林秋桂

[摘要]帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)問題，是歷年高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)。學(xué)生在遇到此類問題時(shí)普遍感覺難以入手、步驟繁瑣，甚至無計(jì)可施。而要解決此類問題，應(yīng)熟練掌握此類問題的基本類型，并在這些類型的基礎(chǔ)上進(jìn)行變換、加深。在此，筆者對此類問題進(jìn)行了分析歸納，希望對學(xué)生解決這類問題能有所啟示。

[關(guān)鍵詞]帶電粒子 有界勻強(qiáng)磁場 邊界類型 速度 幾何關(guān)系 臨界問題

[中圖分類號(hào)]G633.7[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）140050

在解決帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，常常會(huì)遇到不同的邊界類型，如：單直線邊界類、平行雙直線邊界類、圓形邊界類。粒子在不同邊界的磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡、幾何關(guān)系會(huì)有所不同。如果帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向不相同，也會(huì)使粒子運(yùn)動(dòng)軌跡、解題策略有所不同。此外，若單獨(dú)改變磁場方向、粒子電性，都會(huì)使粒子偏轉(zhuǎn)的方向不同，運(yùn)動(dòng)的軌跡也隨之改變。因此，有必要對粒子在各種邊界類型的磁場中的運(yùn)動(dòng)及其規(guī)律進(jìn)行分類分析。

一、單直線邊界型

圖1

1.粒子垂直于磁場邊界進(jìn)入磁場

如圖1所示，粒子垂直于磁場的邊界進(jìn)入磁場時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡是半圓，軌跡長度為πR，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T/2，

圓心角為π。

圖2

2.粒子速度方向與磁場邊界不垂直，軌跡圓心位于磁場的內(nèi)側(cè)

如圖2所示，粒子進(jìn)入磁場時(shí)，速度方向與邊界的夾角為 θ，則飛出磁場時(shí)，速度方向與邊界的夾角仍為θ，兩速度關(guān)于磁場邊界對稱，運(yùn)動(dòng)軌跡為一段優(yōu)弧，運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于T/2，圓弧所對的圓心角為2π-2θ。

3.粒子速度方向與磁場邊界不垂直，軌跡圓心位于磁場的外側(cè)

圖3

如圖3所示，粒子進(jìn)入磁場時(shí)，速度方向與邊界的夾角為θ ，則飛出磁場時(shí)，速度方向與邊界的夾角仍為θ，粒子進(jìn)出磁場時(shí)的速度關(guān)于磁場邊界對稱;運(yùn)動(dòng)的軌跡為一段劣弧，運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于T/2，圓弧所對的圓心角為2θ。

圖4

【例1】如圖4所示，在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場的邊界上，有兩個(gè)質(zhì)量和電荷量均相同的正、負(fù)離子（不計(jì)重力），從O點(diǎn)以相同的速度先后射入磁場中，入射方向與邊界成θ角。則正、負(fù)離子在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況是（ ）。

A.運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同

B.運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑相同

C.重新回到邊界時(shí)速度的大小和方向相同

D.重新回到邊界的位置與O點(diǎn)的距離相等

解析：兩個(gè)質(zhì)量和電荷量均相同的正、負(fù)離子（不計(jì)重力），由qvB=mv2R，可得R=mvqB，知其半徑相同，故選項(xiàng)B正確。由于正負(fù)離子受力方向相反，其運(yùn)動(dòng)軌跡不重合，根據(jù)周期公式T=2πmqB

，可知正、負(fù)離子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，但在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓弧長度不同，故在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不相同，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

圖5

由圖5所示帶電離子的運(yùn)動(dòng)軌跡可知，重新回到邊界時(shí)速度的方向相同;由洛倫茲力不做功可以判斷離子的速度大小始終是相同的，選項(xiàng)C正確。由幾何知識(shí)可以證明重新回到邊界的位置與O點(diǎn)的距離相等，選項(xiàng)D正確。

總結(jié)：在解決直線邊界問題時(shí)，先要明確帶電粒子的電性、磁場的方向和進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向，再判斷向哪一側(cè)偏轉(zhuǎn)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡和半徑，并尋找其中包含的對稱關(guān)系。

二、平行雙直線邊界型

粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡，受粒子的運(yùn)動(dòng)速度、磁場強(qiáng)度、磁場的寬度、粒子進(jìn)入磁場的角度影響，解答這類問題時(shí)，需要分析相關(guān)的臨界問題和幾何關(guān)系。

1.粒子平行于磁場的邊界進(jìn)入磁場

圖6

如圖6所示，粒子初速度平行于磁場邊界。

（1）幾何關(guān)系

由cosθ=R-LR得R=L1-cosθ

（2）臨界問題

若R>L/2，則粒子從上邊界飛出磁場;

