張艷

整體思想可以降低“設(shè)角”難度

例1 ?已知函數(shù)[f（θ）=sinθ-3cosθ][（0<θ<π4），]試求當(dāng)[tanθ]為何值時(shí)，函數(shù)取最小值.

解析 ?[f（θ）=-cos2θ-（3-sinθ）（-sinθ）cos2θ]

[=3sinθ-1cos2θ，]

令[f（θ）=0]，則[sinθ=13].

當(dāng)[sinθ>13]時(shí)，[f（θ）>0].

當(dāng)[sinθ<13]時(shí)，[f（θ）<0].

∴當(dāng)角[θ]滿(mǎn)足[sinθ=13]時(shí)，[f（θ）]最小.

點(diǎn)撥 ?本題角度也不是特殊角，沒(méi)有令[sinθ0=13]，而是直接作為整體，判斷出函數(shù)[f（t）]，也就是[f（sinθ）]在[（0，13）]上單調(diào)遞減，在[（13，22）]上單調(diào)遞增，從而求出函數(shù)的最小值.

例2 ?已知[f（α）=33-5cosαsinα]（[α∈（0，π2）]），試求當(dāng)角[α]的余弦值為何值時(shí)，函數(shù)取最小值.

解析 ?∵[f（α）=5-33cosαsin2α]，

令[cosα=t，|t|<1]，則[y=5-33t1-t2.]

∴令[y=0]得，[t=533].

當(dāng)[t<533]時(shí)，[y>0].

當(dāng)[t>533]時(shí)，[y<0].

∴[t=533]時(shí)，[y]取得最大.

∵[cosα]在[α∈（0，π2）]上是減函數(shù)，

∴當(dāng)[α]滿(mǎn)足[cosα=533]時(shí)，[f（α）]最小.

點(diǎn)撥 ?整體法有個(gè)易錯(cuò)的地方，就是上面解法如果不添加“[cosα]在[α∈（0，π2）]上是減函數(shù)”這句話(huà)，不考慮內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，我們是不是就會(huì)得出當(dāng)[cosα=533]時(shí)，[f（cosα）]取最大呀？很明顯函數(shù)[f（t）]應(yīng)該在[（-1，533）]上單調(diào)遞增，在[（533，1）]上單調(diào)遞減，那么對(duì)函數(shù)[f（t）]來(lái)說(shuō)，在[t=533]處只能取得極大值，而不是極小值，這就和題目要求的結(jié)果相悖.

事實(shí)上，這都是復(fù)合函數(shù)惹的禍，或者說(shuō)就是余弦函數(shù)惹的禍.因?yàn)樽鳛閮?nèi)層函數(shù)[cosα]在[α∈（0，π2）]上是減函數(shù)，外層函數(shù)的單調(diào)性直接受到內(nèi)層函數(shù)的影響，所以當(dāng)角[α]滿(mǎn)足[cosα=533]時(shí)，[f（α）]取得最小.

換元之后再求導(dǎo)可減少運(yùn)算量

例3 ?求函數(shù)[y=sin2x+4sinx+32+sinx]最小值與最大值.

解析 ?設(shè)[t=2+sinx（1≤t≤3）]，

則[1+sinx=t-1]，[3+sinx=t+1].

[y=sin2x+4sinx+32+sinx=（sinx+1）（sinx+3）2+sinx]

=[（t-1）（t+1）t=t-1t]，[1≤t≤3].

求導(dǎo)，[y=1+1t2>0]，

故[y]在[t∈[1，3]]上是增函數(shù).

∴當(dāng)[t=1]時(shí)，[ymin=0].

當(dāng)[t=3]時(shí)，[ymax=83].

點(diǎn)撥 ?對(duì)于本題，我們要直接求導(dǎo)也不是不可以，但是稍微難了.而上面的解法先換元再求導(dǎo)，可以大大地降低運(yùn)算量.

以角度所在的區(qū)間作為函數(shù)單調(diào)區(qū)間

例4 ?已知[x]為銳角，求函數(shù)[y=63sinx+2cosx]的最值.

解析 ?因?yàn)閇y=63sinx+2cosx]，

所以[y=-63cosxsin2x+2sinxcos2x=2sin3x-63cos3xsin2xcos2x].

當(dāng)[y=0]時(shí)，解得[tan3x=33]，即[tanx=3].

又因?yàn)閇x]是銳角，所以[x=π3].

當(dāng)[0

當(dāng)[π30].

函數(shù)[y]在[（0，π3）]上單調(diào)遞減，在[（π3，π2）]上單調(diào)遞增，

因此，當(dāng)[x=π3]時(shí)函數(shù)有最小值16，函數(shù)無(wú)最大值.

點(diǎn)撥 ?三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般使用弧度制，在確定單調(diào)區(qū)間之后，便可以確定函數(shù)的極值點(diǎn)，從而確定三角函數(shù)的最值，這一點(diǎn)和一般函數(shù)并沒(méi)有二樣.

