趙庭標(biāo)

[摘要]同課異構(gòu)是研究教法、比較教學(xué)的重要形式.如何設(shè)計(jì)同課異構(gòu)是每位教師必須深入研究的問題.

[關(guān)鍵詞] 同課異構(gòu)校本教研 高效課堂

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）140001

同課異構(gòu)是基層學(xué)校教研活動的重要形式之一，教師根據(jù)自身的特點(diǎn)以及對教材文本、課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科目標(biāo)、學(xué)生實(shí)際等不同層面的理解，對同一課題進(jìn)行不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，在“求同存異”的比較過程中提升教學(xué)水平，構(gòu)建高效課堂.同課異構(gòu)能讓我們清楚地看到不同的教師對同一內(nèi)容的不同處理，不同的教學(xué)策略所產(chǎn)生的不同效果，讓參與者能取長補(bǔ)短，共同提高.筆者所在備課組最近以蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級（上）的新增內(nèi)容“2.4圓周角（3）”（即“圓的內(nèi)接四邊形”）為題，開展了一次同課異構(gòu)活動.活動中筆者深切地感受到：要提高課堂教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在集體備課的大背景下，教師對教材的鉆研和學(xué)生對教材的理解與領(lǐng)悟至關(guān)重要.下面就本次活動中風(fēng)格迥異卻別具匠心的幾個教學(xué)環(huán)節(jié)一一進(jìn)行說明.

一、情境引入

[方案一]

圖1教師：（展示圖1，提出問題）一塊草地上有四棵銀杏樹，規(guī)劃部門準(zhǔn)備在此新建一個圓形的休閑廣場，并想把它們都種在廣場的邊緣上，規(guī)劃部門的愿望是否能夠?qū)崿F(xiàn)？

學(xué)生：能！（也有說“不能！”）

教師：請你畫畫示意圖，把廣場看做圓，把大樹近似看成點(diǎn)，看這四個點(diǎn)到底能不能在同一個圓上.

學(xué)生畫圖，發(fā)現(xiàn)有以下兩種情形（如圖2、圖3）

圖2 ?圖3

生1：我畫的圖四個點(diǎn)都在圓上（圖2）.

生2：我畫的圖四個點(diǎn)不能同時在圓上（圖3）.

教師：看來這是一個值得研究的問題，到底要怎樣畫四個點(diǎn)才能在同一個圓上呢？

生3：（茫然）不在同一直線上的四個點(diǎn)能確定一個圓？

教師：這位同學(xué)的描述讓我想起了“不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓”的推理，這節(jié)課我們就類比圓的內(nèi)接三角形來研究今天的新問題.（揭示課題）

分析：別出心裁的情境導(dǎo)入體現(xiàn)出教師對本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路：實(shí)際情境——數(shù)學(xué)概念——性質(zhì)探究——數(shù)學(xué)應(yīng)用.這樣的設(shè)計(jì)從純數(shù)學(xué)知識到生活中的數(shù)學(xué)，從直觀到抽象，找到數(shù)學(xué)概念的生活原型，是數(shù)學(xué)概念一種常見的教學(xué)模式.設(shè)計(jì)這一情境旨在讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接四邊形的必要性，以增強(qiáng)數(shù)學(xué)情感教學(xué).但教師后面提出的問題“到底怎樣的四個點(diǎn)才能在同一個圓上呢”卻偏離了這一出發(fā)點(diǎn)，給人一種將要研究圓的內(nèi)接四邊形的判定條件的感覺，而判定在本節(jié)課并未涉及，因此教師也沒有適時地解決這一問題，而是機(jī)械地牽著學(xué)生往下走，這在很大程度上阻礙了學(xué)生思維的發(fā)展和探究能力的提高.其實(shí)這里只需在點(diǎn)評時提出：“不在同一直線上的四個點(diǎn)是否一定可以作一個圓呢？你能舉例說明嗎？”學(xué)生就可以以畫出的圖形為例，說明不一定能畫出，教師再順勢引導(dǎo)學(xué)生開展對“四個點(diǎn)在一個圓上”這樣特殊的情形進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，課題的揭示就水到渠成了.

[方案二]

教師：（發(fā)放導(dǎo)學(xué)案）請畫出△ABC的外接圓，回顧三角形的外接圓、圓的內(nèi)接三角形等概念.

學(xué)生畫圖，展示，陳述作法，確定圓的條件.

