徐銳

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，經(jīng)常需要進(jìn)行分類討論，所以導(dǎo)數(shù)與分類討論結(jié)下了不解之緣，要想獲得高分，必須占領(lǐng)這塊“陣地”.我們?cè)谟龅胶袇?shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)往往得分率不高，主要原因就是不會(huì)分類討論.

下面我們從一道簡(jiǎn)單例題的解答入手，看看遇到參數(shù)時(shí)應(yīng)該如何進(jìn)行分類討論求解.

例 ?若函數(shù)[f（x）=x+2x+lnx]，求函數(shù)[f（x）]的極值點(diǎn).

解析 ?因?yàn)閇f（x）=x+2x+lnx（x>0）]，

所以[f（x）=1-2x2+1x=x2+x-2x2（x>0）].

令[f（x）=0]得[x=-2]（舍）或[x=1.]

列表如下：

[[x]＼&（0，1）＼&1＼&（1，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&[f（x）]＼&↘＼&極小值＼&↗＼&]

由上表知，[x=1]是函數(shù)[f（x）]的極小值點(diǎn).

變式1 ?若函數(shù)[f（x）=x+ax+lnx]，試討論函數(shù)[f（x）]的極值存在情況.

解析 ?[f（x）=1-ax2+1x=x2+x-ax2（x>0），]

令[f（x）=0]，即[x2+x-a=0]， [Δ=1+4a]（注意這里方程根的個(gè)數(shù)需要討論）.

（1）當(dāng)[Δ≤0]，即[a≤-14]時(shí)，[f（x）≥0]，[f（x）]在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值.

（2）當(dāng)[Δ>0]，即[a>-14]時(shí)，解[x2+x-a=0]得，

[x1=-1-1+4a2<0]或[x2=-1+1+4a2.]

①若[a>0]，則[x2>0.]

列表如下：

[[x]＼&（0，[x2]）＼&[x2]＼&（[x2]，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&[f（x）]＼&↘＼&極小值＼&↗＼&]

由上表知，[x=x2]時(shí)函數(shù)[f（x）]取到極小值，即[a>0]函數(shù)[f（x）]存在極小值.

②若[-14

綜上所述，當(dāng)[a>0]時(shí)，函數(shù)[f（x）]存在極值;當(dāng)[a≤0]時(shí)，函數(shù)[f（x）]不存在極值.

變式2 ?若函數(shù)[f（x）=ax+2x+lnx]，求函數(shù)[f（x）]的單調(diào)區(qū)間.

解析 ?[f（x）=a-2x2+1x=ax2+x-2x2（x>0）].

令[f（x）]=0，即[h（x）=ax2+x-2=0]（注意這里方程的類型需要討論）.

（1）當(dāng)[a=0]時(shí)，作出[h（x）=x-2]的圖象可知，

①[x∈（0，2）， h（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（0，2）上單調(diào)遞減.

②[x∈（2，+∞）， h（x）>0]，即[f（x）>0]，所以[f（x）]在（2，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)[a<0]時(shí)，因?yàn)閇x=-12a>0， h（0）=-2<0]，

①若[Δ≤0]，即[a≤-18]時(shí)，在[（0，+∞）]上[h（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

②若[Δ>0]，即[-18

[x1=-1+1+8aa]或[x2=-1-1+8a2a.]

列表如下：

[[x]＼&（0，[x1]）＼&[x1]＼&（[x1]，[x2]）＼&[x2]＼&（[x2]，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&0＼&—＼&[f（x）]＼&↘＼&極小值＼&↗＼&極大值＼&↘＼&]

由上表知，[f（x）]的減區(qū)間為[（0，-1+1+8a2）]，[（-1-1+8a2a，+∞）]，[f（x）]的增區(qū)間為（[-1+1+8a2]，[-1-1+8a2]）.