將角度直接作為三角函數(shù)式子的一部分

例5 ?某園林公司計(jì)劃在一塊[O]為圓心，[R]（[R]為常數(shù)）為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹(shù)木，其中弓形[CMDC]區(qū)域用于觀賞樣板地，[ΔOCD]區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤(rùn)是每平方米8元，草皮的利潤(rùn)是每平方米3元.

[草皮地][花木地][觀賞樣板地][草皮地]

（1）設(shè)[∠COD=θ]，[CMD=l]，分別用[θ]，[l]表示弓形[CMDC]的面積[S弓=f（θ），S弓=g（l）];

（2）園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地，才能使總利潤(rùn)最大？

解析 ?（1）[S扇=12R2θ]，[SΔOCD=12R2sinθ]，

[S弓=f（θ）=12R2（θ-sinθ）].

又[S扇=12Rl]，

[∴SΔOCD=12R2sinlR]，

[S弓=g（l）=12R（l-RsinlR）].

（2）設(shè)總利潤(rùn)為[y]元，草皮利潤(rùn)為[y1]元，花木地利潤(rùn)為[y2]，觀賞樣板地成本為[y3.]

[y1=3（12πR2-12lR）]，[y2=12R2sinθ?8]，

[y3=12R（l-Rsinθ）?2]，

[∴y=y1+y2-y3=3（12πR2-12R2θ）+12R2sinθ?8-12R2（θ-sinθ）?2]

[=12R2[3π-（5θ-10sinθ）]].

設(shè)[g（θ）=5θ-10sinθ]， [θ∈（0，π）].

[g（θ）=5-10cosθ]， [g（θ）<0，cosθ>12，]

[g（θ）在θ∈（0， π3）]上為減函數(shù).

[g（θ）>0，cosθ<12，g（θ）在θ∈（π3，π）]上為增函數(shù).

當(dāng)[θ=π3]時(shí)，[g（θ）]取到最小值，此時(shí)總利潤(rùn)最大.

所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成[π3]時(shí)，總利潤(rùn)最大.

點(diǎn)撥 ?一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)三角函數(shù)式中各個(gè)部分都應(yīng)是三角函數(shù)，但是本題卻部分出現(xiàn)了角度單列的現(xiàn)象. 其實(shí)不就是求導(dǎo)嗎？一個(gè)角度其實(shí)就是一個(gè)自變量[x]，單獨(dú)的[x]難道就不能求導(dǎo)了嗎？當(dāng)然本題要是寫(xiě)成[g（x）=x-2sinx]或許你就會(huì)了吧？

“設(shè)而不求”應(yīng)對(duì)非特殊角極值點(diǎn)橫坐標(biāo)

例6 ?函數(shù)[y=sinθ（2cosθ+1）]在[[0，π3]]上取最大值時(shí)，[cosθ]的值.

解析 ?當(dāng)[0<θ<π3]時(shí)，求導(dǎo)得，

[y=cosθ2cosθ+1+sinθ-2sinθ=4cos2θ+cosθ-2.]

令[y=0]得，[cosθ=33-18].

記區(qū)間[（0，π3）]上余弦值等于[33-18]的角為[θ0]（惟一存在）.

列表如下：

[[θ]＼&[0， θ0]＼&[θ0]＼&[（θ0， π3）]＼&[y]＼&[+]＼&0＼&[-]＼&[y]＼&增函數(shù)＼&極大值＼&減函數(shù)＼&]

所以當(dāng)[θ=θ0]，即[cosθ=33-18]時(shí)，[y]取得最大.

點(diǎn)撥 ?本題和前面例題不同之處在于，極值點(diǎn)橫坐標(biāo)不是特殊的角度，不能直接表達(dá)單調(diào)區(qū)間.怎么辦？遇到此類(lèi)情形，因?yàn)檫@個(gè)極值點(diǎn)是存在的，但是我們最終又不需要求出這個(gè)橫坐標(biāo)，只需要對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，因此我們完全可以“設(shè)而不求”.

例7 ?求函數(shù)[f（θ）=3cosθ+2sinθ2+1]，[θ∈（0，π2）]取最大值時(shí)，[tanθ]的值.

解析 ?[f（θ）=-3sinθ+cosθ2]，

令[f（θ）=0，][sinθ2=16]，設(shè)[sinθ02=16，]

[f（θ）>0，][sinθ2<16]，[θ2<θ02]，即[0<θ<θ0].

[f（θ）<0，][sinθ2>16]，[θ2>θ02]，即[θ0<θ<π2].

函數(shù)[f（θ）]在[（0，θ0）]上單調(diào)遞增，在[（θ0，π2）]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)[f（θ）]在[θ=θ0]處取最大值.

此時(shí)[sinθ02=16，][tanθ02=135]，

[tanθ0=2tanθ021-tan2θ02=2351-135=3517.]

所以，[f（θ）]取最大值時(shí)，[tanθ]的值為[3517].

點(diǎn)撥 ?本題實(shí)際上可以用二倍角公式展開(kāi)，再用二次函數(shù)解決的，這里僅僅為了熟悉“設(shè)而不求”的手段.