教師：我們發(fā)現(xiàn)任意的三角形都可以畫出其外接圓，那么任意四邊形呢？是不是也可以畫出它的外接圓呢？試試看.

學(xué)生畫圖，交流，發(fā)現(xiàn)矩形、正方形等可以畫出外接圓，一般平行四邊形則不行.

教師：（揭示課題）今天我們就來研究這一類圖形（指向矩形及其外接圓），首先請你類比三角形與其外接圓給出這一類圖形的定義.

分析：現(xiàn)代教育心理學(xué)指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不僅是一個接受知識的過程，更是一個發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生帶著自己原有的知識經(jīng)驗(yàn)與理解，通過個體主動地參與數(shù)學(xué)活動，獨(dú)立地思考并適當(dāng)?shù)嘏c他人交流的建構(gòu)過程.教師從畫三角形的外接圓出發(fā)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生逐步叩開圓的內(nèi)接四邊形的門，以操作活動喚醒學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗(yàn).但開篇畫三角形的外接圓、陳述確定圓的條件等耗時較長，沖淡了主題，也影響到后面性質(zhì)探究的時間，課堂中的取舍值得商榷.

[方案三]

圖4

教師：（出示圖4）看到這幅圖，你能想到什么？

生1：⊙O是△ABC的外接圓，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形.

生2：不在同一直線上的三個點(diǎn)可以確定一個圓.

生3：AB、AC、BC的度數(shù)和為360°.

教師：這是我們已經(jīng)熟悉的圓的內(nèi)接三角形，你能不能類似地給出圓的內(nèi)接四邊形的定義呢？試一試.

生4：（類比圓的內(nèi)接三角形嘗試定義）我可以畫出圖來，如圖5中的四邊形ABCD就是圓的內(nèi)接四邊形.

圖5

生5：一個四邊形的四個頂點(diǎn)都在同一個圓上，它就是圓的內(nèi)接四邊形.

教師：（對定義予以修改完善）這樣的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，這個圓就是四邊形的外接圓.

分析：簡約高效的情境創(chuàng)設(shè)，充分地考慮到學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，在對圓的內(nèi)接三角形的知識回顧的基礎(chǔ)上提出新的問題，學(xué)生的思維在第一時間得以激活，也顯示出教師駕馭課堂的能力以及深厚的功底.根據(jù)先行組織者的教學(xué)主張，圓的內(nèi)接四邊形與哪些舊知識相關(guān)聯(lián)呢？教師拋出的問題讓學(xué)生全方位地回顧了圓的內(nèi)接三角形這一“先行組織者”，找準(zhǔn)了學(xué)習(xí)的起點(diǎn)后，接著開門見山地讓學(xué)生給出圓內(nèi)接四邊形的定義，直截了當(dāng).學(xué)生能自己畫出圖形、給出定義，讓他們把自信建立在自己的能力之上，從而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿了信心.

二、性質(zhì)探究

[方案一]

教師：認(rèn)識了圓內(nèi)接四邊形的概念，接下來研究它的性質(zhì).你認(rèn)為應(yīng)該從哪些方面研究？

生1：邊、角、對角線.

教師：很好，這是從我們對特殊四邊形性質(zhì)的探究中得到的啟發(fā).那么大家打算如何開展性質(zhì)的探究呢？

生2：可以將圓的內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化為內(nèi)接三角形.

生3：可以先畫一些特殊的圓的內(nèi)接四邊形來研究，比如矩形、正方形等.

圖6

教師：大家都有了研究的策略，那我們就先研究最特殊的情形.如圖6所示，這個圓的內(nèi)接矩形，它有什么特殊之處呢？

生4：四個角都相等，鄰角互補(bǔ)，對角互補(bǔ)，對邊相等且平行……

教師：你說的是這個矩形的特征，如果推廣到一般的圓的內(nèi)接四邊形，還會有怎樣的特征呢？

學(xué)生5：對角互補(bǔ)！其他的好像都不成立.

教師：好，今天我們就探究圓內(nèi)接四邊形對角是否互補(bǔ)，請大家自己畫圖，探究.

學(xué)生探究結(jié)果如下.

證法1.1

圖7如圖7，連接OA、OB、OC、OD，由題意OA=OB=OC=OD，因此∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，而∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8 =360°，故∠1+∠3+∠6+∠7=180°，即∠BAD+∠BCD=180°.

