距離之和最短對(duì)稱

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）110048

問題：（新課標(biāo)北師大版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第123頁(yè)的“問題解決”第5題）如圖1所示，要在街道MN旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

圖1分析：這是一個(gè)典型的最短路線問題，難度較大，學(xué)生感到困難的地方有兩處：一是第一次遇到證明某條線段（或線段的和）最短，無(wú)從下手；二是證明中要另選一點(diǎn)，學(xué)生一般想不到，不會(huì)用.要正確解答這個(gè)題目，首先必須知道有關(guān)線段大小關(guān)系的定理（或公理）：兩點(diǎn)之間線段最短，或三角形中任意兩邊之和大于第三邊.實(shí)際上，兩點(diǎn)之間線段最短與三角形中任意兩邊之和大于第三邊是一個(gè)道理；其次必須明確證明“最大”“最小”這類問題，常常另選一個(gè)量，通過與證明的那個(gè)“最大”“最小”量進(jìn)行比較來證明.

圖2我們知道，如果點(diǎn)A、B在直線MN的兩側(cè)（如圖2），連接AB與直線MN交于P點(diǎn)，那么PA+PB的值最小.這是因?yàn)椋喝粼谥本€MN上任取一點(diǎn)Q（與點(diǎn)P不重合），由“三角形中任意兩邊之和大于第三邊”很容易得到：QA+QB>AB，而AB=PA+PB，所以PA+PB的值最小.

根據(jù)上述這一結(jié)論，我們可以利用轉(zhuǎn)化的思想把兩點(diǎn)在“同側(cè)”轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)在“異側(cè)”，問題即可迎刃而解.

圖3如圖3，要在直線MN上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.可以把PA+PB連成一條線段，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短.為此 ，可作點(diǎn)A（或B）的對(duì)稱點(diǎn)A′（或B′），連接BA′（或AB′）交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是牛奶站所處的位置.

理由：在直線MN上另取一點(diǎn)P′（與點(diǎn)P不重合），連接AP、AP′、A′P′、BP′，因?yàn)橹本€MN是點(diǎn)A、A′的對(duì)稱軸，點(diǎn)P、P′在對(duì)稱軸上，所以PA=PA′，AP′=A′P′，所以PA+PB=PA′+PB=A′B.在△A′P′B′中，因?yàn)锳′B

由此可見，在解決這類問題時(shí)，可利用作對(duì)稱點(diǎn)把折線問題轉(zhuǎn)化為線段的問題來解決.我們把這類求最近路程的問題稱為最短路線問題.最短路線問題在生產(chǎn)、科研和日常生活中有著十分重要的應(yīng)用，下面通過例題來說明.

【例1】A、B兩個(gè)村莊，中間隔了一條小河，現(xiàn)要在小河上架一座小橋，使它垂直于河岸.請(qǐng)?jiān)诤拥膬砂哆x擇合適的建橋地點(diǎn)，使A、B兩個(gè)村子之間的路程最短.

分析：因?yàn)闃虼怪庇诤影?，所以最短路線必然是一條折線，直接找出這條折線很困難.于是想到要把折線化為直線，由于橋的長(zhǎng)度相當(dāng)于河寬，而河寬是定值，所以橋長(zhǎng)也是定值.因此，從A點(diǎn)作河岸的垂線，并在垂線上取AC等于河寬，就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除，連接BC，交河岸a于D點(diǎn)，就在D處建橋即可.

圖4解：如圖4，過A點(diǎn)作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長(zhǎng)等于河寬，連接BC，交河岸a于D點(diǎn)，作DE垂直于河岸，交河岸b于E點(diǎn)，D、E兩點(diǎn)就是使兩村路程最短的建橋地點(diǎn).即最短路程為AE+ED+DB.

圖5【例3】如圖5，一個(gè)牧羊人早上趕著羊群，從家P地出發(fā)去草地OA吃草，回來時(shí)再到河邊OB飲水，然后再回到P處，請(qǐng)問牧羊人怎樣走才能使放牧的路線最短？

解：分別作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，分別交OA、OB于M、N兩點(diǎn)，則P→M→N→P是最短路線，即最短路程為PM+MN+NP.

根據(jù)對(duì)稱性可知，最短路程就等于線段P′P″的長(zhǎng)度.

[參考文獻(xiàn)]

[1]馬復(fù).義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（七年級(jí)下冊(cè)）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2013.

[2]夏新橋.讀打油詩(shī)，解數(shù)學(xué)題[J].數(shù)學(xué)通訊，2003（23）.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）