（3）當(dāng)[a>0]時(shí)，因?yàn)閇x=-12a<0， h（0）=-2<0]，所以[h（x）=0]有一正一負(fù)兩根，解得[x1=-1-1+8a2<0]或[x2=-1+1+8a2>0].

列表如下：

[[x]＼&（0，[x2]）＼&[x2]＼&（[x2]，+∞）＼&[f（x）]＼&—＼&0＼&+＼&[f（x）]＼&↘＼&極小值＼&↗＼&]

由上表知，[f（x）]的減區(qū)間為[（0，-1+1+8a2）]，增區(qū)間為[（-1+1+8a2，+∞）].

綜上所述，[a<0]時(shí)，[f（x）]的減區(qū)間為[（0，-1+1+8a2）]，[（-1-1+8a2，+∞）]，[f（x）]的增區(qū)間為[（-1+1+8a2，-1-1+8a2]. [a=0]時(shí)，[f（x）]的遞減區(qū)間為（0，2），遞增區(qū)間為（2，+∞）. [a>0]時(shí)，[f（x）]的遞減區(qū)間為[（0，-1+1+8a2）]，增區(qū)間為[（-1+1+8a2，+∞）].

變式3 ?若函數(shù)[f（x）=ax-1x-（a+1）lnx]，求[f（x）]在區(qū)間[2，3]上的最小值.

解析 [f（x）=a+1x2-a+1x=ax2-（a+1）x+1x2（x>0），]

設(shè)[p（x）=ax2-（a+1）x+1]，（注意這里方程的類型需要討論）

（1）當(dāng)[a=0]時(shí)，作出[p（x）=-x+1]的圖象可知，

[x∈（0，1）， p（x）>0，]即[f（x）>0]，所以[f（x）]在（0，1）上單調(diào)遞增.

[x∈（1，+∞）， p（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)[a<0]時(shí)，解[p（x）=0]得，[x=1]或[x=1a.]

因?yàn)閇a<0]，作出[p（x）=ax2-（a+1）x+1]的圖象可知，

[x∈（0，1）， p（x）>0]，即[f（x）>0]，所以[f（x）]在（0，1）上單調(diào)遞增.

[x∈（1，+∞）， p（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

所以[f（x）]在[2，3]上單調(diào)遞減，

所以[fmin（x）=f（3）=3a-13-（a+1）ln3].

（3）當(dāng)[a>0]時(shí)，（注意這里兩根與定義域需要討論）

若[0<1a≤2]，即[a≥12]時(shí)，[x∈[2，3]]， [p（x）>0]，即[f（x）>0]，

所以[f（x）]遞增，所以[fmin（x）=f（2）=2a-12-（a+1）ln2.]

若[2<1a<3]，即[13

[x∈（2，1a）]，[p（x）<0]，即[f（x）<0]，所以[f（x）]遞減.

[x∈（1a，3）]，[p（x）>0]，即[f（x）>0]，所以[f（x）]遞增.

所以[fmin（x）=f（1a）=1-a+（a+1）lna.]

若[1a≥3]，即[0

所以[f（x）]遞減，所以[fmin（x）=f（3）=3a-13-（a+1）ln3.]

綜上所述，[fmin（x）=3a-13-（a+1）ln3（a≤13），1-a+（a+1）lna（13

小結(jié) ?在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值及單調(diào)區(qū)間等問(wèn)題時(shí)，若函數(shù)中含有參數(shù)，我們需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.

①若導(dǎo)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)、零進(jìn)行分類討論;

②若需考慮判別式Δ，需對(duì)Δ>0，Δ=0，Δ<0進(jìn)行分類討論;

③在求最值或單調(diào)區(qū)間時(shí)，由[f（x）=0]解出的根， 需與給定區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)根比較大小進(jìn)行分類討論.

分類討論的思想方法就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出第一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答，其實(shí)質(zhì)是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”.在分類討論時(shí)，要注意：①分類對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一;②不重復(fù)，不遺漏;③分層次，不越級(jí)討論.