證法1.2

圖8

如圖8，由題意易知∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2=∠5，故∠3+∠4=∠5，又∠BAD+∠5=180°，即∠BAD+∠BCD=180°.

證法1.3

圖9

如圖9，連接AC、BD，由題意易知∠1=∠2，∠3=∠4，而∠2+∠4+∠ABC=180°，故∠1+∠3+∠ABC=180°，即∠ABC+∠ADC=180°.

證法1.4

圖10

如圖10，由題意易知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，而∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8 =360°，故∠1+∠4+∠6+∠8=180°，即∠BAD+∠BCD=180°.

證法1.5

圖11

如圖11，連接OA、OC，由“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”可知∠B+∠D=12∠1+12∠2=12（∠1+∠2）=180°.

分析：教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊四邊形出發(fā)，著眼于研究問題的策略，滲透轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等求證方法，在“探究圓的內(nèi)接四邊形內(nèi)角之間的關(guān)系”這一問題的引導(dǎo)上，教師的處理是從內(nèi)接矩形出發(fā)，弱化條件，讓結(jié)論越來越接近“對角互補(bǔ)”.“弱化條件”本身就是科學(xué)探究的一個有效方法，可以說它是思維再生的橋梁.從終端顯示的學(xué)生證法可以看出，學(xué)生能有意識地尋求各種方式將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，從而證得“圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”這一性質(zhì).但本環(huán)節(jié)第一個問題筆者認(rèn)為是一個無效的問題，“邊、角、對角線”在本節(jié)課中自始至終都沒有出現(xiàn)過，教師在這一問題上的認(rèn)識不夠，不能準(zhǔn)確把握知識的本質(zhì)屬性，因而導(dǎo)致了課堂上的偏差，影響了學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的理解與領(lǐng)悟.

[方案二]

教師：圓的內(nèi)接四邊形有怎樣的性質(zhì)呢？從“圓”出發(fā)，我們研究哪些元素？

生1：弧、弦、圓心角、圓周角等.

教師：從“四邊形”出發(fā)，又研究哪些元素呢？

生2：邊、角、對角線.

教師：怎樣研究圓內(nèi)接四邊形這些元素之間的關(guān)系呢？請大家觀察剛剛我們所畫的圖形，將它們分分類.

生3：（分組交流）可以分成三類：兩條對角線都經(jīng)過圓心、只有一條對角線過圓心和兩條都不經(jīng)過圓心（如圖12）.

圖12

教師：你認(rèn)為我們該從哪一種情形開始研究？

生4：當(dāng)然是兩條對角線都過圓心，它最特殊！

教師：好！請大家畫一畫，用手上的工具測一測，再讓它稍微“普通”一些，看看能不能找到圓內(nèi)接四邊形的特別之處.

生5：（分別畫出兩條對角線都經(jīng)過圓心、一條對角線經(jīng)過圓心的情形）發(fā)現(xiàn)圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

教師：很好！這是大家從特殊的情形中找到的猜想，你能推想到一般情況并結(jié)合圓與四邊形的有關(guān)知識加以證明嗎？

學(xué)生畫圖探究，得出證法如下.

證法2.1

圖13

如圖13，連接DO并延長，與圓交于點(diǎn)E，連接AE、CE，則∠DAE=∠DCE=90°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°，而∠3+∠4=∠E=∠B，因此∠1+∠2+∠B=180°，即∠ADC+∠B=180°.

證法2.2

圖14

如圖14，連接AC，作AC的垂直平分線交圓于點(diǎn)E、F，則∠EAF=∠ECF=90°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 而∠1+∠2=∠E=∠B，∠3+∠4=∠F=∠D，所以∠B+∠D=180°.

證法2.3

圖15

如圖15，過點(diǎn)O分別作OF⊥AD于E，OH⊥AB于G，由垂徑定理可知，點(diǎn)H、F分別為AB

、AD

的中點(diǎn)，由此可知∠1=12∠BOD=∠C，而在四邊形AGOE中，∠A+∠1=180°，因此∠A+∠C=180°.

除此以外，還有證法1.1，證法1.5等不同方法.

