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        淺談函數(shù)解析式的求解策略

        2015-05-30 10:48:04王金
        關(guān)鍵詞:教與學(xué)周長最值

        王金

        [摘要]函數(shù)解析式的求解方法是一種比較抽象的解題方法,提供幾種求解函數(shù)解析式的常用方法,供大家參考.

        [關(guān)鍵詞]函數(shù)解析式求解策略

        [中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058(2015)140038

        函數(shù)解析式是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ),其解析式的求法也綜合了代數(shù)、三角函數(shù)、幾何的相關(guān)知識以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.本文僅對函數(shù)解析式的求法加以概括和歸納.

        一、換元法

        【例1】對所有實(shí)數(shù)x,滿足條件:f(2x-3)=4x2 -2x+3,求f(x)的解析式.

        解: 令 t=2x-3,則 x=t+32.

        所以f(t)=4(t+32)2-2(t+32)+3=t2+5t+9,

        即 f(t)=t2 +5t+9,

        所以 f(x)=x2 +5x+9.

        小結(jié):能從換元后的函數(shù)方程中解出x的函數(shù)解析式問題常用此法.

        二、配湊法

        【例2】若f(x+1x)=x3+1x3,求f(x).

        解:∵f(x+1x)=x3+1x3=

        (x+1x)(x2+1x2-1)=

        (x+1x)[(x+1x)2-3]

        ,

        ∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x.

        小結(jié):不能從換元后的函數(shù)方程中解出x的函數(shù)解析式問題常用此法.

        三、待定系數(shù)法

        【例3】已知f (x)是二次函數(shù),且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,則f (x)=.

        小值點(diǎn),

        ∴f(43)=

        8×43+16

        1+43-1+169

        =40

        ,當(dāng)x=ba=43時,結(jié)合已知求得a=10,b=403.

        方法三:聯(lián)想幾何意義,構(gòu)造三角函數(shù)求最值

        將1a+2b=14

        轉(zhuǎn)化為4a+8b=1,聯(lián)想到直線截距式方程xa+yb=1.

        問題轉(zhuǎn)化為:過定點(diǎn)P(4,8)的直線l分別交x,y軸的正半軸于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△ABO周長的最小值.

        解:設(shè)直線l的傾斜角的補(bǔ)角為θ,0<θ<π2,過P作y軸的垂線,垂足為D,過P作x軸的垂線,垂足為C,如右圖.

        如圖可知,PB=4cosθ,BD=4tanθ,

        PA=8sinθ,AC=8tanθ.

        則△ABO周長

        l=a+b+a2+b2

        =12+4cosθ+

        4tanθ+8sinθ+8tanθ

        =12+4cosθ+

        4sinθcosθ+

        8sinθ+

        8cosθsinθ

        =12+8(1+cosθ)sinθ+

        4(1+sinθ)cosθ=

        =12+8×2cos2θ22sinθ2cosθ2+

        4(sinθ2+cosθ2)2

        cos2θ2-sin2θ2

        =

        12+8·cosθ2sinθ2+

        4(sinθ2+cosθ2)cosθ2-sinθ2

        =12+8tanθ2+

        4(tanθ2+1)1-tanθ2

        .

        令tanθ2=x(0

        則l(x)=12+8x+4(x+1)1-x.

        ∴l(xiāng)′(x)=-8x2+8(x-1)2.

        令l′(x)=0,則-8x2+8(x-1)2=0

        ,解得x=12.

        易求l(12)=40,所以△ABO周長的最小值為40.

        即a+b+a2+b2的最小值為40.

        方法四:聯(lián)想幾何意義,利用幾何性質(zhì)求最值

        (利用方法三中的假設(shè))如圖2⊙M是的旁切圓,由圓的切線長性質(zhì)知,BE=BD,AE=AC,所以的周長為OC+OD=2OC(四邊形OCMD為正方形),OC為旁切圓的半徑,因此,要使的周長最小,就要使的旁切圓的直徑最小.又當(dāng)僅當(dāng)點(diǎn)(4,8)是直線AB與⊙M相切的切點(diǎn)時,旁切圓的半徑最小.設(shè)⊙M的圓心為(m,m), 則半徑為m, ⊙M的方程為(x-m)2+(y-m)2=m2,將(4,8)代入方程得:(4 -m)2+(8 -m)2=m2 ,解方程得m=20. 所以周長的最小值為40. 即的最小值為40.

        綜上所述,最值問題作為高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題之一,我們只要把握了思維方向,就能從不同角度分析問題,尋求到解決問題的方法.

        [參考文獻(xiàn)]

        [1] 張國定.含參不等式恒成立問題的解法研究綜述[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2013(6).

        [2] 王耀.多方位審視多策略解題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2013(8).

        [3] 龔海濱.二次函數(shù)逆向最值問題的優(yōu)化策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2014(9).

        [4] 張婷婷.一道最值問題的多視角求解[J],高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2014(10).

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