若R

若R=L/2，則粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與下邊界相切。

2.粒子垂直于磁場的邊界進(jìn)入磁場

圖7

如圖7所示，粒子初速度垂直于磁場邊界。

（1）幾何關(guān)系：由sinθ=LR得R=Lsinθ

（2）臨界問題

若R

若R>L，則粒子從右邊界飛出磁場;

若R=L，則粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與右邊界相切。

3.粒子速度方向與磁場邊界既不平行也不垂直

圖8

如圖8所示，粒子初速度與磁場邊界成θ角，此時(shí)軌跡與右邊界相切，軌跡圓半徑為R。

（1）幾何關(guān)系：已知磁場的寬度為L，

則由R0cosθ+R0=L

得R0=L1+cosθ

（2）臨界問題

若R< R0，則粒子從左邊界飛出磁場;

若R> R0，則粒子從右邊界飛出磁場;

若R= R0，則粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與右邊界相切。

圖9

【例2】質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子自靜止開始釋放，經(jīng)M、N板間的電場加速后，從A點(diǎn)垂直于磁場邊界射入寬度為d的勻強(qiáng)磁場中，該粒子離開磁場時(shí)的位置P偏離入射方向的距離為L，如圖9所示。已知M、N兩板間的電壓為U，粒子的重力不計(jì)。求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。

解析：畫出粒子經(jīng)電場加速后，進(jìn)入磁場后的軌跡圖，如圖9。設(shè)粒子在M、N兩板間經(jīng)電場加速后獲得的速度為v，由動(dòng)能定理得： qU=12mv2①

粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其半徑為r，則：qvB=mv2r②

由幾何關(guān)系得：r2=（r-L）2+d2③

聯(lián)立①②③式可解得：

磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2L（L2+d2）2mUq 。

圖10

【例3】勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B

，寬度為d，邊界為CD和EF，如圖10所示。一電子從CD邊界外側(cè)以速率v0垂直射入勻強(qiáng)磁場，入射方向與CD邊界間夾角為θ。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，為使電子能從磁場的另一側(cè)EF射出，則：

（1）電子的速率v0至少多大？（2）若θ角可取任意值，v0的最小值是多少？

圖11

解析：（1）當(dāng)入射速率v0很小時(shí)，電子會(huì)在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從CD一側(cè)射出。由于速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界EF相切時(shí)，電子恰好不能從EF射出，如圖11所示。電子恰好射出時(shí)，由幾何知識(shí)可得：r+rcosθ=d ①

又r=mv0Be ②

由①②得v0=Bedm（1+cosθ）③

故電子要射出磁場，速率至少應(yīng)大于Bedm（1+cosθ）

（2）由③式可知，當(dāng)θ=0°時(shí)，v0=Bed2m最小。

總結(jié)：在解決平行邊界問題時(shí)，先要明確帶電粒子所帶電荷的電性、磁場的方向和進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向，再判斷向哪一側(cè)偏轉(zhuǎn)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，并找出磁場寬度與軌跡圓半徑的幾何關(guān)系，還要注意分析粒子飛出磁場的臨界問題。

三、圓形邊界型

圓形邊界類問題，可大致分類：粒子朝磁場圓圓心射入磁場和不朝磁圓圓心射入磁場兩類，本文僅就第一種情況進(jìn)行分析討論。具體解答這類問題時(shí)，可以磁場圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，粒子進(jìn)入磁場的點(diǎn)與磁場圓心的連線為x軸，建立坐標(biāo)系。

（1）若粒子沿半徑方向射入，必沿半徑方向射出。

（2）幾何關(guān)系：由rR=tanθ得R=rtanθ。

圖12

圖13

【例4】在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖12所示。一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入磁場，恰好從磁場邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出。求：

（1）請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷q/m;

（2）若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時(shí)的速度方向相對于入射方向改變了60°角，求：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B′與B的比值。（2）此次粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多少？

解析：（1）帶電粒子從C處沿+y方向飛出，過A、C分別作x、y軸的垂線相交于O1，O1就是粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，如圖13所示，由左手定則可知粒子帶負(fù)電荷，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=r。

由qvB=mv2R=mv2r

得比荷： qm=vBr。

圖14

（2）若帶電粒子出磁場時(shí)的速度方向相對于入射方向改變了 60°角，畫出如圖14所示的示意圖，分析可知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R′。

R′=rcot30°=3r

由qvB′=mv2R′

得B′=33B，B′B=33，

在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=T6=2πm6qB′=33πrv。

總結(jié)：在解決圓形邊界問題時(shí)，先要明確帶電粒子所帶電荷的電性、磁場的方向和進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向，再判斷向哪一側(cè)偏轉(zhuǎn)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，確定軌跡圓圓心和粒子軌跡圓半徑及其與磁場圓半徑的幾何關(guān)系。

總之，帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)問題是高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)，但只要熟悉此類問題的基本類型，并熟練掌握其中的規(guī)律，應(yīng)對此類問題就能游刃有余。

（責(zé)任編輯易志毅）