分析：本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)仍然注重?cái)?shù)學(xué)活動的參與、經(jīng)驗(yàn)的積累與運(yùn)用.通過畫一畫、量一量、算一算等活動，讓學(xué)生充分經(jīng)歷動手、猜想、歸納的過程.著眼于“對角線是否經(jīng)過圓心”的問題討論，引導(dǎo)學(xué)生思考總結(jié)“從特殊到一般”的探究過程，充分關(guān)注概念中“圓”和“四邊形”這兩個原生概念，并以此為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探究證明圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì).因此在證明過程中，學(xué)生能充分關(guān)注到圓與四邊形這兩個起點(diǎn)，有連接半徑將內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化為四個等腰三角形的，有將一般四邊形轉(zhuǎn)化為對角線過圓心的特殊情形的，也有利用圓心角與圓周角的關(guān)系的，甚至還有直接利用弧的度數(shù)證明的.教師充分挖掘出性質(zhì)探究中包含的數(shù)學(xué)操作方法、幾何推理的方法以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題等方法.正如張奠宙老師所說：“數(shù)學(xué)其實(shí)不完全是從現(xiàn)實(shí)生活情景中產(chǎn)生的.人們還必須通過一些感性或理性的特有數(shù)學(xué)活動，才能把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)的意義.”

[方案三]

教師：圓的內(nèi)接四邊形有什么性質(zhì)呢？

生1：（迷茫，不知如何回答）.

教師：可以用工具量一量，算一算.

生2：（測量所給圓內(nèi)接四邊形邊的長度、角的度數(shù)）猜想圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

教師：是不是所有的圓的內(nèi)接四邊形都有這樣的性質(zhì)呢？請看老師做個演示.

（教師在幾何畫板上演示，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角度數(shù)在變化，但對角之和始終為180°，如圖16）

圖16

教師：由此我們可以大膽地作出怎樣的猜想？

生3：圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)！

教師：經(jīng)過大家動手測量、計(jì)算、實(shí)驗(yàn)，我們作出了這個大膽的猜想，你能證明嗎？

學(xué)生畫圖證明，證法有：

圖17

證法1.1，1.3，1.4，1.5，2.1等，另外還有其他證法如下.

證法3.1

如圖17，與證法2.3類似，易證∠1+∠2=12（∠AOB+∠AOD）=12∠BOD=∠C，而在四邊形AGOE中，∠BAD+∠1+∠2=180°，因此∠BAD+∠BCD=180°.

分析：本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)開放大膽，讓學(xué)生自己量一量、算一算，學(xué)生猜想后，教師借助幾何畫板的演示，讓學(xué)生看到正確的猜想，然后讓學(xué)生尋找證明的思路，在學(xué)生獨(dú)立思考、充分交流后得出的證法囊括了轉(zhuǎn)化為三角形、利用圓中弧、圓周角、圓心角等有關(guān)量的代換、轉(zhuǎn)化為有直徑的特殊情況等多種類型.本節(jié)課留給足夠的思考時間與空間，讓學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證（證明），在教與學(xué)的過程中有效地關(guān)注了學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).但在歸納猜想出性質(zhì)前，教師也是模糊地要求學(xué)生量一量、算一算，這樣的操作具有一定的盲目性.

三、課堂小結(jié)

[方案一]

教師：經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲與體會？還有什么困惑？

生1：我知道了什么是圓的內(nèi)接四邊形以及它的性質(zhì).

生2：我學(xué)會了從特殊到一般的求證方法，在證明性質(zhì)的過程中我會從特殊的四邊形入手，推廣到一般的圓內(nèi)接四邊形，并能將它們轉(zhuǎn)化為特殊的情形來證明.

生3：我還學(xué)會了轉(zhuǎn)化，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來證明圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

……

生4：我有一個困惑，今天我們研究圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，那么它的邊之間有沒有特殊的關(guān)系呢？

生5：我還有一個困惑，到底四個怎樣的點(diǎn)才能在同一個圓上呢？

[方案二]

教師：本節(jié)課你印象最深的是什么？

生1：我能用圓內(nèi)接三角形的有關(guān)知識與方法研究圓的內(nèi)接四邊形了.

生2：我知道研究一個問題要抓住一個關(guān)鍵點(diǎn)來研究，比如這節(jié)課我就抓住“對角線是否過圓心”來探究證明了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

生3：我感覺今天好像沒有學(xué)習(xí)新知識，而是把以前的知識與經(jīng)驗(yàn)?zāi)脕碇匦陆M合就可以了.

生4：我印象最深的是一個問題可以有很多不同的方法來求解，比如“圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”這個結(jié)論的證明，就有很多方法.

……

[方案三]

教師：今天我們認(rèn)識了圓的內(nèi)接四邊形，并且經(jīng)過觀察、猜想、證明這些過程，用不同的方法探究證明了它的性質(zhì)，你還想了解它的哪些方面呢？又打算如何研究呢？

生1：了解了概念和性質(zhì)，接著我應(yīng)該學(xué)習(xí)它的判定.

生2：我想應(yīng)該可以從判定三個點(diǎn)確定圓入手.

生3：可以先畫一些特殊的有外接圓的四邊形，看看它們都具備怎樣的條件，再往一般情形推廣.

生4：判定應(yīng)該就是把性質(zhì)反過來.

……

分析：方案一體現(xiàn)了完整的課堂結(jié)構(gòu)，從實(shí)際情境引入，抽象出數(shù)學(xué)概念，通過性質(zhì)探究，注重思想方法滲透，學(xué)生在探究中體驗(yàn)到從特殊到一般、轉(zhuǎn)化等方法.因此學(xué)生能從學(xué)到的知識及方法等方面進(jìn)行小結(jié);方案二更注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累與運(yùn)用.一節(jié)課下來學(xué)生對“運(yùn)用知識與經(jīng)驗(yàn)研究問題”感受最深，無論是研究問題的策略與方法（類比法、抓住關(guān)鍵點(diǎn)等），解決問題的方法（證明圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)），還是對知識經(jīng)驗(yàn)的升華（重新組合），無不體現(xiàn)出其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的積累與提升;方案三的設(shè)計(jì)立意高遠(yuǎn)，也最能體現(xiàn)出教師對幾何知識學(xué)習(xí)體系的整體把握：“概念——性質(zhì)——判定”.開放性的問題設(shè)計(jì)使得整節(jié)課“形散而神不散”，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.使其對未知的“判定”作出一系列的研究設(shè)想，這樣的教學(xué)對學(xué)生的終身發(fā)展意義更深遠(yuǎn).

最后，就兩個設(shè)計(jì)中共同存在的困惑，我們作了深入的研討.

困惑1為什么探究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)時，只研究了內(nèi)角的關(guān)系，不研究邊與對角線的關(guān)系呢？

幾位教師都回避了這一問題，筆者認(rèn)為，圓的內(nèi)接四邊形從本質(zhì)來看，仍然是四邊形，而四邊形本身具有的性質(zhì)只有內(nèi)角和為360°，因此作為下位概念的圓的內(nèi)接四邊形，只能再研究內(nèi)角還有什么更特殊的性質(zhì)，因此探究角而不是邊的關(guān)系.

困惑2怎樣的四個點(diǎn)才能在同一個圓上呢？課上要不要提及這個問題呢？

在方案一中，由于教師在設(shè)計(jì)時提出了這個問題，最終也沒有解決，因此學(xué)生對此疑惑最大，教師卻因?yàn)榻滩臎]有提及而刻意回避了.其實(shí)大可不必，我們該“用教材教”，而不是“教教材”.方案三中，教師的處理就科學(xué)合理得多，他向?qū)W生呈現(xiàn)了完整的幾何概念的知識體系（概念、性質(zhì)、判定），卻沒有刻意地引導(dǎo)學(xué)習(xí)，而是在結(jié)尾時提出了這個充滿想象力的問題，學(xué)生在本節(jié)課所積累的知識、經(jīng)驗(yàn)、方法都在此刻得以回顧，一舉多得.至于判定四點(diǎn)共圓的方法，有反證法，有托勒密定理，有圓冪定理的逆定理等，留待老師們自己探究.

“教無定法，教學(xué)有法.”多年教研實(shí)踐表明，同課異構(gòu)活動中，教師理解課標(biāo)、解讀教材、教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)施等能力都得到了不同程度的提高，教師自身專業(yè)成長得以實(shí)現(xiàn).但我們也要清楚地認(rèn)識到，要實(shí)現(xiàn)高效課堂，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，僅靠每周一次的教研活動是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，每位教師都應(yīng)立足本職，善于發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的疑難點(diǎn)，有針對性地對自己的課堂進(jìn)行重復(fù)的、開放的課堂觀察與反思，在每一個具體課例的研討、交流、實(shí)施等過程中取長補(bǔ)短，不斷學(xué)習(xí)，改進(jìn)教學(xué)策略，更新教學(xué)理念，讓同課異構(gòu)真正滿足教師的成長及學(xué)生的發(fā)展需要.